高中数学：对数函数

第5讲对数运算和对数函数

［玩前必备］

1.对数的概念

如果〃=N(a>0且“W1),那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=lo£〃N,其中a叫做对数的底数,

N叫做真数.

2.对数的性质与运算法则

(1)对数的运算法则

如果a>0且M>0,N>0,那么

①=log“M+log“N；

M

②log"R=log“M-log“N；

③k>g"M"=Mog〃M(nGR)；④log“,"Mn=凯&".

(2)对数的性质

①a°g"N—N；②log/』N(tf>0且a#1).

(3)对数的重要公式

①换底公式：log而=臂吟(a,。均大于零且不等于1)；

②log“b=E^,推广log„/>-log/,c-log<</=logaJ.

3.对数函数的图象与性质

a>l0<4<1

:y=iogax

图象Na.")

|!y=log衣

(1)定义域：(0，+8)

(2)值域：R

(3)过定点£!◎，即》=1_时，y=Q

性质

(4)当x>l时，y>0(5)当x>l时，凶｝

当0a<1时，凶!当0a<1时，y>0

(6)在(0,+8)上是增函数(7)在(0,+8)上是减函数

［玩转典例］

题型一指数式与对数式的互化

例1将下列指数式与对数式互化:

］-i1

3

(1)2-2=4；(2)102=100；(3)e"=16；(4)64(5)log39=2；(6)log、)，=z.

［玩转跟踪］

1.下列指数式与对数式互化不正确的一组是()

£

3

A.e0=1与logel=0B.8=2与log82=|

C.log24=2与4?=2DJog33=l与才=3

题型二对数运算性质的应用

例2计算下列各式的值：

⑴少靖一小队用+16国：

2

(2)lg25+］lg8+1g5Xlg20+(1g2)2.

1+153lo5

°g34+Iog2/n§2

(3)3-2+103ig3_|_^-J.

［玩转跟踪］

1.计算下列各式的值：

(I)(lg5)2+21g2-(lg2)2；

23

lg3+^lg9+^lg^27—lgV3

⑵Ig81-lg27

1.4..2

l+log

(3)92+55

题型三换底公式的应用

例3已知logi89=a,18，=5,用〃、人表示log3645.

［玩转跟踪］

1.(D(log29).(log34)等于()

B.g

C.2D.4

题型四对数函数的概念

例4指出下列函数哪些是对数函数？

(l)y=31og2X；(2)y=k>g6%;

(3)y=logx3；(4)y=logu+l

［玩转跟踪］

1.若某对数函数的图象过点(4,2),则该对数函数的解析式为()

A.y=log2XB.y=21ogu

C.y=log2^或y=21og4XD.不确定

题型五对数函数的图象

例5如图所示，曲线是对数函数尸logd的图象，已知a取小l，43古1，则相应于ci、

C2、C3、C4的4值依次为()

431

A--

35、

10

413

G--

B.35

10'

43l

c-/-

35、

io

413

D--

35

10'

［玩转跟踪］

1.(1)函数y=log„(x+2)+l的图象过定点()

A.(l,2)B.(2,l)C.(-2,l)D.(-1,D

(2)如图，若G，C2分别为函数y=log融和y=log炉的图象，则()

A.0<a<h<\

B.O</?<67<1

C.a>b>\

D.h>a>\

题型六对数函数的性质和应用

角度一:对数函数的定义域

例6(1)函数yu)=±+ig(i+x)的定义域是()

A.(—8,-1)B.(b+0°)

C.(-l,1)0(1,4-00)D.(—8,+OO)

⑵若则段)的定义域为()

2(NX十1)

A(To)B(T+8)

c(-/0)U(0,+°°)D/-1,2)

角度二:对数函数单调性的应用

例7求函数丫=1。81(1一/)的单调增区间，并求函数的最小值.

例8比较下列各组中两个值的大小:

(l)ln0.3,In2；

(2)loga3.Llog«5.2(a>0,且〃W1)；

(3)log30.2,log40.2；

(4)log37c,logn3.

角度三:对数函数的综合应用

例9已知函数於）=log〃［二［（〃>0且〃W1）,

⑴求人幻的定义域；

⑵判断函数的奇偶性和单调性.

［玩转练习］

1.2-3=3化为对数式为（

O)

A.log]2=—3B.log1(-3)=2

88

C.log2|=—3D.log2(-3)=|

2.若1。&汨=c,则下列关系式中正确的是（）

A.b=a5cB分=d

C.b=5acD.b=c5a

3.方程2%,=：的解是（

)

A.x=|R一立

B.x-3

C.x=yf3D.x=9

4.已知log.2=m，log”3=〃，则於〃+〃等于()

A.5B.7

C.10D.12

5.log242+log243+log244等于()

A.lB.2

C.24D.1

6.化简glog612—210g的结果为()

A.6V2B.126

C.|log63D.1

7.计算Iog916,log881的值为()

A.18B.《

1o

8.计算下列各式的值：

八Jg2+lg5-lg8

1g5—1g4;

⑵lg5(lg8+lg1000)+(lg2V3)2+lg1+lg0.06.

9.下列函数是对数函数的是（）

A

A.y=k)囱(2x)B.y=log22

C.y=log2_r+1D.y=lgx

10.函数/的=-^=+怆（3戈+1）的定义域是（）

\1-x

A.(-1.+8)

CL*|)D.(-1,1)

11.函数y=o•，与y=-logrtX（a>0,且aWl）在同一坐标系中的图象形状可能是（）

12.若“>0且则函数y=log“（x—1）+1的图象恒过定点

13.比较下列各组数的大小：

⑴log2啦log2小；（2）log32