高中数学题库B函数二次函数

已知函数f(x)=ax2+/u-+c,其中aeN*,beN,ceZ.

(I)若b>2a,且f(sinx)(x£R)的最大值为2,最小值为一4,试求函数f(x)的最小值;

(11)若对任意实数x,不等式4x<f(x)<2(r+1)恒成立,且存在/使前(与)<2(i0+1)

成立，求c的值。

答案：

f(sinx)=asin2x+bsinx+c

--<-I,.-.对称轴在X=-1左边

2a

：./(sinx)min=/(-I)=-4,f(sinx)*、=f⑴=2,

,<o—。+c=-4,<\b-3,

Q+/?+C=2,[C=-l-a,

又b>2a>0,a=I,c=-2.A/(x)=x2+3x-2.

17

/«min0分)

(2)・.・4x</(x)<2(x2+4</(1)<2(1+1)=4,A/(I)=4.(1分)

a+b+c=4,即〃-4=-(a+c).(l分)

又f(x)>4x,即。x?+(/?-4)x+c>0,恒成立.

A=(/?-4)-4ac<0,即(-〃-c)2-44c<0,

/.(a-c)2<0,/.a=c.(2分)

b=4-2a>0,a<2,又aeN".a=1或a=2.(1分)

当a=2时,c=2,:.b=0,.-./(x)=2x2+2.

不存在与恸(%)<24+2.

当a=l时，c=l,/.b=2,/./(x)=x2+2x+1.

此时存在x。,使f(x0)<2(x1+1).故c=1.(2分)

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题型：解答题，难度：较难二次函数f(x)=》2+ax+6(a、beR)

(I)若方程f(x)=0无实数根，求证:b>0；

(II)若方程f(x)=0有两实数根,且两实根是相邻的两个整数，求证:f(一a)」(『一］).

4

(HI)若方程f(x)=0有两个非整数实根，且这两实数根在相邻两整数之间，试证明存

在整数k,使得|/伏心；.

答案：

(I)A=/-4"若b40,则A>0,方程有实根与题设矛盾.b>0.

(ID设两整根为X1,X2,X1>X2

2

%1+x2=-a,,-.a-4b=1,

-x,x=b,〃2_i-1)(5分)

2h=____-4

Jl-X2=l,4

，a2

(III)设水xi〈X2〈m+l,m为整数。a'—4b>0=>h<——

4

1°.一;e{m,m+；]即-1Wa+2加<0

f(m)=An2+am+h<m24-am+—=(m+—]2<—

424

2°.--G(/n+—,m+1)

22

2

f(m+l)=(机++a(m+Y)+b<(m+2)2+a(ni+1)+—=(m+1+—)2<—

424

存在.

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题型：解答题，难度：较难

某大型超市预计从明年初开始的前x个月内，某类服装的销售总量f(x)(千件)与月

份数x的近似关系为f(x)=£x(x+1)(35-2x)(xEN,X<12)

(I)写出明年第X个月的需求量g(X)(千件)与月份数尤的函数关系；

(II)求出哪个月份的需求量超过1.4千件，并求出这个月的需求量.

答案：

解：(I)第一个月销售量为g6=/⑴=白

当xN2时，第x个月的销售量为

g(x)=/(x)-/(x-l)=£(-x2+12x),.....................................5分

当X=1时，g(1)也适合上式.

g(x)=}(r2+12x)(xe7V,x<12)......................................7分

(II)由题意可得：—(-X2+12x)>1,4,

解之得5<x<7,vxeN,:.x=6...........................................10分

：.g⑹=1.44................................................................................11分

答：第六个月销售量超过L4千件，为1.44千件...............12分

来源：

题型：解答题，难度：较难

已知函数f(xh-x'+ax'b(a,bGR)

(1)若函数y=f(x)图像上任意不同的两点连线斜率小于1,求证：

(2)若xG[0,1],函数y=f(x)上任一点切线斜率为k,讨论IkIW1的充要条件

答案：

解：(1)设任意不同的两点巳(x„yi)『2(x2,yz),且X1WX2则,匚力.<i(1

x{-x2

分)

.一玉3+ox；2+X]3—axz2v]

x{-x2

J222

BP-xi-xix2-X2+a(xi+x2)<1/.-xi+(a-x2)xi-X2+ax2-l<0(3分)

x।GR△=(a-X2)2+4(-X2、ax2-1)VOBP_3x22+2ax2+a2-4<C0

/._3(x2~—)2+——+a2_4<0A—a2_4<0,_VJ<a<V3(6分)

333

(2)当x£[0,1]时，k=f'(x)=-3x2+2ax(7分)

由题意知:TW-3x'+2axWl,x£[0,1]

即对于任意xe[0,1],Iff(x)I等价于If'(0)I,Ifz(1)I,

|/'(I)|=|-3+2a|<1

Ifz(-)I的值满足

33

"'(1)|=|2a-3|<l|/'(1)|=|2«-3|<1

或，或,

q<o(11

13

分)

l<a<2

\<a<21<a<2

即VQ<a<3或<或<

QA3a<0

-V3<a<V3

即IkIW1的充要条件是IWaW(14

分)

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题型：解答题，难度：中档

已知函数/(x)=a/+(b-8)x-q-ab,当xw(-3,2)时,/(X)>0；当XG

(-oo,-3)U(2,+oo)时，f(x)<0

(I)求f(x)在［0,1］内的值域;

(II)c为何值时，ax?+〃x+cW0的解集为R

答案:

解：由题目知/(X)的图像是开口向下，交X轴于两点

A(-3,0)和8(2,0)的抛物线，对称轴方程为x=-g(如图)

那么，当尤=-3和x=2时，有y=0,代入原式得：

0=4(-3尸+(/?-8)x(-3)-a-ah

<0=ax22+(h-8)x2-a-ah

a=0［a=-3

解得:［八8或。=5

a=0

经检验知:不符合题意，舍去.，/(x)=—3x2-3X+18

b=8

(I)山图像知，函数在［0,1］内为单调递减，所以：当x=0时，y=18,当x=2时,

y=12.f(x)在［0,1］内的值域为［12,18］

(II)令g(x)=-3/+5x+c要使g(x)W0的解集为R,则需要方程

一3一+5x+c=0的根的判别式AKO,即A=25+12cW0

2525

解得c4一—一••.•.当c<---•时，ax?+bx+cV0的解集为R.

1212

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题型：解答题，难度：中档

某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元。该厂为鼓励销

售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就

降低0.02元。根据市场调查，销售商一次订购量不会超过500件。

(I)设一次订购量为x件，服装的实际出厂单价为P元，写出函数P=/(x)的表达

式;

(II)当销售商一次订购了450件服装时，该服装厂获得的利润是多少元?

(服装厂售出一件服装的利润=实际出厂单价一成本)

答案:

(1)当0<xW100时.，尸=60

X

当100<X<500时，P=60—0.02(x-100)=62-—

"600<x<100

所以P=/(x)=x(xeN)

62----100<x<500

50

(2)设销售商的一次订购量为x件时，工厂获得的利润为L元，则

20x0<x<100

L—(P—40)x=<2

22x-x-100<x4500(xeN)

当x=450时，L=5850

因此，当销售商一次订购了450件服装时，该厂获利的利润是5850元。

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题型：解答题，难度：较难

函数y=/(x)是偶函数，且是周期为2的周期函数，当XG［2,3］时，/(x)=x-l,

在y=/(x)的图象上有两点A、B,它们的纵坐标相等，横坐标都在区间［1,3］上，定点C

的坐标为(0,a)(其中a>2),求AABC面积的最大值.

答案：

解:如图，㈤是以2为周期的周期函数,xe[2,3H/(x)=x-l,

...当工€[0,1]时,/(幻=/3+2)=(》+2)-1=工+1(平移)，•.•/1⑨是偶函数，

.••当%£[-1,0]时,〃x)=〃-x)=(T)+l=r+l;当xW[L2]时,f(x)=f(x一公二

一(x—2)+1=—A+3(平移).设A、B的纵坐标为t(lWtW2),并设A在B的左边，则A、

B的横坐标分别为3-t,t+1,则|AB|=(t+1)-(3-t)=2t-2,AABC的面积为

5=1(2r-2)(a-r)=-t2+(a+\]t-a.令S；=-2f+(a+l)=0,得”等.

当3<竺1=2，即2<aW3时，S有最大值>二2。+1.

22~4

当四>2,即a>3时，5；>0,函数单调增，S有最大值S(2)=a—2.

2

[这里可将S配方；S=_(一-j+1(14f42)也可直接用二次函数理论得

出].

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题型：解答题，难度：中档

如图，四边形ABCD是一块边长为4的正方形地域，地域

内有一条河流MD,其经过的路线是以AB中点M为顶点，且

开口向右的抛物线(河流宽度不计)。某公司准备建一大型游

乐园PQCN,问如何施工，才能使游乐园面积最大？并求出最

大的面积。

答案：

以M为原点，AB所在直线为y轴建立直角

坐标系，抛物线MD方程为y2=x(0<x<4),

设P(y2,y)是曲线MD上任一点(0<y<2),则S=\PQ\»\PN\=(2+y)(4-/)

2

=一>3一2》2+4)，+8由导数法知，当^=:时，5max==^-km

来源：1

题型：解答题，难度：中档

已知二次函数f(x)=a』+fex+c(a,b,ceR)满足f(-l)=O,对任意实数x,都有

/(x)>x,且0cx<2时，总有/(x)4(等产.

⑴求〃1)；

(2)求a,从c的值；

(3)当1］时，函数g(x)=/(犬)-机X(eR)是单调函数，求相的取值范围.

答案：

(1)“X)对任意实数x,都有〃x)2x,所以〃1)21,又“X)在0<x<2时，有

/(X)4(罟产,故/⑴4(一)2=1,因此有"1)=1.

(2)因为/(I)=1,/(-1)=0,则f+"c=l'n/?=La+c=-,因为疝,

\a-b+c=022

则碗4(当且仅当时取等号).又因为对任意实数X,都有〃x)5所以

〃>0,

a/+ST)%+c20恒成立，即办2」工+,>>0恒成立=卜',。.1故”>0

2［A<0--4ac<0,

14

^ac>—因止匕有ac=-f从而a=c=—•

16164

/八/、”、121112A

(3)J?(X)=f(x)-tnx=—x+—---mx=—x+(---m)x+—=—x

4244244

+g(l-2"?)x+(,g(x)的对称轴是x=2机-1,因为g(x)=/(x)-机x(/neR)在［-1,1］上

是单调函数，所以|2,"-1|41<=>"?21或旭40

来源:

题型：解答题，难度：中档

汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，我们称这

段距离为"刹车距离".刹车距离是分析事故的一个重要因素.在一个限速40km/h以内的弯道

匕甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了，事发后现场测得

甲车的刹车距离没有超过17.5m,乙车刹车距离超过10m,又知甲、乙两种车型的刹车距离s(⑼

与车速x(km/h)之间分别有如下关系5产0.01+0.15x,S乙=0.005，+0.05x.

试问超速行驶应负主要责任的是甲车还是乙车？

答案：

2

ST=0.01X+0.15%,<17.5解得:-50<X<35,V”35km/h

SZ.=0.005X2+0.05X>1Of?W<x<-50或x>40,vz.>40km/h

显然甲没超速，而乙超限速，故乙车应负主要责任。

来源：08年高考函数应用专题

题型：解答题，难度：容易

某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆的月租金为3000元时可全部租出;当每辆车的月租金

每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的

每辆每月需要维护费50元，当每辆车的月租金定为多少元时租赁公司的月收益最大?最大收

益是多少元？

答案:

x—3000x—3000

./(%)=(100-)X(x-150)-()X50

5050

当x=4050时即)］而“=307050

来源：08年高考函数应用专题

题型：解答题，难度：中档

某小型自来水厂的蓄水池中存有400t水，水厂每小时向蓄水池中注人自来水603若蓄

水池向居民不间断地供水，且th内供水总量为120而t(0WtW24)

(1)供水开始几小时后，蓄水池中的水量最小?最小水量为多少吨?”

(2)若蓄水池中的水量小于803就会出现供水紧张问题，试问在一天的24h内，有多少小

时会出现供水紧张情况，并说明理由♦

答案：

(1)设站后蓄水池中的水量为W，则

.*y=400+60f-120V6/令=x,则0WxW12

y=400+60x2-120%=10(x-6)2+40,Sx=6即t=6时y有最小值40

即从开始供水6h后蓄水池中水量最小，最小值是40t

832328

(2)400+60X2-120X<80得4<x<8,：.-<t<—'：----=8

所以在一天24小时内有8h供水紧张

来源：08年高考函数应用专题

题型：解答题，难度：中档

已知函数"X)=5X—5X2,记函数/(X)=/(X),=

f3(x)=f[f2(x)],…，<(x)=/[A.,(x)],…，考察区间/=(-oo,0),对任意实数xeA,

有力(x)=/(x)=a<0,/2(x)=/[/1(x)]=/(a)<0,且心2时，fn(x)<0,问：是

否还有其它区间，对于该区间的任意实数x，只要〃》2,都有力(x)<0?

答案：

解析：/(%)<0,即5-—5》>0,故xVO或x>l.

：•工㈤<0o/[/„_,(刈<0ofn_{(x)<0或(x)>l.

要使一切〃cN+，力22,都有力(x)<0,必须使/(x)<0或力(x)〉l,

/(x)<0或/(x)>1，即5x—5x?<0或5x—5x?>1•

5-V55+V5

解得X<0或A>1或立工<X<厚B.

1010

,还有区间(=5,25)和(1,+8)使得对于这些区间内的任意实数x,

1010

只要〃22,都有<(x)<0.

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题型：解答题，难度：中档

如图，两铁路线垂直相交于站A,若已知AB=100公里，甲

火车从A站出发，沿AC方向以50公里/小时的速度行驶，同时

乙火车以v公里/小时的速度从B站沿BA方向行驶至A站即停止C

前行(甲车仍继续行驶).A

B

(1)用V表示甲、乙两车的最近距离(两车的车长忽略不计)；

(2)若甲、乙两车开始行驶到甲、乙两车相距最近时，所用时间为t。小时，问v为何值

时，to最大.

答案：

解：(1)设乙车行驶t小时到D,甲车行驶t小时到E,1°若OWtVWlOO,

则DEJAE2+ADJ(100-tV)2+(50t)2=(2500+V2)t2-200Vt+10000

当t=―-二时,DE,取最小值，DE也取最小值，其最小值为二000—

2500+V2护+2500

2°若tV>100时，乙车停止，甲车继续前行DE越来越大，无最大值.

由1°、2°知，甲、乙两车的最近距离为/500°=公里(6分)

VV2+2500

/八100V100/1002500

⑵to=----------=---------<---1,当且仅当丫=

2

2500+V2500+v-100V

V

即V=50公里/小时时,to最大.(12分)

答：v=50/小时时，t。最大.

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题型：解答题，难度：中档

某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/

辆，年销售量为1000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本.若

每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1),则出厂价相应提高的比例为0.75x,同时预计

年销售量增加的比例为0.6x.已知年利润=(出厂价-投入成本)x年销售量.

(I)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；

(II)为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围

内？

答案:

解：(I)由题意得y=[1.2x(l+0.75x)-lx(l+x)]x1000x(1+0.6x)(0<x<l),…4分

整理得y=-60x2+20x+200(0<x<1)........6分

(II)要保证本年度的利润比上年度有所增加，当且仅当

y—(1.2—1)x1000>0[-60x2+20x>0,八

<即<...9分

0<x<1.[0<x<1.

解不等式得0<x<』.

3

答：为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x应满足

0<x<0.33.……12分

来源：01春季高考

题型：解答题，难度：中档

已知二次函数/(x)的二次项系数为负，对任意实数x都有/(2-x)=/(2+x),问当

/(I一2/)与/(1+2x-Y)满足什么条件时才有-2<x<0?

答案：

由已知y=-a(x—2)2+h,(a>0).

二/(x)在"8,2］上单增，在(2,+8)上单调.

又•••l-2x2<1,l+2x-x2=-(^-l)2+2<2.

；•需讨论1—2/与i+2x——的大小.

由1+2x—x~—(1—2x~)=+2)知

当+2)<0,即—2<x<0时，1+2x—x~<1—2.x".

故/(l+2x-x2)<y(l-2x2)时，应有一2<X<0.

来源：

题型：解答题，难度：中档

经市场调查分析知，某地2006年从年初开始的前〃个月，对某种商品需求总量/(〃)(万件)

近似地满足下列关系:加尸击n(n+1)(35—2〃)(n=1,2,3,…[2)

(1)写出2006年第〃个月这种商品需求量g(x)(万件)与月份，的函数关系式，并求出哪几个

月的需求量超过1.4万件；

(2)若计划每月该商品的市场投放量都是p万件，并且要保证每月都满足市场需求，贝切

至少为多少万件？

答案：

1119

(1)当〃=1时，g(l)=/(l)=—时田(〃)411):/(〃-1)=石(一/广+12〃)(〃=1也成立)

解不等式相(一〃2+12〃)>1.4得5〈几<7

V«eN.・・〃=6,即第六个月的需求量超过1.4万件

(2)由题材设可知，对于〃=1,2,…,12恒有：九夕河㈤即+1)(35-2”)

13357

=—[-2(»-—)2+—+35当且仅当〃=8时，=—=1.14

1504850

每月至少投放1.14万件

来源：08年高考函数应用专题.

题型：解答题，难度：中档

某地区上年度电价为0.8元/kW-%,年用电量为akWl本年度计划将电价降到0.55元•

/皿•〃至0.75元/kW/之间，而用户期望电价为0.4元/kW./i经测算，下调电价后新增的用

电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为K)该地区电力的成本为0.3元

/kW-/z

(I)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式；

(II)设女=0.2。，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长

20%?y,

(注：收益=实际用电量X(实际电价-成本价))1

0.5

-------1----1---►

o0.51r

答案：

解：(I):设下调后的电价为X元/依题意知用电量增至一^+。，电力部门

x-0.4

的收益为y=(」一+a](x-0.3)(0.554x40.75)------5分

(x-0.4)

(II)依题意有.匕端+"卜-03)2[ax(0.8-0.3川+20%),_g分

0.55<x<0.75.

整理得卜+解此不等式得0.60JK0.75

[0.55<x<0.75

答:当电价最低定为0.6x元/bv•〃仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%.

来源：00春季高考

题型：解答题，难度：较难

某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场

售价与上市时间的关系用图-的一条折线表示;西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二

的抛物线段表示.

(I)写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式

写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g⑺;

（II）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？

（注：市场售价和种植成本的单位：元/IO）依，时间单位：天）

答案:

解：（I）由图一可得市场售价与时间的函数关系为

‘300—30W200,

［2r-300,200</<300;

由图二可得种植成本与时间的函数关系为

=-(f-150)2+100,0^^300.——4分

200

(II)设力时刻的纯收益为尔8,则由题意得A(t)=f(t)-g(t)

---f2+-r+—,0</<200

20022

即h(t)=<■6分

---t2+-t-^^,200<t<300

[20022

当0WW200时，配方整理得力（。=一一1-（t-50）2+100,

200

所以，当片50时，力1）取得区间［0,200］上的最大值100；

当200〈tW300时，配方整理得力（。=一二一（t-350）2+100

200

所以，当片300时，从力取得区间［200,300］上的最大值87.5.——10分

综上,由100>87.5可知，方（一在区间［0,300］上可以取得最大值100,此时片50,即从

二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大.——12分

来源：00全国高考

题型：解答题，难度：较难

已知一物体做圆周运动，出发后t分钟内走过的路程s=af2+4（aHO）,最初用5

分钟走完第一圈，接下去用3分钟走完第二圈.

（1）试问该物体走完第三圈用了多长忖间？（结果可用无理数表示）

（2）（理科做文科不做）试问从第几圈开始，走完一圈的时间不超过1分钟？

答案:

（1）设圆周长为依题意有可表示为竹北文科4分

理科2分

设出发t分钟后走完第三圈,则画2+加=3/,上式代入，得

f2+7f-180=O,vt>0,.-.解得f=^^-7文科4分

理科2分

所以走完第三圈需用时间为也普-8=空二生（分钟）文科4分

理科2分

（2）设出发f分钟后走完第x圈，则at?+78=r60。,（2分）

解得『=’49+警-7（分钟）,则走完x-1圈需公J49+24；（x-l）心（分钟）。分）

依题意应有f—f41,当XN16时.，不等式成立，

所以，从第16圈开始，走一圈所用时间不超过1分钟.……（2分）

来源：

题型：解答题，难度：中档

设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm2,画面的宽与高的比为入QV1=,画面的上、

下各留8cm空白，左、右各留5cm空白.怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张

面积最小？

答案:

解：设画面高为xcm,宽为Qrcm,则入/=4840.

设纸张面积为S,有S=(x+16)Gx+10)=入f+(]6九+10)x+160,----3分

将X=四代入上式，得S=5000+44710(871+=)6分

当871=3时，即4=2（』＜1）时，s取得最小值.

'8分

〃88

_J4840宽：西=*x88=55cm.

此时，高：X=88cm

V28

答：画面高为88cm,宽为55cm时，能使所用纸张面积最小.12分

来源：01全国高考

题型：解答题，难度：中档

设。为实数，函数/（x）=x?+|x-a|+1,xeR

（1）讨论/*）的奇偶性；

⑵求/*）的最小值.

答案：

解：(I)当4=0时，函数/(—X)=(—X)2+|-X|+1=/(X)

此时,f(x)为偶函数当。声0时,f(a)=a2+l,f(-a)=a2+2\a\+l,

/(。)工/(一。)，/伍)力一/(一。)此时/(x)既不是奇函数，也不是偶函数

11，3

(II)(i)当时，j(X)=X"—X+6?+1=(X——)+4--

当则函数/(x)在(-co,。］上单调递减，从而函数/(x)在(-co,©上的最小值

为了⑷="L若"g,则函数小)在y㈤上的最小值为尺)=沁，且

/(1)＜/(a).

°1。3

(ii)当XNQ时，函数/(x)=/+X-Q+1=(x+］)“一。+

若。4一；，则函数/(x)在(-8,0上的最小值为/(-5=1-a,K/(-1)＜/(a)

若。＞一(，则函数/(x)在［a,+8)上单调递增，从而函数/*)在［a,+8)上的最小值

为/(a)=a2+1.

］3

综上，当aw—］时，函数/(x)的最小值为^一。

当一时，函数/(x)的最小值为^+1

当。＞工时，函数/(x)的最小值为3+a.

24

来源：02全国高考

题型：解答题，难度：中档

渔场中鱼群的最大养殖量为，“，为保证鱼群的生成空间，实际养殖量不能达到最大养殖

量，必须留出适当的空闲量，己知鱼群的年增长量"和实际养殖量"与空闲率的乘枳成正比，

比例系数为k收＞0).

(1)写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域；

(2)求鱼群年增长量的最大值；

(3)当鱼群的年增长量达到最大值时，求k的取值范围.

答案：

(l)y=fcr(l---)(0<x<m)

m

八..2/2、k/m、2km

(2),**y=----~IHX)=-----------(x----)4----

inm24

...当-三时，y取得最大值9

(3)依题材意，为保证鱼群留有一定的生长空间，则有实际养殖量与年增长的量的和小于

最大养殖量，即0<x+)，〈机

因为当行3时,为心=则.\o<-+—<W,W：-2<k<2

2424

但Q0,从而得:0〈M2

来源：08年高考函数应用专题

题型：解答题，难度：中档

1-x2=y

2

解方程组：\\-y=Z.(在实数范围内)

1-z2=x

答案：

首先x,y,z均不为0,否则设尸0,则产l,z=0,所以尸0矛盾。所以XHO,同理y#0,

zW0.

其次若y>0,则if〉。，所以所以（Xy<l.所以（Xl-y2=z〈l,所以0<r<l.所

以x,y,z40,1）.

考虑函数/⑺=17,刖在（0,1）上是减函数，由题设可知/（x）=y,y（_y）=z,_/U）=x,若xWy,不

防设小户则/（X）次y），即y>z,所以沁）勺（z）,即z<x,所以/）次0.所以x>y矛盾。同理若x>y

也可得矛盾。所以-以所以/W=/b）,所以尸z。

代入原方程组得f+r1=0,所以-二1±'.又（Xxvl,所以产尸z=T±-.若y<0,

22

则因为l-X2<0,所以又x=l-dwi,所以XV-1,所以1<2<-1,所以z?>2.又Z=1-），V1,

所以所以苍y,z<0.

_1-Vs

又也尸if在（・8,0）上递增，同理可得尸产Z,代入原方程解得尸产z=—六.综上可

得方程组的解为尸y=z=二।土延

2

来源：08年数学竞赛专题三

题型：解答题，难度：较难

某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出.当每辆车

的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元,

未租出的车每辆每月需要维护费50元.

(I)当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？

(II)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？

答案：

解：(I)当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为3600-3000=豆,所以

50

这时租出了88辆车.

(II)设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为

、/Irx/Ax—3000、/._„x-3000

/W=(100————)(x-150)————X5A0，

整理得/(x)=-1^+162x-21000=-《(x-4050)2+307050所以，当A=4050时，/(X)最大,

最大值为/(4050)=307050,

即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307050

元.

来源：03北京市春

题型：解答题，难度：中档

试求a分别是90°,60°时，弦AB所扫过的面积.已知二次函数y=g(x)的图象经过点

(0,0)、(m,Q)与点++l)>

(1)求y=g(x)的解析式；(2)设f(x)=(x-n)g(x)(ni>n>0),且在x=a和

x-h(b<a)处取到极值，①求证b<〃<〃<，”；②若机+〃<2痣，则过原点且与曲

线),=/(X)相切的两条直线能否互相垂直，请证明你的结论.③若机+〃420,且过原点

存在两条互相垂直的直线与曲线y=/(x)均相切，求丁=/(幻的方程.

答案：

c=0[a=1

解：(1)设g(x)=ax2++c(。w0),山题意得<am2+bm-0,解得，b=-m,

a(m+1)+Z?=1c=0

所以g。)=/一.--4分

(2)①/(x)=(x-〃)g(x)=Y-(加+〃)/+〃〃吠，求导数得

f\x)=3x2-2(m+n)x+mn,由题意知a,b是二次方程f\x)=0的两个实根.因为

/'(0)=mn>Q,/'(〃)=n(n一机)<0,f'(m)=m(m-n)>0f故两根x=Q和x=。

分布在区间(0,〃)和(凡相)内，必有。<n<a<m；--7分

②设过原点且与曲线y=/.(%)相切的直线的切点为(与，打)，则

2

yQ=xj-(m+n)xQ+mnxQ,切线的斜率为广(x。)=3/2-2(m+〃)/+加〃，切线方

程为了一汽=/(%)(工一/).因为切线经过原点，则有0-%=/(%)(0-/)，即

222

xj一(m+n)xQ+mnxQ=x0(3x0-2(m+n)xQ+mn),整理为x0[2x0-(m+〃)]=0,

2

解得x0=0或x0=竺『，代入f'(x0)=3x0—2(m+〃)Xo+〃皿得两条切线的斜率分别

(m+〃)2

为k1=mn,k=+机〃.由于m+〃<,则(加+〃)2<8,从而

24

(m+n)2

—4+加〃〉一2+mn，在不等式k2>-2+mn两边同乘以正数k｝得

2

kck2>mn(-2+mn)=(mn-1)-1>-1,即占•七>—1,所以两条切线不可能垂直.

--10分

③由②，由于加+〃<2后，则(m+〃)2<8,由左2之一2+机〃得

2

kx-k2>mn(-2+mn)-(mn-1)-12-1,两条切线垂直即左1-k2=-1,所以必有

机+〃=2拒且加〃=1,解/2+〃=2后可得卜=2/-1,所以y=/(x)的方程为

mn=1[n=2v2+1

y=x(x—2V2—l)(x—2V2+1).---13分

来源：

题型：解答题，难度：较难

随着我国加入WTO,某企业决定从甲、乙两种畅销产品中选择一种进行投资生产，打入国

际市场已知投资4E产这两种产品的有关数据如卜表(单彳立:万美元)

年固定成本每件产品成本每件产品每年最多生产的

类目销售价件数

甲产知\30a10200

乙产品50818120

其中年固定成本与生产的件数无关,a为常数,且4WaW8另外,年销售x件乙产品时需上

交0.05x2万美元的特别关税.

(1)写出该厂分别投资生产甲、乙两种产品的年利润yhyz与生产相应产品的件数

x(xwN)之间的函数关系式；

(2)分别求出投资生产这两种产品的最大年利润;

⑶如何决定投资可获最大年利润？

答案:

解：⑴依题：y］=（10-a）x-30,0<x<200,xeN...（2分）

2

y2=-0.05x+10%-50,0<x<120,xeN...（4分）

（2）V10-tz>0,Ay,=（10-。）》一30,在［0,200］上是增函数

二H最大=Q0—4）x200—30=1970—200。……（6分）