高中数学习题4：平面向量全章综合测试

章末综合检测

（时间：100分钟；满分：120分）

一、选择题（本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的）

1.丽衣一应斗而化简后等于（）

A.3宓B.AB

C.BAD.CA

解析：选B.原式=（AB+BA）+（AC-BC）={AB-AB）+（AC+CB）=0+症=

AB,故选B.

2.已知向量a=（l,n）,6=（—1,n）,若2a~b与b垂直，则a等于

（）

A.1B.镜

C.2D.4

解析：选C.由于2a—6与人垂直，则（2a—6）♦8=0,即（3,n）,（—1,n）

=—3+万=0.解得〃=±十.所以a=（1,±，5）.所以a=y[l+~土木~"=

2.

3.在平行四边形力腼中，OA=a,OB=b,OC=OD=d,则下列运算正确的

是（）

A.a+b+c+d=0B.a-b+c~d=0

C.a+b-c—d=0D.a—b-c+d=Q

解析：选B.a—b+c-d=OA-OB+OC-OD=瓦1+DC=一AB+DC=0.

4.下列说法正确的是（）

A.两个单位向量的数量积为1

B.若a•b=a•c,且aWO,则b=c

Q.AB=OA-OB

D.若b-Lc,则（a+c）•b—a•b

解析：选D.A中，两向量的夹角不确定，故A错误；B中，若a，b,a±c,

力与C反方向，则不成立，故B错误；C中，应为龙=第一而，故C错误；D中，

因为瓦Zc,所以b・c=O,所以(a+c)•b=a•8+c•力=a•A,故D正确.

5.设向量a=(l,—3),b=(—2,4),c=(—1,—2),若表示向量4a,46

—2c,2(a—c),d的有向线段首尾相接能构成四边形，则d=()

A.(2,6)B.(-2,6)

C.(2,-6)D.(—2,—6)

解析：选D.由题意得4a+4b-2c+2(a—c)+d=0.

6a+4,一4c+d=0,

，d=-6a-4b+4c=—6(l,—3)—4(-2,4)+4(—1,-2)=(—2,一

6).

6.已知圆。的半径为3,直径48上一点。使花=3泡，E、尸为另一直径的

两个端点，则庞•房=()

A.-3B.-4

C.-8D.-6

解析：选C.法一：依题意得，无•赤1=(质+而•(质+的=(质+

丽•(加一曲=1—9=—8,故选C.

法二：特殊位置法，令EF1AB,然后利用坐标运算即可.

7.在直角坐标系xa中，AB=(2,1),衣=(3,A),若三角形/6C是直角三

角形，则在的可能值个数是()

A.1B.2

C.3D.4

解析：选B.若N/=90°,则森•觉=6+A=0,k=—6；

若N3=90°,则瀛•反'=诵・(花一曲=0,

6+4一5=0,4=一1；

若NC=90。,则衣•宓=衣・(荔一菊=0,

产一4+3=0无解.

・•・综上，A可能取一6,一1两个数.故选B.

8.已知/〃、缈分别为△4%的边6。、4。上的中线，设莅，=a,RE=b,则

应等于（）

A亭+|台

2,4,

B.铲+於

24,

C-3a~3b

D.-2晶

解析：选B.反7=2砺=2（|丽晟）=扬斗嘉哥a+S故选B.

oo00U0

9.A,B,C,〃为平面上四个互异点，且满足（康+比一29）•（密一必=

0,则△48。的形状是（）

A.直角三角形B.等腰三角形

C.等腰直角三角形D.等边三角形

解析：选B.•.•（场+比一2忌）•（AB~~AC）

=（DB-DA+DC-DA）•（AB-~AC）

=（定+而•（宓一福=/一超=0,

|函=|衣••.△48。为等腰三角形.

10.在平面直角坐标系中，若。为坐标原点，则4,B,。三点在同一直线上

的等价条件为存在唯一的实数人，使得庞'=4而+（1—八）①成立，此时称实

数儿为“向量应关于应和南勺终点共线分解系数”.若已知A（3,1）,PA-

1,3）,且向量旗与向量a=（l,1）垂直，则“向量廉关于总和彼的终点共线分

解系数”为（）

A.13B.3

C.1D.-1

解析：选D.设施=(x,y),则由旗J_a知*+y=0,

于是旗=(*,—x),

设旗=4旗+(1一九)旗，

(x,—x)—4(3,1)+(1—4)(一1,3)

—(4A—1,3—24).

’44一1=x,

•<

,3一24=.x,

于是44—1+3—24=0,4=一1.

二、填空题(本大题共5小题，请把正确的答案填在题中的横线上)

11.如图，在正方形力史9中，设靠=a,AD=b,Bb=c,则在以a,b为基

底时，丸可表示为,在以a,c为基底时，而可表示为.

解析：以a,c为基底时将丽平移，使8与/重合，再由三角形法则或平行

四边形法则即得.

答案：a+b2a+c

12.已知a=(1,1),b—(1,0),c满足a,c=0,且a=\c\,

b,c>0,则c=.

解析：设c=(x,y).

由a•c=0,得x+y=0.①

再由|a|=|c|,得*+”=2.②

x=1,[x=—1,

由①②，得，，或〈,

g—1,ly=l.

又b・c>0,.*.jr>0,c=(1,-1).

答案：(1，-1)

13.已知|a|=，5,|b\=4,|c\=2y/3,且a+2>+c=0,则a・b+6・c+

c•a=.

解析：(a+B+c)三|ap+|b\*2+*|c「+2(a•c+b•c+a•Z>)=0,

..a•b+b•c+c,a=一万.

0431

答案：一~

14.已知|a|=l,\b\=\,a与b的夹角为120°,则向量2a—b在向量a

+b方向上的投影为.

解析：(2a—6),(a+/>)=2a~~b2a•b—a,b—£>2=2aJ+a•b—2r=2X1J+

21

IXlXcos120°o-12=-

|a+b='a+b5=^/a'+2a•b+lf

=^/1+2X1X1XCOS120°+1=1.故向量2a-b在向量a+8方向上的投

反用/d,---2-a-—--b---•----a-+-b---——1

a+Z?|2,

答案：2

AB

15.如图所示，在正方形/朋中，已知|而|=2,若"为正方形内（含边界）

任意一点，则崩•布的最大值是.

解析：VAB-AN=|^|•|/^•cosABAN,|施|•cosN历1"表示苏在加T

向上的投影，又|走|=2,.•.宓•就的最大值是4.

答案：4

三、解答题（本大题共5小题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步

骤）

16.已知。，45是平面上不共线的三点，直线4?上有一点心满足2衣十

CB=Q,

(1)用洒，稣示宓

⑵若点。是烟的中点，证明四边形娟。是梯形.

B

3

0-------C

解：⑴流+0=0,

2(充一汤)+(宓一沅)=0.

20C-2dA+dB-dC=0.

：.OC=2OA-dB.

(2)证明：如图，DA=DO+~OA

=_［南+汤=3(2洒一丽.

故而1=；沅：

故四边形比仞为梯形.

17.设平面上向量a=(cosa,sina)(OWa〈2n),b=(—乎)，a

与b不共线.

(1)证明向量a+b与a—力垂直；

(2)当两个向量/a+b与a—/力的模相等时，求角a.

解：⑴证明:a+b=(―^+cosa,乎+sina),

(a+6)•(a—6)=cos2Q—彳+sir?a-z=0,

(a+/>)_L(a—b).

(2)由题意：(小a+b)?=(a—小by得:a•b=0,

1M/口J3

-~cosa4-^-sin。=0,得tana=~^-.

乙乙o

,Ji7Ji

又0Wa<2JT,得a=-^-或

66

18.已知a=(l,2),6=(1,八)，分别确定实数4的取值范围，使得(Da

与6的夹角为直角；

(2)a与力的夹角为钝角.

解：设a与力的夹角为0,

a|=)r+22=/,b\=y]l+^2,a•b=1+2.

(1)因为a与b的夹角为直角，所以a_ZZ>,所以a•■=(),所以1+24=0,

1

即1

A2-

(2)因为a与力的夹角为钝角，

所以cos0<0且cos〃W—1,

所以a•沃0且a与b不反向.

由a，乐。得1+2/K0,故儿〈一g

由a与6共线得人=2,故a与力不可能反向.

所以儿的取值范围为(-8,

19.如图，平行四边形力比7?中，AB=a,Ab=b,H、"是4?、〃。的中点,

BC上点、尸使BF=\BC.

(1)以a、6为基底表示向量砒旗

⑵若a=3,b=4,a与力的夹角为120°,求希•诙

解：⑴由已知得叶诙=[a+b.

乙

.,.赤=加+懑'=—/+(a+如=a_gb.

/J0

(2)由已知得a•力=|a「引cos120°=3X4X(一；)=—6,

从而亦•滋=(1a+6)•(a—=[a•b~^\b'=-1X32+T^X(—

Lb212,o212

、1211

6)--X4-=--

b3

20.在平面直角坐标系中，4(1,1)、8(2,3)、C(s,t)、P(x,y),XABC

是等腰直角三角形，8为直角顶点.

(1)求