九年级数学上册 直线与圆的位置关系新题分类 人教新课标版

（备战中考）2012年中考数学新题分类汇总（中考真题+模拟新题）：

直线与圆的位置关系

一、选择题

1.（2011宁波市，11,3分）如图，0a的半径为1,正方形力用力的边长为6,点”为正

方形被力的中心，Q"垂直4?与尸点，QQ=8.若将。。绕点一按顺时针方向旋转360°,

在旋转过程中，。0,与正方形力腼的边只有一个公共点的情况一共出现

A.a次B.5次C.6次D.7次

【答案】B

2.（20H浙江台州，10,4分）如图，。。的半径为2,点0到直线1的距离为3,点P是

直线1上的一个动点，PB切。。于点B,则PB的最小值是（）

A.V13B.75C.3D.2

【答案】B

3.（2011浙江温州，10,4分）如图，。是正方形4阅9的对角线加上一点，。。边16,

a1都相切，点反夕分别在边DC上.现将△龙尸沿着6对折，折痕即与。。相切,

此时点。恰好落在圆心。处.若龙=2,则正方形/翁的边长是（）

（第10题图）

A.3B.4C.2+V2D.2拒

【答案】C

4.（2011浙江丽水，10,3分）如图，在平面直角坐标系中，过格点4B,C作一圆弧,

点6与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（）

>'A

A.点（0,3）B.点（2,3）C.点（5,1）D.点

（6,1）

【答案】C

5.（2011浙江金华，10,3分）如图，在平面直角坐标系中，过格点4B,。作一圆弧，

点6与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（）

A.点（0,.3）B.点（2,3）C.点（5,1）D.点（6,1）

【答案】C

6.（2011山东日照，11,4分）己知/入比'于GB（=a,CA=b,AB-c,下列选项中。。的

半径为①一的是（）

a+b

【答案】C

7.（2011湖北鄂州，13,3分）如图，AB为。。的直径，PD切。0于点C,交AB的延长线

于D,且C0=CD,则/PCA=()

A.30°B.45°C.60°D.67.5°

A

第13题图

【答案】D

8.（2011浙江湖州，9,3）如图，已知是。。的直径，C是4?延长线上一点，BC=OB,

以是。〃的切线，切点为。，过点4作4EL阳垂足为左则缪：应"的值是

A.-B.1C.2D.3

2

9.（2011台湾全区，33）如图（十五），AB为圆。的直径，在圆。上取异于/、8的一点C,

并连接前、

7c.若想在而上取一点只使得户与直线式1的距离等于所长，判断下列四个作法何

者正确？

A.作AC的中垂线，交AB于P点

B.作位的角平分线，交而于。点

C.作的角平分线，交急于〃点，过〃作直线a1的并行线，交而于一点

D.过｛作圆。的切线，交直线优于〃点，作/4T的角平分线，交通于。点

【答案】D

10.（20H甘肃兰州，3,4分）如图，AB是。0的直径，点D在AB的延长线上，DC切。0

于点C,若/A=25°,则ND等于

【答案】C

11.（2011四川成都，10,3分）已知。0的面积为9次，〃2,若点0到直线/的距离为加机

则直线/与。0的位置关系是C

（A）相交（B）相切（C）相离（D）无法确定

【答案】c

12.（2011重庆菱江，7,4分）如图，必、如是。。的切线，切点是4B,已知N—60°,

勿=3,那么N4仍所对弧的长度为（）

A.6”B.5JiC.3JiD.2n

【答案】：D

13.（20H湖北黄冈，13,3分）如图，AB为。。的直径，PD切。0于点C,交AB的延长

线于D,且C0=CD,则NPCA=（）

A.30°B.45°C.60°D.67.5°

【答案】D

14.（2011山东东营，12,3分）如图，直线y=+6与x轴、y分别相交与A、B两

点,圆心P的坐标为（1,0）,圆P与y轴相切与点0。若将圆P沿x轴向左移动，当

圆P与该直线相交时，横坐标为整数的点P'的个数是（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

15.（20H浙江杭州，5,3）在平面直角坐标系x0中，以点（-3,4）为圆心，4为半径的

圆（）

A.与x轴相交，与y轴相切B.与x轴相离，与y轴相交

C.与x轴相切，与y轴相交D.与x轴相切，与y轴相离

【答案】C

16.（2011山东枣庄，7,3分）如图,Q4是。。的切线，切点为4PA=2#）,NAPgO°,

A.1B.73C.21).4

【答案】C

二、填空题

1.（2011广东东莞，9,4分）如图,血与。。相切于点反4。的延长线交。。于点，迎结

BC.若/力=40。，则NC=°

【答案】25°

2.（2011四川南充市，13,3分）如图，PA,PB是。0是切线，A,B为切点“AC是。0

的直径，若/BAC=25°,则/P=度.

【答案】50

3.（2011浙江衢州，16,4分）木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径八用角尺的较

短边紧靠O,并使较长边与。相切于点C.假设角尺的较长边足够长，角尺的顶点8,

较短边AB=8cm.若读得BC长为acm,则用含a的代数式表示「为

（第16题）

【答案】当0<aW8时，r=a；当

a>8时，r-—a2+4.或当0<r<S,r-a,^r--a2+4.

1616

4.（2011浙江绍兴，16,5分）如图，相距2cm的两个点A,8在在线/上，它们分别以2cm/s

和1cm/s的速度在/上同时向右平移，当点A3分别平移到点4,用的位置时，半径为1cm

的A与半径为的B相切，则点A平移到点A,的所用时间为s.

-AB~

第16题图

【答案】1或3

3

5.（2011江苏苏州，16,3分）如图，已知AB是。0的一条直径，延长AB至C点，使得AC=3BC,

CD与。0相切，切点为D.若CD=g,则线段BC的长度等于.

【答案】1

6.（2011江苏宿迁，17,3分）如图，从。。外一点4引圆的切线46,切点为6,连接力。并

延长交圆于点G连接8c若N4=26°,则的度数为▲.

（第17题），

【答案】32

7.（2011山东济宁，13,3分）如图，在RtZVIbC中，,440°,叱4cm,

以点C为圆心，以3cm长为半径作圆，则0c与4?的位置关系是.

第13题

【答案】相交

8.（2011广东汕头，9,4分）如图，力6与。。相切于点6,10的延长线交。。于点，连结

BC.若/力=40°,则NC=

【答案】25°

9.（2011山东威海，17,3分）如图①，将一个量角器与一张等腰直角三角形（△490纸

片放置成轴对称图形，N/f3=90°,"_L46,垂足为〃，半圆（量角器）的圆心与点。重合，

没得龙=5cm,将量角器沿ZT方向平移2cm,半圆（量角器）恰与△力园的边4。、a'相切，

如图②，则四的长为cm.（精确到0.1cm）

【答案】24.5

10.（2011四川宜宾，11,3分）如图，PA、PB是。。的切线，A、B为切点，AC是。0的直

径，NP=40°,则NBAC=_____.

（第11题图）

【答案】20。

11.(2010湖北孝感，18,3分)如图，直径分别为CD、CE的两个半圆相切于点C,大半

圆M的弦AB与小半圆N相切于点F,且AB〃CD,AB=4,设C。、CE的长分别为x、y,线

【答案】8n

12.(20H广东省，9,4分)如图，与。。相切于点8,4。的延长线交。。于点，连结

BC.若/力=40°，则NC=°

【答案】25°

三、解答题

1.(2011浙江义乌，21,8分)如图，已知OQ的直径46与弦位互相垂直，垂足为点笈O

。的切线91与弦力〃的

延长线相交于点尸，且4/3,cosZBCD=.

(1)求证：CD//BF-,

(2)求。。的半径；

(3)求弦切的长.

【答案】(1),••跖是。。的切线：.ABVBF

ABLCD

：.CD//BF

(2)连结劭・.・力3是直径.•・//妍90°

3

•：/BCD-/BADcosZBCD=-

AD3

：.cosZBA/>——

AB4

又：仍3：.AB=4

的半径为2

9

/少3,4后一

4

6Z>2的错误！

2.(2011浙江省舟山，22,10分)如图，中，以6c为直径的圆交4?于点〃ZACD=

ZABC.

(1)求证：0是圆的切线；

75

(2)若点£是8c上一•点，已知梦6,tax\Z.ABC=—,tan/4除一，求圆的直径.

33

(第22题)

【答案】(1)是直径，:.NBDO9Q。,:.NABC+NDCB挈。,'：AACD-AABC,

:.NAOA/DCB的,是圆的切线.

5AC53

(2)在RtZ\45C1中，tan/AEC=—,-----=—,EC=—AC;

3EC35

2AC23

在Rt/X/SC中，tan/ABC=—>......-,BC—AC;

3BC32

3320

'：BC-EC=BE,B和6,：.-AC一一4。=6,解得4e一，

253

320

BC=-x—=10.即圆的直径为10.

23

3.(2011安徽芜湖，23,12分)如图，己知直线PA交。。于46两点，4'是。0

的直径，点。为。。上一点，且4C平分/力£,过。作CO_LPA,垂足为〃

(1)求证：切为00的切线；

(2)若牍仅1=6,。。的直径为10,求力6的长度.

第23题图

【答案】

(1)证明：连接OC,1分

因为点。在。。上，OA=OC,所以NOC4=NQ4C因为CD_LPA,所以NCD4=90,

有NC4D+NDC4=90.因为平分所以ND4C=NC4。..........3分

所以ZDCO=ZDCA+ZACO=ZDCA+ZCAO=ZDCA+ZDAC=90.……4分

又因为点C在。。上，0c为。。的半径，所以切为。。的切线.............5分

(2)解:过。作0FLA8,垂足为广，所以/。。。=/。。4=/。尸。=90,

所以,四边形为矩形，所以OC=ED,OF=CD...............................................7分

因为DC+DA=Q,设A。=x，贝!|OF=CD-6-x.

因为。。的直径为10,所以。E=OC=5,所以AF=5—x.

在Rtz\AO/中，由勾股定理知4/2+0772=32.

即（5-x『+（6-x）2=25.化简得/一15+18=0,

解得x=2或产9.........................9分

由AO<OF,知（）<x<5,故x=2.............10分

从而力介2,AF=5-2=3............................11分

因为OF_L45,由垂径定理知尸为48的中点，所以AB=2AF=6.................12分

4.(2011山东滨州，22,8分)如图，直线冏/切。。于点瓶直线尸。交。。于/、8两点,

弦力勿倒连接。伙犯

求证：(lr)XABCs4P0M1

⑵2面=如BC.

M

c

BP

(第22题图)

【答案】证明：(1)I•直线PM切。0于点M,•,.NPM0=90°............1分

•.,弦AB是直径，ZACB=90°............2分

ZACB=ZPMO............3分

VAC^PM,AZCAB=ZP............4分

/.△ABC^APOM............5分

,、AfiBC八

(2)VAABC^APOM,:.——=....6分

POOM

r2OABC八

又AB=2OA,OA=OM,----=—.............7分

POOA

.•.2OA=0P•BC............8分

5.(2011山东荷泽，18,10分)如图，加为。。的直径，AB=AC,AD交BC于点、E,/户2,

阱4,

(1)求证：2ABES/\ADB；

(2)求四的长；

(3)延长如到“使得游如，连接用，试判断直线为与。。的位置关系，并说明理由.

解：(1)证明：；AB=AC,：.ZAB(=ZC,

AAABOAD,

又NBA拄NEAB,：./\ABE^/\ADB,

AQAp

(2)XABEsl\ADB,

ADAB

：.A^=AD•AE={AE+ED)•{氏(2+4)X2=12

庐2月.

（3）直线必与。。相切，理由如下：

连接勿，•.•刃为。。的直径，力介90°,

BD=ylAB2+ADr=J12+（2+4）2=4>/3,

B户BO-、BD=2/,

2

/庐2有，B六B年AB,可证/OA六90°,

...直线物与。。相切.

6.（2011山东日照，21,9分）如图，46是。。的直径，4C是弦，口?是。。的切线，C为

切点，ADLCD干点、D.

求证：（1）ZA0O2ZACDt

【答案】证明：(1)是。。的切线，.•./龙氏90°,

即N/I办N4C390°.…①,?OC=OA,：.ZACO-ZCAO,

：.N4ZM80°-2AACO,即-ZAO&ZACO=90°.②由①，②，得：

2

ZACD--ZAOOO,即//妗2//5；

2

(2)如图，连接8c

是直径，妙90°.

在RtZX/切与△口水》中，

'：ZAOC=2ZS,：.ZB=ZAO>,

ACAD

：.XACMl\ABC,：.——=——，即A(^=AB•AD.

AC

7.（2011浙江温州，20,8分）如图，4?是。。的直径，弦⑺J_4?于点£,过点8作。。

的切线，交〃1的延长线于点F.已知》=3,AE=2,

⑴求切的长；

⑵求跖的长.

A

（第20题图）

【答案】解：⑴连结比,，在Rt/跋中,CE=4OC°—O田=7^1=2亚.

'：CDLAB,

：.CD=3CE=4&

（第20题图）

(2),:BF是©0的切线,

：.FBLAB,

：.CE//FB,

:ZCEsXAFB,

.CEAE272_2

••赤-A8'BF~6

：.BF=6版

8.（2011浙江省嘉兴，22,12分）如图，△/回中，以比为直径的圆交于点〃NAC庐

ZABC.

（1）求证：0是圆的切线；

（2）若点、E是加上一点、,已知法6,tanZ/^-,tanZJ^-,求圆的直径.

33

（第22题）

【答案】(1)；8C是直径,:.NBDC=9Q°,:./ABC+NDCB冯&,'：ZACD-ZABC,

:.NAC屏/DCB畛0°,：.BC±CA,六。是圆的切线.

5AC53

⑵在中，tan/AEC=—,---=—,EC=—AC;

3EC35

2AC23

在中，tan/ABC=—,...———,BC———AC;

3BC32

3320

,：BC-EC=BE,BE=<6,；.一AC—二AC=6,解得力建一，

253

320

:.BC=-x——=10.即圆的直径为10.

23

9.(2011广东株洲，22,8分)如图，AB为。0的直径，BC为。0的切线，交。0于点

E,D为AC上一点，ZA0D=ZC.

(1)求证：0D1AC；

3

(2)若AE=8,tanA=一，求0D的长.

【答案】(1)证明：：BC是。。的切线，AB为。0的直径

AZABC=90°,ZA+ZC=90°,

XVZA0D=ZC,

AZA0D+ZA=90°,

AZAD0=90°,

AODIAC.

(2)解：：ODJ_AE,0为圆心，

；.D为AE中点，

Z.AD=-AE=4,

2

又tanA=3,/.0D=3.

4

10.(2011山东济宁，20,7分)如图，48是。。的直径，4"和5V是它的两条切线，DE

切00于点反交4V于点〃交期于点C,尸是5的中点，连接阴

(1)求证：OD〃BE；

（2）猜想：OF与切有何数量关系？并说明理由.

第20题

【答案】（1）证明：连接0E,

,JAM,"是00的切线，0A、施是。。的半径,

:./AD0=/ED0,/DA0=/DE年90°,

1

ZA0D=ZE0D=-NAOE,

2

ZABE=-ZAOE,：.ZA0D=ZABE,

2

0D〃BE

（2）OF^-CD,

2

理由：连接比；

,:BC、龙是。。的切线，

Z0CB=Z0CE

,CAM//BN,

：.NAD0+NED0+/0CB+/0CE=\8G

由（1）得NAD0=NED0,

：*2NED0包/OCE=\80°,即，£90+/。宓=90。

在RtADOC中，：尸是ZT的中点，

.♦.OF」微

2

11.（2011山东聊城，23,8分）如图，4?是半圆的直径，点0是圆心，点C是力的中点,

aaai交半圆于点〃，点£是8。的中点，连接如、AE,过点。作加〃然交胡的延

长线于点P,

(1)求//勿的度数；

(2)求证：P〃是半圆。的切线;

【答案】(1)1点C是物的中点，,:CDLOA,：/OCD=90°,

22

0C1

在RtZXO切中，cosNCOM——=一，:"COD=60°,即乙4如=60°,

OD2

(2)证明：连接％,点£1是川弧的中点，应■弧=打弧，?.AB0E=AD0E=-AD0B=-

22

(180°-/80)=60°,<0A=0E,；.NEAg4AE0,又/EA0+NAEgNE0B=6Q°,：.

N£4(7=30°,,：?D//AE,AZP=Z£4<7=30°，由(1)知N4OZ)=60°,NPZ»=180°

一(NP+NP物=180°-(30°+60°)=90°,...P。是圆。的切线

12.(2011山东潍坊，23,11分)如图，力6是半圆。的直径，4?=2.射线4以曲，为半圆的

切线.在4"上取一点D,连接劭交半圆于点C,连接AC.过。点作6c的垂线0E,垂足

为点笈与例'相交于点五过〃点做半圆的切线〃尸，切点为只与8V相交于点Q.

(1)求证：/XABCsA0FB；

(2)当//勿与△跖。的面积相等时，求80的长；

(3)求证：当〃在力/上移动时(/点除外)，点0始终是线段跖的中点.

【解】(1)证明：•••"为直径，

/〃於90°,即ACVBC.

又‘：OE'BC,：.0E//AC,：.^BAO^FOB.

是半圆的切线，散/BCA=NOB290；

:.XACBSAOBF.

(2)由/\ACBs40BF,得/OFB=NDBA,ZDAB=^OBF=QO°,

:.△ABMXBFO,

当△4%9与△阳7〃的面积相等时，IXAB哈l\BFO.

.•.JZ>BO=-AB=1.

2

VDA±AB,，DA为。0的切线.

连接OP,•.•〃是半圆。的切线，

.*.DA=DP=1,/.DA=AO=OP=DP=1,

四边形ADPO为正方形.

DP//AB,二四边形DABQ为矩形.

：.BQ=AD=\.

(3)由(2)知，IXABMXBFO,

BFABcn2

••---=----,>.BF-----.

OBADAD

:勿空是半圆。的切线，.•.力庐始QB=QP.

过点。作4%的垂线QK,垂足为K,在Rt丛DQK中,DQ2=QK2+DK2,

：.(AD+BQ,=(AO-BQ)2+22,

BQ=—,B户2BQ,0为跖的中点.

AD

13.(2011四川广安，29,10分)如图8所示.。是。。外一点.用是。。的切线./是切

点.8是00上一点.且必=/，连接4。、BO、AB,并延长60与切线处相交于点

(1)求证：阳是00的切线；

(2)求证：AQP①OQBQ；

4

(3)设//冲a.若cosa=-.0Q-15.求的长

5

【答案】（1）证明：如图，连结0P

,:PA=PB,AO=BO,PO=PO

:.MAP哙XBPO:.NPB0=NPA05°

...如是。0的切线

(2)证明：'：NOAQ=/PBQW

:ZPBsNQOA

.PQ_=BQ^即险哙OQBQ

OQAQ

An4

(3)解：cosa=-----=—r.\A0=12

OQ5

•.*△QPBsAQOAABPQ=AAOQ=a

：.tanZBPO=—^~...阳=36P0=12V10

PB4

iozr__

'：-ABPO-OSBP：.AB=—y/lO

14.（2011江苏淮安，25,10分）如图，/〃是。。的弦，4?经过圆心0,交。。于点C,Z

DAB=NB40".

（1）直线M是否与。。相切？为什么？⑵连接w，若切=5,求46的长.

D

【答案】（1）答：直线加与。。相切.理由如下:

如图,连接0D,

NODA=NDAB=NB秘。,

：.NODB=180。-N0DA-ZDAB-NB=\8Q°-30°-30°-30°-90°,

即ODVBD,

.•.直线切与。。相切.

(2)解：由(1)知，NODANDAB40。，

：.ZDOB=ZODA+ZDAB=^°,

又,：OC=OD,

.•.△助是等边三角形，

OA=OD=CD^>.

又,2830。，NODB40°,

：.0B=20D=\Q.

."6=/+但+10=15.

AB

O

15.（20H江苏南通，22,8分）（本小题满分8分）

如图，4"为。〃的切线，｛为切点，BD1AM干点D,8〃交。。于C,0C平分NAOB.求NB

的度数.

【答案】60°.

16.（20H四川绵阳22,12）如图，在梯形4犯9中，AB//CD,NBAD=90°,以49为直径

的

半圆。与BC相切.

（1）求证：OB1OC,

（2）若力分12,ZBC庐60°,。01与半。0外切，并与比、切相切，求。0i的面积.

【答案】(1)证明：连接OF,在梯形ABCD,在直角AAOB和直角AAOBF中

.JAO=FO

,10B=0B

AAAOB^AAOB(HL)

同理△CODZZ\COF,，/13(^=90°,即OB_LOC

(2)过点做06,OF垂直DC,DA,；ND0B=60°,AZDC0=ZBC0=30o,设0G=x，又：AD=12,

；.0D=6,DC=6，5,0C=12,CG=/X,0,C=6r,根据勾股定理可知0G+GC2=OiC2

x2+3x2=(6-x)2(x-2)(x+6)=0,x=2

17.(2011四川乐山24,10分)如图，D为0上一点，点C在直径BA的延长线上，且N

CDA=ZCBD.

(1)求证:CD是。。的切线；

2

⑵过点B作。的切线交CD的延长线于点E,若BC=6,tanNCDA=一，求BE的长

3

【答案】

⑴证明：连接0D

,.,0A=0D

.'.ZAD0=Z0AD

；AB为。。的直径,

ZAD0+ZBD0=90o

...在RtAABD中，ZABD+ZBAD=90°

VZCDA=ZCBD

，ZCDA+ZAD0=90°

A0D1CE

，即CE为。0的切线

18.(2011四川凉山州，27,8分)如图，已知△ABC,以5c为直径，。为圆心的半圆

交AC于点尸，点E为CR的中点，连接BE交AC于点M,4。为△ABC的角平分线,

且垂足为点

(1)求证：4B是半圆。的切线；

(2)若AB=3,BC=4,求BE的长。

DO

27题图

【答案】

⑴证明：连接EC,

•••BC是直径/.ZE=90

有♦:AD工BE于H：.ZAHM^90

,:Zl=Z2Z3=Z4

•••AO是△A5C的角平分线

N4=N5=N3

又为CF的中点

N3=N7=Z5

ADJ.8E于H

VZ5+Z6=90即N6+N7=90

又•••BC是直径是半圆。的切线••・4分

(2)VAB-3,8(7=4。

由(1)知，ZABC=90,AC=5。

在△ABM中，AD工BM于H,40平分NBAC,

AM=A8=3,CM=2.

ECMC1

由△CMEs/XBCE,得——=——=一。

EBCB2

EB=2EC,

/.BE=|>/5o

19.(2011江苏无锡，27,10分)(本题满分10分)如图，己知0(0,0)、4(4,0)、6(4,

3）o动点尸从。点出发，以每秒3个单位的速度，沿△的6的边的、AB、8。作匀速运

动；动直线,从48位置出发，以每秒1个单位的速度向x轴负方向作匀速平移运动。

若它们同时出发，运动的时间为t秒，当点一运动到。时，它们都停止运动。

（1）当一在线段以上运动时，求直线，与以点夕为圆心、1为半径的圆相交时t的取值

范围；

（2）当P在线段力6上运动时，设直线/分别与力、0B交于C、D,试问：四边形（7期

是否可能为菱形？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由，并说明如何改变直

线/的出发时间，使得四边形⑦劭会是菱形。

【答案】

解：（1）当点，在线段力上时，。（31,0）,........................................................................................

（1分）

。。与x轴的两交点坐标分别为（3t-1,0）、（3t+1,0）,直线/为x=4-3

fQ/-1<4-

若直线/与。尸相交，则41...................（3分）

[4—L\ot+1.

解得：；<f<*.........................................................................................................（5分）

（2）点一与直线/运动t秒时，AP=2,t-4,AC=t.若要四边形用为为菱形，则"

//OS,

,AAAPAC3t-4tizizn,16

:./PCA二NBOA,：.Rt/\APCs=f：.—;—=T,解得t=...

ADA（J349

（6分）

…41620,5

此时AP=AC=—,.\PC=—,而必=7-3Z=鼻WPC,

故四边形6W不可能时菱形.....................................（7分）

（上述方法不唯一，只要推出矛盾即可）

现改变直线1的出发时间，设直线1比点户晚出发a秒，

APPCAC

若四边形CPBD为菱形,则CP//OB,sXABO,病=芯=为，

3t-47-3it-a

~3~二-5~4

f

f=41-

j

角

得

眠¥24

34a5

-vf-dl-

-=

34•24

541

...只要直线1比点。晚出发777秒，则当点P运动777秒时，四边形CPBD就是菱形.............

（10分

20.（2011湖北武汉市，22,8分）（本题满分8分）如图，川为。。的切线，4为切点.过

A作8的垂线AB,垂足为点C,交。。于点B.延长60与。。交于点。，与PA的延长线交

于点E.

（1）求证：必为。。的切线；

（2）若tanZ.ABE=—,求的值.

2

【答案】(本题8分)(1)证明：连接0A

•.,PA为。。的切线，

/.ZPA0=90"

V0A=0B,OP_LAB于C

.*.BC=CA,PB=PA

.'.△PBO^APAO

.,.ZPB0=ZPA0=90o

APB为。0的切线

(2)解法1：连接AD,：BD是直径,ZBAD=90°

由(1)知NBC0=90°

；.AD〃OP

/.△ADE^APOE

EA/EP=AD/OP由AD〃0C得AD=20C

VtanZABE=l/2

/.0C/BC=l/2,设OC=t，则BC=2t,AD=2t由△PBCS/XBOC,得PC=2BC=4t,0P=5t

.,.EA/EP=AD/0P=2/5,可设EA=2m,EP=5m,则PA=3m

VPA=PB/.PB=3m

；.sinE=PB/EP=3/5

(2)解法2：连接AD,则NBAD=90°由⑴知NBC0=90°;由AD〃OC,.,.AD=20CV

tan/ABE=l/2,；.0C/BC=l/2,设OC=t,BC=2t,AB=4tSAPBC^ABOC,得PC=2BC=4t,

；.PA=PB=26t过A作AF_LPB于F,则AF•PB=AB•PC

.•.AF=Wt进而由勾股定理得PF=竽t

sinE=sinAFAP=PF/PA=-i/^>

21.(2011湖南衡阳，24,8分)如图，△46C内接于。。，CA=CB,5〃46且与如的延长

线交与点〃

(1)判断勿与。。的位置关系并说明理由；

(2)若//叱120°,04=2,求⑺的长.

E

【解】（1）切与。。的位置关系是相切，理由如下：

作直径区连结力日

♦.•四是直径，AZE4C=90°,.,.Z£'+ZJGE,=90°,

'：CA=CB,:.NB=NCAB,"：AB//CD,

：.ZACD=ZCAB,<NB=4E,4ACD=NE,

：.ZAC£+AACD^Q,即/〃CO=90°,

：.OCA.DC,与。。相切.

（2）'：CD//AB,OCVDC,J.OCVAB,

又/力於120°,:.NOCA=NOCB$Q°,

VOA=OC,...△QIC是等边三角形，

AZDOA=60a,

在At△比0中，——=tanZDOA=百，

oc

：.DC=G叱6OA=2也.

22.（2011湖南永州，23,10分）如图，AB是半圆0的直径，点C是。0上一点（不与A,

B重合），连接AC,BC,过点0作0D〃AC交BC于点D,在0D的延长线上取一点E,连接

EB,使/0EB=NABC

⑴求证：BE是。。的切线；

⑵若0A=10,BC=16,求BE的长.

【答案】证明：⑴：AB是半圆0的直径.,.ZACB=90°

V0D//AC/.Z0DB=ZACB=90°AZB0D+ZABC=90o

又Z0EB=ZABC；.ZB0D+Z0EB=90°Z0BE=90°

TAB是半圆0的直径；.BE是。0的切线

⑵在R/AA8C中，AB=20A=20,BC=16,二AC=[AB?—BC?=业？—16"=12

.4BC164."八口BE4

・・tanA=----——=一••tan4BOE=----——

AC123OB3

441

・・・BE=-O8=-x\0=\3-.

333

23.(2011江苏盐城，25,10分)如图，在△/灰中，N俏90°,以用上一点。为圆心,

OA长为半径的圆与比相切于点D,分别交AC.AB于点、E、F.

(1)若［小6,AB-10,求。。的半径;

(2)连接如ED、DF、EF.若四边形劭砂是平行四边形，试判断四边形第应的形状,

并说明理由.

【答案】(D连接如设。。的半径为r.

•:BC切00于点、D,：.ODLBC.

VZ0900,：.OD//AC,：.XOBMXABC.

.ODOBr10-r15

..而，即】=丁—解得r=

15

的半径为W

(2)四边形。•比'是菱形.

•..四边形是平行四边形，：,4DE4NB.

,：4DE*4DOB,:.乙吟乙DOB.

：NO/90°,:.