第25讲指数函数及性质八大题型总结

第25讲指数函数及性质八大题型总结【考点分析】考点一：指数函数的定义及图像图象性质①定义域，值域②，即时，，图象都经过点③，即时，等于底数④在定义域上是单调减函数在定义域上是单调增函数⑤时，；时，时，；时，⑥既不是奇函数，也不是偶函数考点二：指数函数底数大小与图象的关系1.函数①；②；③；④的图象如图231所示，则；即，(底大幂大)；时，．图1图22.特殊函数：函数，，，的图象如图232所示．考点三：指数式大小比较方法①单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较．②中间量法：当指数式的底数和指数各不相同时，需要借助中间量“0”和“1”作比较．③分类讨论法：指数式的底数不定时，需要分类讨论底数的情况，在利用指数函数的单调性进行比较．题型一：指数函数的概念解题思路：形如的函数叫指数函数，注意系数必须为1【精选例题】【例1】若函数的图象经过，则（

）A． B． C．3 D．9【答案】B【分析】根据题意，由求得函数解析式求解.【详解】解：因为函数的图象经过，所以，解得，所以，则，故选：B【例2】若函数是指数函数，则等于（

）A．或 B． C． D．【答案】C【分析】根据指数函数的定义求解即可.【详解】因为函数是指数函数，所以.故选：C【例3】下列函数为指数函数的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据指数函数的定义，逐项判定即可求解.【详解】根据指数函数的定义知，可得函数不是指数函数；函数不是指数函数；函数是指数函数；函数不是指数函数.故选：C.【跟踪训练】1.给出下列函数：①；②；③；④.其中指数函数的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】依据指数函数的概念来判断.【详解】对于①，函数的自变量在底数位置，不在指数位置，故不是指数函数；对于②，函数的底数，故不是指数函数；对于③，函数中的指数式的系数不为，故不是指数函数；对于④，函数的底数满足，符合指数函数的定义，是指数函数.故选：A.2．给定下列函数：①；②；③，且；④；⑤；⑥；⑦；⑧.其中是指数函数的有.（填序号）【答案】②⑤【分析】根据指数函数且的形式进行判断即可.【详解】对于①，不符合指数函数且的形式，不是指数函数；对于②，符合指数函数且的形式，是指数函数；对于③，只有当且时是指数函数，，且不是指数函数；对于④，不符合指数函数且的形式，不是指数函数；对于⑤，符合指数函数且的形式，是指数函数；对于⑥，不符合指数函数且的形式，不是指数函数；对于⑦，不符合指数函数且的形式，不是指数函数；对于⑧，不符合指数函数且的形式，不是指数函数.故答案为：②⑤.3.若指数函数的图像经过点，则其解析式为．【答案】【分析】设指数函数的解析式为，(且)，代入计算即可得解.【详解】设指数函数的解析式为，(且)，因指数函数fx的图像经过点，则，即，则其解析式为.故答案为：.4.若函数(，且)是指数函数，则______，______.【答案】；2．【详解】根据指数函数的定义，得解得故答案为：；2．题型二：指数函数的图像【精选例题】【例1】函数的图象大致为（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】利用函数的性质和特值法对不符合题意的选项加以排除，即可得出答案.【详解】因为，所以，定义域为；因为，所以，故，所以为奇函数，排除B，当趋向于正无穷大时，、均趋向于正无穷大，但随变大，的增速比快，所以趋向于，排除D，由，，则，排除C.故选：A.【例2】函数的大致图象是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】先分类讨论化简函数式，然后根据指数函数的单调性排除错误选项．【详解】因为又，根据指数函数的性质知，时，函数为增函数，排除B、D；时，函数为减函数，排除A．故选：C．【例3】函数f（x）＝·2x的图象大致形状是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】利用函数的单调性、值域排除选项可得到结果．【详解】由函数，可得函数在上单调递增，且此时函数值大于1；在上单调递减，且此时函数值大于－1且小于零，结合所给的选项，只有B项满足条件，故选：B．【例4】如图所示，函数的图像是（

）A．B．C．D．【答案】B【详解】，时，时，.故选：B.【例5】函数的图像不经过（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】根据指数函数的图象，再平移后得到，直接判断选项.【详解】函数经过第一、二象限，向下平移3个单位后得到函数，则经过一、三、四象限，不经过第二象限.故选：B【例6】（多选题）已知函数，实数，满足，则（

）A．B．，，使得C．D．【答案】CD【详解】画出函数的图象，如图所示．由图知，则，故A错，C对．由基本不等式可得，所以，则，故B错，D对．故选：CD．【跟踪训练】1.如图的曲线C1、C2、C3、C4是指数函数的图象，而，则图象C1、C2、C3、C4对应的函数的底数依次是________、________、________、________．【答案】【详解】指数函数在第一象限内的图象底大图高可知2.函数(是自然底数)的大致图像是（

）A．B．C． D．【答案】C【详解】解析，函数为偶函数，且过，，函数在上递增，在上递减，故C符合.故选：C.3.函数的部分图象大致为（

）A．B．C．D．【答案】A【详解】解：因为定义域为，又，所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除B；当时，，，所以，所以，故排除D；当时，因为，所以，即，故排除C；故选：A4．下图中的函数图象所对应的解析式可能是（

）A．B．C．D．【答案】A【详解】解：根据图象可知，函数关于对称，且当时，，故排除B、D两项；当时，函数图象单调递增，无限接近于0，对于C项，当时，单调递减，故排除C项.故选：A.5．函数的图象的大致形状是（

）A．B．C． D．【答案】C【详解】∵，又，∴根据指数函数图像即可判断选项C符合.故选：C.6．函数一定不过（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第四象限 D．第三象限【答案】C【分析】根据函数定点，单调性画出函数图象即可作出判断.【详解】根据函数解析式可知过定点，函数过第三象限；，函数过第二象限；为单增函数且定义域为，可以过第一象限.故选：C7．函数图象的大致形状是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据当时单调递减，当时单调递增，即可求解.【详解】当时单调递减，当时单调递增，且此时，结合选项可知只有D符合题意，故选:D.题型三：指数函数的定点解题思路：指数函数过定点问题有两种思路①利用平移思想解题②利用解题【精选例题】【例1】函数且的图象必经过点．【答案】【分析】根据指数运算的性质进行求解即可.【详解】因为当时，，所以函数且的图象必经过点，故答案为：【例2】已知函数（且）的图象恒过定点A，若点A在一次函数的图象上，其中实数m，n满足，则的最小值为______．【答案】4【详解】∵函数且的图象恒过定点，可得，∵点在一次函数的图象上，∴，∵，所以，当且仅当时取得等号；【跟踪训练】1.函数的图像恒过定点______.【答案】【详解】，令，得，，函数的图象恒过定点，故答案为：.2.函数的图象恒过定点A，若点A在直线上，其中，则的最小值为_________．【答案】【详解】令，可得，此时，所以函数图象恒过定点，因为点A在直线上，所以，所以，所以，当且仅当，即时等号成立.综上，的最小值为.故答案为：.题型四：指数函数的奇偶性、单调性【精选例题】【例1】已知奇函数在R上为增函数，则（

）A．1 B． C．2 D．【答案】A【分析】为奇函数，则，解出，验证奇偶性和单调性即可.【详解】解：因为在R上为奇函数，则，即，解得或.时，，函数定义域为R，由函数和都在R上为增函数，所以在R上为增函数，且，满足函数为奇函数；时，，在R上为减函数，不合题意.所以.故选：A.【例2】设函数在区间上单调递减，则a的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】设，则是上的增函数，再利用复合函数的单调性求解.【详解】解：设，对称轴为，∵是上的增函数，∴要使在区间单调递减，则在区间单调递减，即，故实数a的取值范围是．故选：A．【例3】已知函数(是自然对数的底数)，若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由求出，进而得到.【详解】，故，则.故选：D【例4】若为奇函数，则（

）A．1 B．0 C． D．【答案】D【分析】由奇函数性质求参数，再由奇偶性定义验证即可.【详解】由解析式知：函数定义域为R，又为奇函数，所以，故，由，为奇函数，满足题设.所以.故选：D【例5】设函数，则使得的x的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】判断函数的奇偶性，再由函数在上的单调性，脱去“f”建立不等式求解.【详解】的定义域为，，为偶函数，且当时，单调递增，由可得，再由单调性可得，，即，化简可得，解得.故选：C【例6】若函数是R上的增函数，则实数a的取值范围为A．(1，＋∞)B．(1,8)C．(4,8)D．[4,8)【答案】D【详解】当时，为增函数，所以，当时，为增函数，所以，解得，因为在上为增函数，所以，解得，综上可知。【例7】已知函数，则（

）A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数【答案】A【分析】根据函数的奇偶性和单调性确定正确答案.【详解】的定义域为，，所以是奇函数，由于，所以在上单调递增.故选：A【例8】设，若函数为单调函数，且对任意实数，都有，则的值等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意得到，设，结合题意求得，得到函数，即可求得的值.【详解】对任意的，总有且，所以，又因为函数为单调函数，可得，即，可设（其中为常数），所以，所以，所以，所以，可得.故选：D.【跟踪训练】1.已知函数是偶函数，则__________．【答案】【详解】因为为偶函数，所以为奇函数，所以，解得2.已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由复合函数的单调性分析可知，内层函数在上为增函数，结合二次函数的单调性可得出关于实数的不等式，解之即可.【详解】令，则二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，因为外层函数为上的减函数，函数在区间上单调递减，所以，函数在上为增函数，所以，，解得.故选：A.3.已知函数在区间上是减函数，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由复合函数的单调性结合二次函数的单调性即可求得.【详解】因为函数在区间上是减函数，令，则函数在区间是增函数，所以，则.故选：B4.若为奇函数，则的解集为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用奇函数的定义求出a值，再由函数单调性求解不等式作答.【详解】由为奇函数，得，解得，于是，而是减函数，是增函数，函数是R上的减函数，不等式，因此，所以不等式的解集为.故选：D5.函数的单调递增区间是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为在R上单调递减函数，由复合函数单调性可知，只需求出的单调递减区间，其中单调递减区间为，故的单调递增区间是.故选：D6.已知函数，且，则（

）A．B．C．D．【答案】B【详解】由题意知函数，令，则，∴的定义域为，，∴函数为奇函数．又，∴在上单调递增．由，得，即，∴，∴，即．故选：B．7.（多选题）已知函数，下面说法正确的有（）A．的图象关于原点对称B．的图象关于y轴对称C．的值域为D．，且，【答案】AC【详解】对于A中，由，可得函数为奇函数，函数的图象关于原点对称，故选项A正确，选项B错误；对于C中，设，可得，所以，即，解得，即函数的值域为，所以C正确；对于D中，对，且，，可得函数为减函数，而为单调递增函数，所以D错误.故选：AC.8．已知函数，满足，则的取值范围是．【答案】【分析】判断函数的奇偶性以及单调性，由此将可转化为，即可求得答案.【详解】由题意知的定义域为R，又，即为奇函数，因为在R上单调递增，在R上单调递减，故在R上单调递增，由可得，故，解得，即的取值范围是，故答案为：9.已知函数,则使得不等式成立的实数的取值范围是()A.B.C.D.【答案】A【详解】因，设，则在上为偶函数，并且为增函数，所以，因为为增函数，所以，，即，解得。题型五：利用指数函数性质比较大小解题思路：①利用指数函数单调性解题②利用函数图象解题③与中间值比较解题【精选例题】【例1】已知，，，，则a、b、c的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据，，，利用在上递增判断.【详解】解：因为，，，，且在上递增，，，故选：A【例2】下列大小关系正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用指数函数单调性逐项比较大小作答.【详解】对于A，函数在R上单调递增，则，A错误；对于B，函数在R上单调递增，则，函数在R上单调递减，则，因此，B错误；对于C，函数在R上单调递增，则，C正确；对于D，函数在R上单调递减，则，D错误.故选：C【例3】设，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用指数函数的单调性可得出，利用指数函数、幂函数的单调性可得出、、的大小关系.【详解】因为，则，所以，，，故，故选：C.【例4】已知，则的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】运用介值法及指数函数单调性比较大小即可.【详解】因为，，又因为在上单调递增，，所以，即.故选：D.【例5】已知，，，则，，的大小关系为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意，构造函数，由指数函数和幂函数的性质，可知两个函数在单调递增；由于；由于；综上：故选：A【例6】比较下列各组数的大小：(1)，，；(2)，，．【答案】(1)；(2).【分析】（1）（2）利用指数函数的性质，结合“媒介数”比较大小即得.【详解】（1）函数在R上单调递增，，因此，函数在R上单调递减，，因此，所以.（2）函数在R上单调递减，，因此，函数在R上单调递增，，因此，所以.【例7】若实数，满足，则（

）A．B．C．D．【答案】C【详解】令，由于，均为上的增函数，所以是上的增函数．因为，所以，即，所以，所以．故选：C．【跟踪训练】1．已知，，，则的大小关系为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，∵递增，且，∴，即.故选：B.2．下列判断正确的是（）323C．4＜π【答案】D【解析】对于Ａ项，∵yx3,对于B项，∵yx23,对于C项，∵y＝是增函数，且，∴，对于D项，∵yx．故选：D．3.已知，，，，则（

）A．B．C．D．【答案】D【详解】由题得，，，，因为函数在上单调递增，所以．又因为指数函数在上单调递增，所以．故选:D．4.若，则下列关系正确的是（

）.A． B． C． D．【答案】AD【分析】将不等式转化为，再构造函数分析单调性，再逐个选项判断即可.【详解】对A，由题意，设，易得为增函数，又，故，故A正确；对BC，设，，则，故BC错误；对D，因为，故，故D正确.故选：AD5.比较下列各题中两个数的大小：(1)，；(2)，；(3)，；(4)，．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】根据指数函数和幂函数的单调性即可比较大小.【详解】（1）函数在上为增函数，（2）函数在上为减函数，（3），函数在上为增函数，，即（4），幂函数在上为增函数，，.题型六：解指数函数不等式【例1】若，则实数a的取值范围是.【答案】【详解】因为在上为减函数，且，所以，解得【例2】已知函数，且，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：令，则，因为，，∴为奇函数，又因为，由函数单调性可知为的增函数，∵，则，∴，，∴，解得.故选：A.【例3】已知函数，若对任意的正数，恒有，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】当时，在上单调递增；当时，易知函数在上单调递增，且.即函数在上单调递增，因为，所以，即所以.故选：C【例4】已知函数，若，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，当时单调递减，且，当时，单调递减，且，所以函数在定义域上单调递减，因为，所以，解得，即不等式的解集为故选：A【跟踪训练】1.解不等式【答案】【详解】因为在上为增函数，且，所以，解得2.已知函数，则不等式的解集为（

）．A．B．或C．D．【答案】D【详解】函数中，在上单调递减，在上单调递减，且，则函数在定义域上单调递减，，，解得：，即不等式的解集为.故选：D.，若有，则的取值范围是________.【答案】【详解】设，则，易知是奇函数，在R上是增函数，由得，于是可得，即，解得.答案：4.已知函数，则不等式的解集为（

）A．B．C．D．【答案】D【详解】因为，所以，则，∴可化为，则，又在定义域上单调递增，在定义域上单调递减，所以函数在上单调递增，∴，∴，∴原不等式的解集为.故选：D5．（多选题）若函数是奇函数，下列选项正确的是（）A．B．是单调递增函数C．是单调递减函数D．不等式的解为【答案】ACD【详解】因为是奇函数，所以；即，解得，A正确；因为为增函数，且，所以为减函数，所以是单调递减函数，B不正确，C正确；因为是奇函数，所以不等式等价于不等式，因为是单调递减函数，所以，解得，D正确.故选：ACD.题型七：指数函数的值域问题【精选例题】【例1】函数的值域是．【答案】【分析】利用换元法，结合二次函数的性质即可求解，【详解】令则，由于在单调递减,单调递增，所以，故的值域为.故答案为:.【例2】若关于的不等式在区间上恒成立，则的取值范围为____________【答案】【详解】，设，则原题即化为在上恒成立，所以，因在上为增函数，所以，所以【例3】下列函数中，值域为的是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】对于A：定义域为，值域，故A错误，对于B：定义域为，因为，所以，故B正确；对于C：定义域为，因为，所以，所以，故C错误；对于D：因为，所以，故D错误，故选：B．【例4】函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】依题意，令，则，因为单调递减，且所以，所以.故选：A.【例5】已知函数的值域为，则a的取值范围是．【答案】【分析】先求函数出在上的值域，当时，要使函数的值域为，则，进而可得出答案.【详解】当时，，而函数在上单调递增，又是增函数，因此函数在上单调递增，，即函数在上的值域为，当时，函数的值域为，而函数的值域为，因此，而当时，，必有，解得，所以a的取值范围是.故答案为：.【例6】函数的最小值为（）A． B．1 C．2 D．【答案】D【解析】令，则，故原函数化为，当时，可得最小值为．故选：D．【例7】高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数":设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如:，已知，则函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：因为，所以，则，所以函数的值域为，故的值域为1或0.故选：B【例8】已知函数，正数满足，则的最小值（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】，且在上单调递减，由得：，即，，（当且仅当时取等号），则的最小值为.故选：B.【例9】已知函数，，若，，对任意的，总存在，使得，则实数b的取值范围是（

）A．[1，7] B．[5，9] C．[4，6] D．[5，7]【答案】D【详解】函数在[1，3]上单调递增，所以．函数的图象开口向下，对称轴为直线，所以g（x）在[1，3]上单调递减，所以．因为对任意的，总存在，使得，所以，所以，解得．故选：D【跟踪训练】1.函数在上的最大值与最小值的和为3，则=()A.B.2C.4D.【答案】B【详解】当时，在上为减函数，所以当时，，当时，，所以，解得，舍去；当时，在上为增函数，所以当时，，当时，，所以，解得，符合题意，综上可知2.函数的值域为____.【答案】【详解】解：令，函数化为，即函数的值域为．故答案为：3.设不等式对于任意的恒成立，则实数的取值范围是_______．【答案】【详解】解：由，得，即，

，，则，，则，即．故答案为：4.（多选）已知函数，则（

）A．函数的定义域为R B．函数的值域为C．函数在上单调递增 D．函数在上