预备知识02 集合间的基本关系（解析版）-2024-2025初升高衔接资料（新高一暑假学习提升）

专题02预备知识二：集合间的基本关系1、理解集合之间的包含与相等的含义；2、能识别给定集合的子集，了解空集含义3、能进行自然语言、图形语言(Venn图)、符号语言间的转换1、子集、空集与Venn图1.1子集的定义：一般地，对于两个集合、，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集，记作（或），读作“包含于”（或“包含”）。1.2Venn图：在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。则上述集合和集合的包含关系，可以用如下图表示：要点说明：①子集的定义可以理解为：若任意的，都有，则.这可以作为证明的方法；②规定：空集是任何集合的子集；③任何一个集合是它本身的子集，记作AA；④包含关系具有传递性，即若AB，且BC，则AC；⑤集合是集合的子集不能理解为集合是由集合中的“部分元素”组成的，因为集合可能是空集，也可能是集合．⑥注意符号“”与“”的区别：“”只用于集合与集合之间，如{0}N，而不能写成{0}N；“”只能用于元素与集合之间，如0N，而不能写成0N．2、集合的相等如果集合是集合的子集（），且集合是集合的子集（），此时，集合与集合中的元素是一样的，因此，集合与集合相等，记作。要点说明：①若且，则；反之，如果，则且。这就给出了我们证明两个集合全等的方法，即预证，只需证且都成立即可；②两集合相等，则所含元素完全相同，与元素顺序无关；③要判断两个集合是否相等，对于元素比较少的有限集，可用列举法将元素列举出来，看两个集合的元素是否完全相同；若是无限集，应依据“互为子集”从两个方向入手进行判断。④同一个集合，可以有不同的表示方法，这也是定义两个集合相等的意义所在；⑤集合中的关系与实数中的结论类比实数集合包含两层含义：，或AB包含两层含义：，或若，且，则若AB，且AB，则A＝B若，，则若AB，BC，则AC3、真子集真子集（propersubset）：如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集，记作（或）.读作“真包含于”或“真包含”.要点说明：理解真子集的定义要注意一下几点：①空集是任何非空集合的真子集；②对于集合A，B，C，如果，，那么；③若，则与有两种可能的关系：即或；4、空集我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作；要点说明：空集的性质：①空集只有一个子集，即它本身；②空集是任何集合的子集，即；③空集是任何非空集合的真子集，即若，则，反之也成立。④空集是不含任何元素的集合，它既不是有限集，也不是无限集；对点特训一：判断集合子集（真子集）个数典型例题例题1．（23-24高一下·广东梅州·阶段练习）集合的子集的个数是（

）A．16 B．8 C．7 D．4【答案】D【分析】首先判断出集合有2个元素，再求子集个数即可.【详解】易知集合有2个元素，所以集合的子集个数是.故选：D.例题2．（23-24高一上·山东·阶段练习）满足的集合M的个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】C【分析】根据子集的概念可得集合的个数.【详解】因为，所以集合可能为：，，，共4种情况.故选：C精练1．（2020·广东梅州·模拟预测）已知集合，，则的子集个数为（

）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】A【分析】根据，求出集合中元素的个数，根据个元素的集合，其子集个数为个.【详解】，，当，时，，当，或，时，，当，时，，，中元素的个数是个，的子集个数为个.故选：A.2．（23-24高一上·广东中山·阶段练习）集合的子集个数为．【答案】8【分析】首先计算出集合A，再根据子集个数的公式得出答案.【详解】由题意可知，所以集合A的子集的个数为故答案为：8对点特训二：求集合子集（真子集） 典型例题例题1．（23-24高一上·四川成都·期中）集合的一个子集是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先化简集合，结合选项可得答案.【详解】因为，所以的子集有，；故选：D.例题2．（多选）（23-24高一上·江苏南京·期中）下列各个选项中，满足的集合有（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】先化简集合，利用子集的含义可得答案.【详解】因为，即有，所以中定有和3，故排除B，又因为是的真子集，故排除D．故选：AC.精练1．（23-24高三上·四川·期末）集合的一个真子集可以为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由真子集的定义对选项一一判断即可得出答案.【详解】，故A错误；，故B错误；因为是集合的子集，但不是真子集，故D错误；是集合的真子集，故C正确.故选：C.2．（多选）（23-24高一上·山西太原·阶段练习）已知集合M满足⫋，则这样的集合M可能为（

）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】根据子集和真子集的概念进行求解.【详解】因为⫋，故或或，ABC正确，D错误.故选：ABC 对点特训三：判断集合的包含关系典型例题例题1．（23-24高一上·江苏宿迁·阶段练习）已知集合，，则（

）A． B．⫋C．⫋ D．【答案】B【分析】根据集合，元素的特征可判断它们的包含关系.【详解】因为，，故⫋故选：B例题2．（23-24高一上·宁夏吴忠·阶段练习）已知集合，，则正确表示与的关系的示意图是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由题意求出，进而，结合韦恩图即可求解.【详解】由，得，即，所以，即.故选：B精练1．（2024·广东·一模）已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由集合的元素特性，可得集合间的关系.【详解】由集合，，得.故选：D2．（22-23高一下·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知集合，则有（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】化简集合，由元素与集合，集合与集合之间的关系即可判断.【详解】由已知，，从而，不是的子集.故选：C.对点特训四：根据集合的包含关系求参数典型例题例题1．（2024·青海西宁·二模）设集合,若,则（

）A． B． C．1 D．3【答案】C【分析】根据A是B的子集，分类讨论的值，然后检验是否符合题意.【详解】由已知得,若,解得，此时，符合题意;若,解得,此时,不符合题意;若,解得,此时,不符合题意,综上所述,.故选:C.例题2．（23-24高一下·贵州遵义·阶段练习）已知集合，，若，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据给定条件，利用集合的包含关系列式求解即得.【详解】集合，，由，得，所以的取值范围是.故选：A精练1．（23-24高三下·重庆·阶段练习）集合，，若，则实数（

）A． B．0 C． D．1【答案】C【分析】根据集合的包含关系，讨论或或，结合集合中元素的互异性，即可判断和选择.【详解】因为，故．①当时，，则，与元素的互异性矛盾，故不成立；②当时，解得，与元素的互异性矛盾，故不成立；③当时，即，则，，故成立，故.故选：C．2．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知集合，．若，则实数的取值集合为．【答案】【分析】根据，得到集合的元素都是集合的元素，即可求得的值.【详解】由题意，所以或，则或，所以实数的取值集合为.故答案为：.对点特训五：判断两个集合是否相等典型例题例题1．（23-24高一上·河北·期中）下列集合中表示同一集合的是（

）A．，B．，C．，D．，【答案】A【分析】根据同一集合的概念可知，两个集合中的元素应一样.【详解】A：根据集合元素具有无序性，则，故A正确；B：和是不同元素，故B错误；C：图为中的元素是有序实数对，而中的元素是实数，所以C错误；D：因为中有两个元素，即4，3，而中有一个元素，即，所以D错误.故选：A例题2．（23-24高一上·上海·期中）是有理数集，集合，在下列集合中：①；②；③；④．与集合相等的集合序号是.【答案】④【分析】集合相等的条件为集合中的元素相同，根据此条件分别判断①②③④中四个集合中元素是否与集合一致即可.【详解】对于①，因为，设，则，不妨取，可知，而，显然，所以①与集合不相等；对于②，令，则，显然，但，即②与集合不相等；对于③，当时，此时，即，而集合中不包含元素0，所以③与集合不相等；对于④，令，则，其中，所以④与集合相等；故答案为：④精练1．（23-24高一上·宁夏石嘴山·阶段练习）下列集合中表示同一集合的是（

）A．整数，整数集B．，C．，D．，【答案】C【分析】由集合的定义，依次对集合判断，从而确定集合是否相等即可.【详解】A选项，整数中的元素是整数，整数集中的元素是整数集，故不是同一集合；B选项，中的元素是，中的元素是，故不是同一集合；C选项，与都表示直线上的所有点，故是同一集合；D选项，中的元素是数1，2，中的元素是有序数对，故不是同一集合；故选：C.2．（多选）（23-24高一上·新疆伊犁·阶段练习）给出以下几组集合，其中相等的集合有（

）A．B．C．D．【答案】BC【分析】相等集合即集合中的元素完全一致，通过此定义逐一判定各选项即可.【详解】对于选项A，是点集,是数集，所以不是相等集合；对于选项B,,都表达的是奇数集，所以是相等集合；对于选项C，,所以是相等集合；对于选项D,是空集没有元素，有元素为0，所以不是相等集合.故选：BC.对点特训六：根据两个集合相等求参数典型例题例题1．（2024·云南大理·模拟预测）已知，其中，则（

）A．0 B．或 C． D．【答案】B【分析】分二次项系数是否为0结合韦达定理求解.【详解】由题意知：为方程的根，当时，；当时，二次方程有两个相同的根，则有，此时.故选:B.例题2．（23-24高一上·山东临沂·期末）集合，，且，则实数．【答案】【分析】根据集合关系，可得，从而可求解.【详解】由题意得，则，解得.故答案为：.精练1．（23-24高一上·湖北孝感·期中）已知集合，其中，则实数（

）A． B． C． D．2【答案】C【分析】根据集合相等的概念列式求解即可.【详解】∵集合，当且时，结合，解得，经检验，不符合元素的互异性，舍去；当且时，结合，解得，经检验，符合题意，故.故选：C.2．（2024高一上·全国·专题练习）已知集合，若，则c的值为.【答案】【分析】根据集合，利用元素的互异性分类讨论求解.【详解】①若，消去b得，当时，集合B中的三个元素相同，不满足集合中元素的互异性，故，，即，此时集合B中的三个元素也相同，∴舍去，即此时无解．②若，消去得，同理，∴，经检验满足题意故答案为：对点特训七：空集典型例题例题1．（23-24高一上·广东汕头·阶段练习）有下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥其中不正确的是（

）A．①③ B．③④⑤ C．①②⑤⑥ D．③④【答案】D【分析】根据集合、空集性质及元素与集合关系判断各项正误即可.【详解】由集合的性质及关系知，、，①②对；由空集的性质知，、、，③④错，⑤对；由元素与集合关系知，，⑥对.故选：D例题2．（23-24高一上·新疆喀什·期中）已知a是实数，若集合是任何集合的子集，则a的取值范围值是.【答案】【分析】根据题意分析可知方程无解，结合判别式分析求解.【详解】由题意可知：集合是空集，即方程无解，则，解得，所以a的取值范围值是.故答案为：.精练1．（23-24高一上·新疆·期中）下列四个关系式中正确的个数是（

）（1）；（2）；（3）；（4）．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据空集的定义，可得答案.【详解】解：对于（1），由于空集是任何非空集合的真子集，故（1）正确；对于（2），表示有一个元素0的单元素集合，所以（2）错误；对于（3），，所以错误；对于（4），由于空集是任何集合的子集，故正确．所以正确的有：（1），（4）共2个．故选：B．2．（23-24高一上·四川广安·期中）若集合，则实数a的值的集合为．【答案】【分析】分与两种情况，结合根的判别式得到不等式，求出答案.【详解】当时，满足题意；当时，应满足，解得；综上可知，a的值的集合为．故答案为：．一、单选题1．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）设集合，则下列表述正确的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据元素与集合以及集合子集的定义即可结合选项求解.【详解】,所以，，，故ABD错误,C正确,故选：C2．（2024·云南贵州·二模）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先确定集合A中的元素，再确定两个集合的关系.【详解】由题意可得，所以.故选：A3．（2024·广东广州·一模）设集合，，若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据给定条件，利用集合元素的互异性及集合的包含关系列式计算即得.【详解】由，得，即，此时，由，得，而，所以.故选：A4．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·开学考试）下列能正确表示集合和关系的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】解方程求集合N，结合韦恩图及集合间的关系判定选项即可.【详解】易知，显然，且互不包含.故选：A5．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）设集合，则下列选项中正确的是（

）A．⫋ B．⫌ C． D．【答案】B【分析】求出，即可得出两集合之间的关系.【详解】由题意，在中，，，∴，∴⫌，故选：B.6．（23-24高三上·浙江宁波·期末）设全集，集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】化简集合，与集合对比，结合子集的定义即可得答案．【详解】集合,，，,，．故选：B．7．（2024·浙江·二模）已知集合，，若，则满足集合的个数为（

）A．4 B．6 C．7 D．8【答案】D【分析】根据包含关系，写出所有满足条件的集合A即可得解.【详解】因为，所以可以是，共8个，故选：D8．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）若集合有15个真子集，则实数m的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据真子集的定义可得集合A中有4个元素，得解.【详解】因为集合A有15个真子集，所以集合A中有4个元素，所以.故选：A．二、多选题9．（23-24高一上·重庆云阳·阶段练习）下列集合中，与集合相等的是（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】根据集合的性质得到AC错误，BD正确.【详解】A选项，，A错误；B选项，，B正确；C选项，，C错误；D选项，只有当和时，，故，D正确.故选：BD10．（23-24高一上·河北保定·阶段练习）若集合恰有两个子集，则的值可能是（

）A．0 B． C．1 D．0或1【答案】AB【分析】根据集合为单元素集，即可分类对讨论求解.【详解】集合恰有两个子集，则集合中只有一个元素，当时，，符合要求，当时，，此时，符合要求，故或，故选：AB三、填空题11．（23-24高一下·上海·期中）已知集合，，且．则实数的取值范围为．【答案】【分析】利用建立不等关系，求解即可.【详解】因为，所以，解得.故答案为：12．（2024高一上·全国·专题练习）已知集合，，若，则实数的值为.【答案】【分析】由于方程中项含参数，需要对其分两种情况和讨论即可.【详解】由题意知，