【岩土结构基础结构力学】第5讲静定结构位移计算

2019年张工培训注册勘察

设计岩土结构基础班第5讲：静定结构位移计算主讲：黄老师网络授课

课后视频

及时答疑专有题库14.1.3

静定结构位移广义力与广义位移；虚功原理；单位荷载法；荷载下静定

结构的位移计算

图乘法；支座位移和温度变化引起的位移；互

等定理及其应用一级注册结构工程师基础考试大纲十五、结构力学（15题）15.3

静定结构的位移广义力与广义位移

虚功原理

单位荷载法

荷载下静定结构

的位移计算

图乘法

支座位移和温度变化引起的位移

互等定理

及其应用注册土木工程师（岩土）基础考试大纲十四、结构力学与结构设计（12题）21.结构位移的基本概念静定结构在荷载、温度变化、支座移动以及制造误差等

因素作用下，结构的某个截面通常会产生水平线位移、竖

向线位移以及角位移。C

BAom一、位移计算概述FP

--

B

FP/φcΔcx桁架受荷载作用刚架受荷载作用(1)

绝对位移

Δ

cyΔByΔBxAC3（2）相对位移：通常把两个截面的相对水平位移、相对竖向位移以及相对转角

叫做广义位移。两个方向相反（相同）的同类位移之和（之差）。A

lB

Δ

Ay

ΔBy

Δ

=Δ

-

ΔABy

By

Ay

AB杆转角ABx

Ax

BxAB两点相对水平位移Δ

Ax

ΔBxA、B两点相对竖向位移FPA

BACBDΔ=

Δ

+

ΔΔ

BVΔ4AVq1）验算结构的刚度保证其在使用或施工过程中不发生过大变形。2）为超静定结构计算做准备求解超静定结构时，只利用平衡条件不能求得内力或位

移的唯一解，还要补充位移条件。

引入B点竖向位移

为零的条件，才能

唯一确定结构内力2m2m位移计算的目的：9kN.mA

12kNFyB

=

3.75kN7.5kN.mB5荷载由零增大到FP1

，其作用点的位移也由零增大到Δ11，

对线弹性体系FP与Δ成正比。

W12

=

FP1Δ

12

(Δ12与FP1无关）虚功

（力与位移同向时为正、反向时为负）W

=

W11

+W22

+W12实功（恒为正）2.位移计算所采用的理论—虚功原理元功：dW=FP

.

dΔ

虚功：力在由其它原因产生的位移上所做的功。再加FP2，FP2在自身引起的位移Δ22上作的功为：BFP1

ΔA在Δ12过程中，FP1

的值不变：FPOFP1

FP2Δ22Δ

12Δ

11Δ

11dW6(1)

刚体系

处于平衡状态的充要条件是外力所做虚功总和为零，即W外=0。(2)

变形体系

处于平衡状态的充要条件是外力所做虚功总和等于各微段上的内力在其变形范围里所做的内虚功总和，即W外=W内。

虚功原理的两个应用：(1)

虚位移原理

实际待分析的平衡力状态，虚设的协调位移状态，将平衡

问题化为几何问题来求解。(2)

虚力原理

实际待分析的协调位移状态，

虚设的平衡力状态，将位移计算化为平衡问题来求解。3.静定结构的位移类型(1)

刚体位移：

支座移动、制造误差引起的位移。

——

刚体虚力原理(2)

变形体位移：

荷载作用和温度改变产生的位移。

变形体虚力原理

虚功原理的内容：7此式适用于任何材料的静定或超静定结构。这种通过虚设单位荷载作用下的平衡状态，利用虚力原理求结构位移的方法，称为单位荷载法。该方法适用于结构小变形情况。虚力方程

3.单位荷载法实位移状态虚平衡力系8

9静定结构在发生支座位移时不引起内力，杆件只有刚体位移而不产生微段变形，即dθ=dη=du=0，代入一般公式得

：

Δ=

-Σ二、支座移动产生的位移计算

利用刚体虚力原理推导支座移动引起的位移计算公式

式中，c

——支座位移。FR——虚拟状态中与c对应的支反力。乘积的正负号规定为：当虚拟状态的支座反力与实际支座位移C

的方向一致时取正号，相反时取负号。注意：式中负号不可漏掉！10

11解：(1)设虚力状态，求虚反力Σ

MC

=

0,

（2）列虚功方程，求未知量1.

Δ+

FR1

.

c1

=0,

（2）建立虚功方程Δ=-

Σ

FRk

.

ck

定出方向。

（3）解方程得AC（1）沿所求位移方向加单位力，求出虚反力；1.

Δ+Σ

FRk

.

ck

=0例已知c1

，求ΔFP=1BBΔ=?求解步骤a

ba

bFR

1c1AC(

)【解】在杆端A处加一单位力偶，求得B支杆的支反力，如图b

所示，则

【例】图示简支梁支座B产生竖向位移Δ

B=0.03m，试求杆端A

处的转角。1

A

B

A

B6mFR

=

1/612(b)(a)△AB(a)【解】在C点加一单位力,求出支座位移处的支反力,如图(b)所示。

(b)(↓)【例】结构的支座位移如图所示，求铰C

的竖向位移ΔCV。CA6m

6m

0.06mC1B0

04m

8m

1

213

8B1CV31

142（a）解：(1)在C点加竖直方向单位荷载，求出虚设力状态支反力（如图b），则：Δ

cy

=-

Σ

FRk

.

ck

=-(-2

×

0.01-

0

×

0.01)=0.02m(↓)(2)在C点两侧截面加一对单位力矩，求出虚设立状态支反力（如图c），则：

例：如图所示结构发生了支座移动，求C点的竖直方向位移Δcy

及两侧截面的相对转角位移Δcφ

FP=11/2（c）0（b）21M=11/2通过虚设单位荷载，利用虚力原理求结构位移的方法。力的准确虚设是关键，具体方法如下：(1)

力的大小：单位荷载。(2)

力的位置：需求位移的点及方向上。(3)

力的方向：任意假设，若求出位移为正，说明与假设的方向一致；若是

负的，说明与假设方向相反。(4)

力的性质：

求线位移虚设单位集中力；

求转角虚设单位力矩；

求两点的相对水平位移或竖向位移加一对相反方向相反的集中力；

求两点的相对转角则加一对单位力矩。三、力的虚设方法单位荷载法：15(a)

C点竖直位移常见位移的力虚设方法：(f)

C点两侧截面

相对转角位移(d)

A、B两点

相对竖向位移(e)

A、B两点

相对水平位移(g)

CD杆的转角位移(b)

B点水平位移(c)

C点转角位移16解：(1)在C点加竖直方向单位荷载，求出虚设力状态DC和FE杆的轴力（如图b）。(2)列方程：

解得：

例5-4-1

图示桁架，杆DC比设计的短了2cm，杆FE比设计的长了3cm，求

C点的竖直方向位移。四、制造误差产生的位移计算5/16171/4-2温度变化时位移计算的一般公式为

如图示结构截面K的竖向位移△。

18t2五、温度作用时的位移计算FP

=1

ds(b)虚拟状态(a)

实际状态Δ

dsK/Kt

1t

1

（1）

dη=0（2）

du=

α

tds

若杆件截面对称于形心轴,

即tt2实际状态中任一微段ds上的变形：温度改变时结构不产生剪切变形ds

t2

dst1

dsh

2h

119dut1hd

tt2Δt

=

t1

-

t2ds

t2

dst1

ds（3）h

2h

120dut1hd

21正负号规定:温差Δt采用绝对值，若弯矩图中杆件的弯曲温，

一致，则乘积

对于桁架，在温度变化时，其位移计算公式为

反之取负号度变化引起取正号变形与2230℃,内侧温度为20℃时A点的水平位移ΔAH和转角φA。已知

l=4m，a

=10-5，各杆均为矩形截面，高度h

=0.4m。t1

=10℃

A【例】图示刚架施工时温度为20℃,试求夏季当外侧温度为lt1

=

10

℃t2

=0℃23l温变引起杆件的弯曲方向为虚线。

=

3

.6

×

1

0

一

3

m

=3.6

mm

(←)【解】外侧温度变化为t1=30-20=10℃,内侧温度变化为t2=20-

20=0℃,故有Δt=t1-t2=10℃

1A1FN24M1l

=

一

5

.5

×1

0

一

4

rad（。）l1Mt1

=10℃

At1=10

℃t2

=0℃25

1

l(a)(c)FNA1l(2)利用公式计算位移：

(1)在C点加竖直方向单位荷载，求出虚设力状态轴力和弯矩图（如图b和c）。Δt

=100

一

0=100

FP=1

-M1（b）例

求图示刚架内侧温度升高10o

时C点的竖向位移（各杆截面为相同矩形）。+10。+10。FP=1:0。

解

l

（c）N260。Cll变形引起的结构位移计算公式微段的变形dθ

、dη

、du均由实际状态中的荷载引起。重点在于解决荷载作用下应变

K、ε、Y。的表达式。1）

计算公式推导(1)在荷载作用下建立

MP

、FNP

、FQP

的方程，可经由荷载→

内力→应力→应变过程推导应变表达式。(2)荷载作用下的位移计算公式

k--为截面形状系数1.2

六、荷载作用下的位移计算

AA110927ds(a)

实际状态

(b)虚拟状态FN

FNdsdu

FQFQPMPA

dsCM

MdsA

ds28MP

FQPFNPFNPFQFPd

CBBd1

29(1)不规定

M和MP

的正负号，只规定乘积

MMP

的正负。若M和MP使杆件同一侧纤维受拉，则乘积为正，反

之为负。(2)FN和

FNP以拉力为正，压力为负；(3)

和

的正负号见下图。FQ

FQPFQFQ

FQ

FQ2）

正负号规则：MMPMMPMMP}正}正}负3）各类结构的位移计算公式(1)

梁与刚架

桁

架

：(3)

组合结构

拱轴接近压力线

拉杆轴向变形或扁平拱忽略拱轴曲率影响

时只考虑弯曲变形

重点掌握30

31qql/2

FQP解：1）在C点加竖直方向的单位集中力，虚设力状态。2）写出弯矩、剪力表达式（因结构及荷载对称，写一半即可）MA0.5

x

FQ

(0≤x≤

l

/2)(0≤x≤

l

/2)

例

求简支梁中点竖向位移

ΔCy，并讨论剪切变形对位移的影响。Bl/2

l/2B

Cl/2A

)

MPAl/2FP=1ACqx普通梁深梁

32

若h/l=1/10，则ΔCQ/

ΔCM

=2.56%，可忽略剪切变形。若h/l=1/2，则ΔCQ/

ΔCM

=64%

，剪切变形的影响是不能忽略的。讨论：若杆截面为矩形，则k=1.2；又μ=1/3，则E/G=2(1+

μ)=8/3，I/A=h2/12。3）利用荷载作用下的结构位移计算公式进行计算

333）利用位移公式计算

积分常可用图形相乘来代替2）写出弯矩表达式BC杆：MP

=

-qx2

/2

M

=

-1解：1）在C点加单位集中力矩，虚设力状态。AB杆：MP

=

-qL2

/2

M

=

-1例

求图示刚架C点的转角位移ΔCφ。xxxx

-12D

2

2

E+

+

2

2B

F

=

1虚设单位荷载作用下的内力图

求桁架结点B的竖向位移。D0+

P实际荷载作用下的内力图【例】解：0+

P

2PC1

+21

+2-

2P34-

PPP-

AA

CBE222ddddd--图乘法是一种求积分的简化计算方法，它把

求积分的运算转化为求几何图形的面积与竖标的乘积的运算。1.

图乘法基本公式。为方便讨论起见，把积分

ds

改写成∫

七、用图乘法计算受弯结构的位移35①∑表示对各杆或各杆段分别图乘再相加。②图乘法的应用条件：

a）直杆；

b）EI=常数；c）两个弯矩图

至少有一个是直线。③竖标y0取在直线图形中，对应另一图形的形心处。④面积ω与竖标y0在杆的同侧，

ω

y0

取正号，否则取负号。

xtgαMkdx

=

tgα∫

xMkdx

线MiABABx

dxx0α

Mi

y0

A

By0=x0tgαMi=xtgα注：Mk36yωx顶点3l/4⑤几种常见图形的面积和形心的位置：2l/3直角三角形ω=hl/2二次抛物线ω=hl/3

二次抛物线ω=2hl/3标准抛物线？！l/4

5l/8

3l/8二次抛物线ω=2hl/3顶点顶点l/2l/237l/3hhhhlFP=1⑥当图乘法的适用条件不满足时的处理方法：a）曲杆或

EI=EI（x）时，只能用积

分法求位移；b）当EI

分段为常数或M、MP

均非直线时，应分段图乘再叠加。M

例5-7-1：求梁B点转角位移。

例5-7-2：求梁B点竖向线位移。m=1A

EI

B1/2

MqBFPl/4ql2/2l

3l/4MPMPFPl/2l/2AlFPlMPl/2

=

5

FPl

48

EI3例5-7-4：求图示梁C点的挠度。-—

？FPCl/2l/2FP=1C

l/6=

FPl312EI1Δ

=CEIFPl2

l2

65FPl/639Mb|(

c

2d)c否则取负。S=9/6×（2×6×2

+2

×4×3

+6

×3+4×2）=111629(

3

3

,

d

Mk

⑦非标准图形乘直线形a）直线形乘直线形∫MM

dx

y

+

y各种直线形乘直线形，都可以用该公式处理。如竖标在基线同侧乘积取正，ω

1ω24340|(2c

+

d

)i

k

=w1

1

w2

2(

3

3

,l/3l/3

l/3al=

2bl+

2y1

y2（

1）Mi+a（2）23462

9

S=9/6×（2

×6

×2+2×4

×3－6

×3－4

×2

）=

33（4）269S=9/6×(-2

×6×2+2

×0

×3+6×3－0

×2

）=

－9S=9/6×（2×6×2－2×4×3+6×3－4×2）=15（3）6414933

3ql2/2l6(2ac+

2bd

+

ad

+

bc)+

b

+

hb)非标准抛物线乘直线形dll

M142例5-7-5：求B点竖向位移。acql2/8=aqlBS

=MPEIbhl

43

lql/2ql/23ql2/81

M例5-7-6：求图示刚架B点的水平位移。B

CNP=0

N

=

0

N

=

1ql2/2MPFP=1qlA11ll

刚架位移

计算不计

轴力作用3ql4

=

=

=

8EI

3Al

3bhl

9lω1ql2/8MPy1y2My3

=

2qA2ElBω2ω3FP=1lNP=01=900

N

=

0

N

=

1ql2/2h

1

=l

10ql/2qlq11ll

MP=

l

●

=

=

●

y0

+

…？

y0'

-ql2/82EI

EIl/2

l/2ql2/32例5-7-7：求B点的竖向位移。BFP=1ΔBΔBql2/2AMl/245ql×6

×9

×

,)+

×

×3,)

=

(→←

)9AEI=常数MP2KN/m18

D6m9Δ

=

1

(|

6

(

2

×36×6+

2×18×3

36

×3+

18×6

1

|(

1

3例5-7-8：求AB两点的相对水平位移。EI

(

3

46

3+

-

×36

×6

×

×6EI

(63m3m6kN

BFP=1FP=136CM46D99

功的互等定理：在任一线性变形体系中，状态①的外力在状态②的位移上作

的功W12等于状态②的外力在状态①的位移上作的功W21。即：

W12=

W21。

:①IN1

M1

Q1

Y01

=

P''1P

''2

②应用条件：1)应力与应变成正比;2)变形是微小的。即:线性变形（弹性）体系。N2

M2

Q2

ε2

=

Y02

=

P

'1

P'2八、线性变形体系的互等定理1.功的互等定理47位移互等定理：在任一线性变形体系中，由荷载P1所引起的与荷载P2相应

的位移影响系数δ21

等于由荷载P2所引起的与荷载P1相应的位移影响系数δ12

。注意：1）这里荷载可以是广义荷载，位移是相应的广义位移。2）δ12与δ21不仅数值相等，量纲也相同。2.位移互等定理P1Δ

12

=

P2

Δ

21Δ12

P2

=

Δ

21

P1δij

=

Δij

Pj

称为位移影响系数，等于Pj=1所引起的与Pi相应的位移。

P2

②

P1Δ21δ12

=

δ21Δ

12①483.反力互等定理R11×0+R21×c2R11

R21

49反力互等定理：在任一线性变形体系中，由位移c1所引起的与位移c2相应的反力影响系数r21

等于由位移c2所引起的与位移c1相应的反力影响系数r12

。注意：

1）这里支座位移可以是广义位移，反力是相应的广义力。2）反力互等定理仅用于超静定结构。R12

R22称为反力影响系数，等于cj=1所引起的与ci相应的反力。r12

=

r21R21

=R12c1

c2=R12×c1

+R22×0

c2rij

=Rijcjc1Δ=θA+θB

A

B

①

θA

θB

m=1

m=1

Δ

例5-8-1：

已知图①结构的弯矩图求同一结构②由于支座A的转动引起C点的挠度。解：

W12=

W21∵

W21=0例5-8-2：

图示同一结构的两种状态，求Δ=？

②:

W12=FPΔC－3FPl/16×

θ

=0ΔC=3lθ

/16

②3FPl/16CAl/2

l/2

滋FP=1ΔC①FP50θFP3FPa/32Wab=

0

=Wba=FP

·ΔD+FRC

·

ΔC

FRC=-3FP/32例5-8-3

已知图a梁支座C上升0.02m引起的ΔD=0.03m/16，试图b结构的M图.CB(b)FRc

(a)A

D0.02ma/2a/2ΔD51a组合结构、拱

52虚设位移一

虚：

=Wi

虚设力系位移：变形连续满足平衡功原理We虚位移原理（求未知力）

虚功方程等价于平衡条件虚力原理（求未知位移）

虚功方程等价于位移条件3.荷载作用下Δ=-

Σ

FRk

.

ck

刚架、梁

桁架二、单位荷载法

（虚设广义单位荷载，利用虚力原理推导位移计算公式）

2.非均匀温度变化小结1.支座移动

图乘法求位移的适用条件

y0