矩阵分析 课件 第1章 线性空间与线性变换

矩阵分析矩阵理论是一门具有高度实用价值的数学理论。在现代工程技术中有广泛的应用。算法处理，系统工程，优化方法，现代控制理论，自动化技术，稳定性理论等，都与矩阵理论有着密切联系。矩阵理论在内容上也在不断更新和发展。本课程将介绍矩阵理论中最经典的一部分。它是线性代数课程的继续和深化。为了学好这门课程，希望同学们好好复习一下线性代数，特别向量、矩阵、二次型的相关内容。第1章线性空间与线性变换1.1线性空间1、线性空间的概念与性质定义1.1

设是一个非空集合，是一个数域，在集合

中定义两种运算：“加法”运算,“数乘”运算。如果对于这两种运算封闭，且这两种运算满足下列八条运算律：实数域复数域运算的结果是V中的元素则称为数域上的线性空间。(1)

加法交换律(2)

加法结合律

(3)

零元素

在中存在一个元素，使得对任意,都有(4)负元素

对于中任意元素都存在一个

元素使得(5)(6)数乘结合律(7)

数乘关于数分配率(8)数乘关于元素分配率例1

为实数域上的线性空间，为复数域上的线性空间。例2

复数域上的全体矩阵构成的集合为上的线性空间。按向量的加法和数乘运算按矩阵的加法和数乘矩阵线性空间向量空间（复矩阵空间）

例3

实数域上次数不超过的一元多项式

全体

构成实数域上的线性空间。例5

全体正实数的集合，定义加法与数乘：构成线性空间。

例4

闭区间上全体连续实函数组成的集合

构成实数域上的线性空间。按多项式的加法和数乘运算按函数的加法和数乘运算

例6

数域上全体维向量组成的集合，对于向量加法及如下定义的数乘运算不构成线性空间。(5)性质1：零元素是唯一的。性质2：任意元素的负元素是唯一的。性质3：性质4：定义1.2

设是数域上的线性空间，为中的一组元素,如果存在中一组数

使得则称可由线性表示，或是的线性组合。2、元素组的线性相关性定义1.3

如果存在中不全为零的数

使得则称线性相关；否则称线性无关。定义1.4

设是数域上的线性空间，若(I)中每个元素都可由(II)中元素线性表示,则称组(I)可由组(II)线性表示；若组(I)与组(II)可以互相线性表示，则称组(I)与组(II)等价。

是中两个元素组，元素组的极大无关组，秩等概念自行复习性质

元素组（当时）线性相关的充分必要条件是中至少有一个向量可由其余个元素线性表示。性质极大（线性）无关组性质：

含有零向量的向量组一定线性相关；整体无关部分无关；部分相关整体相关；如果含有向量多的向量组可以由含有向量少的向量组线性表出，那么含有向量多的向量组一定线性相关；向量组的秩是唯一的，但是其极大线性无关组并不唯一；如果向量组

(I)可以由向量组(II)线性表出，那么向量组(I)的秩向量组(II)的秩；等价的向量组秩相同。本节小结010203线性空间的概念线性空间的性质元素组的线性相关性注意：复习线性代数课程中对应的内容线性空间与向量空间的关系P26

：1;2;3;4预习：1.2节；1.3节本节作业1.2线性空间的基、维数与坐标定义1.51、基、维数与坐标零空间的维数规定为0；有限维线性空间无限维线性空间；线性空间的基不唯一。定义1.6方程解唯一在n维线性空间中，显然是的一个基，且，向量在这个基下的坐标就是它的分量。

例7

在线性空间中，求向量在基

下的坐标。

例8

解设在所给基下的坐标为则即于是解得,所以在所给基下的坐标为

。在线性空间中,设是第i行第j列元素为1，其余元素都为0的矩阵，则是的一个基，且，矩阵在这个基下的坐标就是它的元素()。

例9

*例10

取的简单基则在该基下的坐标分别为：可求得该向量组的秩为2，且是一个极大无关组。故矩阵组秩为2，且是一个极大无关组。求中矩阵组的秩和极大无关组。

例11

解定义1.7

设是数域上的n维线性空间，及是的两个基，且表示为2、基变换与坐标变换公式一个线性空间的基不是唯一的，线性空间中的元素在不同基下的坐标一般也不相同。将上式矩阵化可以得到下面的关系式：其中称上式为基变换公式，称矩阵P为由基到基的过渡矩阵，过渡矩阵P显然是可逆的。设由线性空间的基到基的过渡矩阵为P，中的元素在基下的坐标为，在基下的坐标为

，则有坐标变换公式定理1.1或证设及是线性空间的两个基，求

例12

解由即从而(1)由基到基的过渡矩阵；(2)已知向量x在基下的坐标为，求x在基下的坐标。(1)设及是线性空间的两个基，求

例12

解向量x在基下的坐标为(1)由基到基的过渡矩阵；(2)已知向量x在基下的坐标为，求x在基下的坐标。(2)在线性空间中，求在基下的坐标。

例13

解取的简单基，则在简单基下坐标为。设简单基到基的过渡矩阵为P，则所以在基下的坐标为在线性空间中取定两个基(I)：

及(II)：求由基(I)到基(II)的过渡矩阵。

例14

解设，取的简单基，则可求得其中于是故

*例15

本节小结0102线性空间的基、维数、坐标的概念过渡矩阵、基变换、坐标变换公式注意：复习向量在给定基下坐标的含义理解过渡矩阵求法03利用公式求坐标P27

：5;6;7;8预习：1.3节；1.4节本节作业定义1.8

设是数域上的线性空间，是的一个非空子集。如果对于中所定义的加法与数乘运算也构成数域上的线性空间，则称为的线性子空间，简称子空间。1.3线性子空间1、子空间的概念平凡子空间(假子空间)

:非平凡子空间(真子空间)定理1.2

线性空间的非空子集是的子空间的充分必要

条件是：对于中定义的加法与数乘运算封闭，即(1)如果

则(2)如果

则证必要性是显然的。下证充分性。已知W对于V的加法与数乘运算封闭。由于W中的元素均是V中的元素，所以线性空间定义中的运算律(1)、(2)、(5)~(8)均成立。又设，由于故运算律(3)与(4)也成立，故W是一个线性空间。证毕。例16

取线性空间的子集

，

证明是的子空间，并求其维数。证因为所以非空。对任意有从而即又对有即故是的子空间。取中的个矩阵容易证明该矩阵组线性无关，且对任意有故定理1.3

设是数域上的线性空间，在中任意取定m个元素，构造子集则是的子空间，称为由元素组生成的子空间，记为证由于所以非空。对任意，有由于故W是V的子空间。证毕。定理1.3

设是数域上的线性空间，在中任意取定m个元素，构造子集则是的子空间，称为由元素组生成的子空间，记为有限维线性空间是由它的基生成的子空间结论1

的维数等于元素组的秩，且的极大无关组是该生成子空间的基。结论2

设和是线性空间

V的两组元素，若可由线性表示，则。若与等价，则例17

设求的基与维数。解将矩阵化为阶梯形矩阵，即可知线性无关，且所以为的基，.例18

在线性空间中，求由矩阵

生成的子空间的基与维数。解例11中已求得矩阵组的秩为2，且是一个极大无关组,故的维数为2，且是它的一个基。定理1.4

（基的扩充定理）线性空间的m维子空间W

的任何一个基都可以扩充成V的一个基。证设是W的一个基，对维数差作归纳法。当时，，此时已是V的一个基。假定时定理成立，考虑的情形。因为且线性无关，但又不是V的基，故有且不能由线性表示，因而线性无关。由于是V的m+1维子空间，且由归纳假设知可以扩充成V的基，故可以扩充成V的基。定义1.9

设是数域

上的线性空间，是的两个子空间，记称为与

的交空间。记称为与的和空间。2、子空间的交与和、直和是的子空间是的子空间不一定是的子空间是的子空间证由得,所以非空。其次，对任意,有且，而是子空间，所以，，从而

；又对任意，有且从而，即构成的子空间。同样地，对任意，有即构成的子空间。对任意,有，其中因为所以非空。是的子空间证从而；由于是子空间,所以不一定是的子空间令,因为设取使线性无关。反例即所以但对加法不封闭，不是子空间。例19

设与是数域

上线性空间V的两个元素组，则证由子空间和的定义，有例20

设的两个子空间为解将表示为生成子空间。容易求得方程试将表示为生成子空间，并求它的一个基与维数。的基础解系为：解它们对应着的一个基于是，根据例19，有对应的向量为容易求得的一个极大无关组为所以矩阵的极大无关组为，它们即的一个基，且。定理1.5

（维数定理）设是数域上的线性空间，是的两个子空间，则

证设只需证明如果取的一个基，它可以扩充为的一个基也可以扩充成的一个基即所以由上式第一个等号知，由第二个等号知，于是，故可令定理1.5

（维数定理）设是数域上的线性空间，是的两个子空间，则

证因此，只需证明线性无关即可。设令因此定理1.5

（维数定理）设是数域上的线性空间，是的两个子空间，则

证即由于线性无关，所以因而，从而由于线性无关，又可得这就证明了线性无关，定理1.5

（维数定理）设是数域上的线性空间，是的两个子空间，则

证因而它是的一个基，的维数是如果，即，取的基和的基，同样可证是的基。即证明了维数公式。证毕。定义1.10

设是线性空间的两个子空间，若

，则称的和空间是直和，记为。定理1.6

设是线性空间的两个子空间，下列命题等价(1)是直和;(2)中每个元素分解为

的方法是唯一的；若

是的基，

是的基，则

是的基；(4)定理1.6

设是线性空间的两个子空间，下列命题等价(1)是直和;(2)中每个元素分解为

的方法是唯一的；证设是直和，则。若的分解式不唯一，于是有其中，从而。但所以这与矛盾，故(2)成立。令则假设它们线性相关，则内存在不全为零的数定理1.6

设是线性空间的两个子空间，下列命题等价(2)中每个元素分解为

的方法是唯一的；若

是的基，

是的基，则

是的基；证显然只需证元素组线性无关。使得因此有两种不同的分解式，此与(2)矛盾，故(3)成立。定理1.6

设是线性空间的两个子空间，下列命题等价(1)是直和;若

是的基，

是的基，则

是的基；(4)证由(3)可知于是有(4)成立。由维数定理可得因此。证毕。例

三维线性空间的三个子空间：则不是直和，因为中有向量分解式不唯一：但是直和，因为当有若还有另一种表示方法易知，故中每个向量分解式唯一，从而是直和。交与和、直和等概念可以推广到多个子空间的情形。若一个线性空间可分解成若干个子空间的直和，那么对整个线性空间的研究可以归结为对若干个较简单的子空间的研究。本节小结010203子空间的概念与判定方法子空间的判定方法子空间的交、和、直和的概念注意：理解基的扩充定理含义理解维数定理P27

：10;11;13预习：1.4节本节作业定义1.11

设与是任意两个非空集合，如果按某一规则，使对于每个，都有一个确定的元素与之对应，则称为集合到的一个映射，记为。与的对应记为，称为在映射下的像，而称为在映射下的一个原像。如果对任意，当时，有，则称是单射（或一对一的）；如果对任意

都有使得，则称是满射（或映上的）；如果既是单射又是满射，则称是双射（或一一对应的）。由集合

S到

S自身的映射称为S上的一个变换。1.4线性变换1、线性映射的概念函数是映射的一个特殊情形.例21

是全体整数的集合，是全体偶数的集合，定义

则是

到的一个映射，它是一一对应的。例22

对任意，定义，因为不同的矩阵行列式可以相等，所以不是到的单射；对于任意实数，一定存在一个对角阵使所以是到的一个满射。例23

记是数域

上的次数不超过n的多项式全体，设映射，对任意是线性映射，即多项式求导运算是线性映射。定义1.12

设是与的一个映射，如果对任意和

，都有则称是到的一个线性映射。定义1.13

线性空间到自身的线性映射称为的线性变换。即：是数域

上的线性空间，是

到自身的一个映射，如果对任意和，都有

则称是

的一个线性变换。2、线性变换的概念与性质例24

线性空间的恒等变换（或单位变换）和零变换：

都是线性变换。例25

设是数域

上的线性空间,变换即不难验证，是的一个线性变换，称此变换为倍数变换（或放大变换）。例26

由关系式

确定的变换是坐标系绕原点沿逆时针方向旋转角的旋转变换，不难验证，旋转变换是线性变换。例27

在线性空间中，求证微分的变换

是一个线性变换。例28

在线性空间中，求证积分的变换

是一个线性变换。例29

取定矩阵定义的变换

由于对任意

有可见，当时,不是线性变换；当时,是线性变换。性质(1);若

则

(3)线性相关的元素组经过线性变换后，仍保持线性相关；

若线性相关，则存在不全为零的数

使于是故也线性相关。线性变换能将线性无关的元素组变成线性相关的元素组。零变换(4)如果线性变换是一个单射（或一对一的），线性无关的元素组经过线性变换后，仍保持线性无关。若线性无关，设则有，由于是单射，从而由线性无关知，故也线性无关。(3)线性相关的元素组经过线性变换后，仍保持线性相关；

性质(1);若

则

定义1.14

设是数域上的

n维线性空间，是的一个基，是的线性变换，基的像可以唯一地由基线性表示为

称矩阵

为在基下的矩阵。3、线性变换的矩阵例定理1.7

设线性空间的线性变换

T在基下的矩阵为A，如果中元素在基下的坐标为

在基下的坐标为则证根据定理的假设，有所以定理1.7

设线性空间的线性变换

T在基下的矩阵为A，如果中元素在基下的坐标为

在基下的坐标为则证由元素坐标的唯一性，得证毕。例30

在中线性变换T将基变为求：(1)

T在基下的矩阵；(2)向量及在基下的坐标。解设T在基下的矩阵为A，即又故从而(1)

解设，即解得所以在基下的坐标为设在基下的坐标为，则

(2)

例30

在中线性变换T将基变为求：(1)

T在基下的矩阵；(2)向量及在基下的坐标。例31

设的线性变换为取的基则

T在此基下的矩阵为

如果取的基则有

T

在基下的矩阵为线性变换所对应的矩阵与所取的基有关定理1.8

设和为线性空间的两个基，且由基到基的过渡矩阵为P，中的线性变换

T在这两个基下的矩阵分别为A和B，则即同一线性变换在不同基下的矩阵是相似的，且相似变换矩阵就是两个基之间的过渡矩阵。证根据定理的假设，有于是证毕。由于线性变换T在这个基下的矩阵是唯一的，故。例32

在中,线性变换为微分运算D,求D在基

下的矩阵。解取的简单基则设D在简单基下的矩阵为A,由得

设由简单基到基的过渡矩阵为P，由得，例32

在中,线性变换为微分运算D,求D在基

下的矩阵。解取的简单基则设D在简单基下的矩阵为A,由得

设由简单基到基的过渡矩阵为P，由得，所以D在此基下的矩阵为例33

设的线性变换

T把基变为基

分别求T在两个基下的矩阵。解取的简单基则有

其中

于是其中即T在基下的矩阵为P，又有

故T在基下的矩阵也是P。例33

设的线性变换

T把基变为基

分别求T在两个基下的矩阵。解由假设有，从而例34

给定的一个基及线性变换其中

求

T在基下的矩阵。解设即

解得，即为在基