华东师大版初中数学九年级上册专项素养综合练(八)解直角三角形中的五种思想方法课件

九年级

上册华东师大版初中数学专项素养综合全练（八）解直角三角形中的五种思想方法方法一数形结合思想1.(2024河南南阳实验学校月考)在平面直角坐标系中,直线y

=3x与x轴的夹角为α,求α的正弦值和余弦值.解析如图,在直线y=3x上任取一点P(不与点O重合),过点P

作PA⊥x轴于点A.设点P的横坐标为a(a≠0),则点P的纵坐标

为3a,所以在Rt△PAO中,OA=|a|,AP=3|a|,由勾股定理得OP=

=

|a|,∴sinα=

=

=

,cosα=

=

=

.

方法二方程思想2.(2024山西晋城实验中学月考)如图,在△ABC中,AC=3,BC=4,D、E分别在CA、CB上,点F在△ABC内.若四边形CDFE是

边长为1的正方形,求sin∠FBA的值.

解析如图,连结AF,过点F作FG⊥AB于G,∵四边形CDFE是

边长为1的正方形,∴CD=CE=DF=EF=1,∠C=∠ADF=90°,∵

AC=3,BC=4,∴AD=2,BE=3,AB=

=5,∴AF=

=

,BF=

=

,设BG=x,则AG=5-x,∵FG2=AF2-AG2=BF2-BG2,∴5-(5-x)2=10-x2,解得x=3,∴FG=

=1,∴sin∠FBA=

=

=

.3.(2023湖南娄底中考)几位同学在老师的指导下到某景区进

行户外实践活动,在登山途中发现该景区某两座山之间风景

优美,但路陡难行,为了便于建议景区管理处在这两山顶间建

观光索道,他们分别在两山顶上取A、B两点,并过点B架设一

水平线型轨道CD(如图所示),使得∠ABC=α,从点B出发沿CD

方向前进20米到达点E,即BE=20米,测得∠AEB=β,已知sinα=

,tanβ=3,求A、B两点间的距离.解析如图,过点A作AF⊥CD于点F,∴∠AFB=90°,在Rt△

ABF中,sinα=

=

,∴设AF=24x米,AB=25x米,由勾股定理得BF=

=

=7x米,在Rt△AFE中,tanβ=

=3,∵BE=20米,∴

=3,解得x=20,∴AB=25x=500米,即A、B两点间的距离为500米.

方法三转化思想4.(2024吉林长春宽城二模)如图,在同一平面内,两条平行高速公路l1和l2间有一条“Z”形道路连通,其中AB段与高速公路l1成30°角,长为20km,BC段与AB、CD段都垂直,BC段长10km,CD段长30km,求两高速公路间的距离(结果保留根号).

解析如图,过B点作l1的垂线,分别交l1,CD,l2于点E,F,G.在Rt

△ABE中,∠EAB=30°,∴BE=AB·sin30°=20×

=10(km),∵BC段与AB、CD段都垂直,∴AB∥CD,∠C=∠ABC=90°,∵∠EAB=30°,∴∠ABE=60°,∴∠CBF=30°,∴∠FDG=30°.在Rt△BCF中,BF=

=10÷

=

(km),CF=BC·tan30°=10×

=

(km),∴DF=CD-CF=

km,在Rt△DFG中,FG=DF·sin30°=

×

=

km,∴EG=BE+BF+FG=(25+5

)km,故两高速公路间的距离为(25+5

)km.

5.(2023海南中考)如图,一艘轮船在A处测得灯塔M位于A的

北偏东30°方向,轮船沿着正北方向航行20海里到达B处,测得

灯塔M位于B的北偏东60°方向,测得港口C位于B的北偏东45

°方向.已知港口C在灯塔M的正北方向上.(1)填空:∠AMB=

度,∠BCM=

度;(2)求灯塔M到轮船航线AB的距离(结果保留根号);(3)求港口C与灯塔M的距离(结果保留根号).解析如图,分别过点C作CD⊥AB,过点M作ME⊥AB,垂足分

别为D、E.(1)∵∠DBM=∠A+∠AMB=60°,∠A=30°,∴∠AMB=30°.易知

AB∥CM.∵∠DBC=45°,∴∠BCM=45°.(2)由(1)知∠A=∠AMB,∴AB=BM=20海里.在Rt△EBM中,sin∠EBM=

,∴EM=BM·sin∠EBM=20×sin60°=20×

=10

(海里),故灯塔M到轮船航线AB的距离为10

海里.(3)∵CD⊥AB,ME⊥AB,AB∥CM,∴四边形DEMC是矩形.∴CD=EM=10

海里,DE=CM.在Rt△CDB中,∵∠DBC=45°,∴∠DBC=∠DCB.∴DB=DC=10

海里.在Rt△EMB中,cos∠EBM=

,∴EB=BM·cos∠EBM=20×cos60°=20×

=10(海里),∴CM=DE=DB-EB=10

-10=10(

-1)海里,故港口C与灯塔M的距离为10(

-1)海里.

方法四分类讨论思想6.(2024吉林长春第二实验中学月考)如果方程x2-4x+3=0的两

个根分别是Rt△ABC两条边的边长,△ABC最小的角为∠A,

求tanA的值.解析∵x2-4x+3=0,∴(x-1)(x-3)=0,解得x1=1,x2=3,∵方程x2-4x

+3=0的两个根分别是Rt△ABC两条边的边长,△ABC最小的

角为∠A,∴分情况求解如下:(1)如图1,当BC=1,AC=3时,tanA=

=

;

图1

图2(2)如图2,当BC=1,BA=3时,AC=2

,∴tanA=

=

=

.综上所述,tanA的值为

或

.7.(2024河南洛阳第二外国语学校月考)如图,AB=6,O是AB的

中点,直线l经过点O,∠1=120°,P是直线l上一点,当△APB为

直角三角形时,求AP的长.

解析分四种情况讨论求解:(1)当∠APB=90°时,如图1,∵AO=BO,∴PO=AO,∵∠1=120°,

∴∠AOP=60°,∴△AOP为等边三角形,∴∠OAP=60°,∴∠

PBA=30°,∴AP=

AB=3.(2)当∠APB=90°时,如图2,∵AO=BO,∠APB=90°,∴PO=BO,

∵∠1=120°,∴∠BOP=60°,∴△BOP为等边三角形,∴∠OBP

=60°,∴AP=AB·sin60°=6×

=3

.(3)当∠BAP=90°时,如图3,∵∠1=120°,∴∠AOP=60°,∴AP=OA·tan∠AOP=3×

=3

.(4)当∠ABP=90°时,如图4,∵∠1=120°,∴∠BOP=60°,∵OB=3,∴PB=3

,∴PA=

=

=

=3

.

图1

图2

图3

图4综上所述,AP的长为3或3

或3

.方法五建模思想8.(2023内蒙古呼伦贝尔中考)某数学兴趣小组借助无人机测

量一条河流的宽度CD.如图所示,一架水平飞行的无人机在A

处测得河流左岸C处的俯角为α,无人机沿水平线AF方向继

续飞行12米至B处,测得河流右岸D处的俯角为30°,无人机距

地面的铅直高度AM=24

米,点M,C,D在同一条直线上,其中tanα=2.求河流的宽度CD.(结果精确到1米,参考数据:

≈1.7)解析如图,过点B作BE⊥MD于点E,则四边形AMEB是矩形,

∴BE=AM=24

米,ME=AB=12米,∵AF∥MD,∴∠ACM=α.在Rt△AMC中,∠AMC=90°,∴tanα=

=2,∴

=2,∴MC=12

米,在Rt△BDE中,∠BED=90°,∠DBE=90°-30°=60°,∴tan∠DBE=

,∴tan60°=

=

,∴DE=72米,∴CD=DE-CE=DE-(MC-ME)=72-(12

-12)=84-12

≈84-12×1.7≈64(米),即河流的宽度CD约为64米.

9.(2024河南南阳卧龙期末)如图,在一条笔直的东西向海岸

线l上有一长为1.5km的码头MN和一灯塔C,灯塔C距码头的

东端N有20km.一轮船以36km/h的速度航行,上午10:00在A

处测得灯塔C位于轮船的北偏西30°方向,上午10:40在B处测

得灯塔C位于轮船的北偏东60°方向,且与灯塔C相距12km.(1)若轮船照此速度与航向继续航行,何时到达海岸线?(2)若轮船不改变航向,该轮船能否停靠在码头?请说明理由.

(参考数据:

≈1.4,

≈1.7)解析

(1)如图,延长AB交海岸线l于点D,过点B作BE⊥l于

点E,过点A作AF⊥l于F,∴∠BEC=∠AFC=90°,∵∠EBC=60°,

∠CAF=30°,∴∠ECB=30°,∠ACF=60°,∴∠BCA=90°,∵BC=12km,AB=36×

=24(km),∴AB=2BC,∴∠BAC=30°,∴∠ABC=60°,∵∠ABC=∠BDC+∠BCD=60°,∴∠BDC=∠BCD=

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