2023-2024学年河南省九师联盟高二6月摸底联考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年河南省九师联盟高二6月摸底联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数1+i1+ai在复平面内对应的点位于第四象限，则实数a的取值范围为(

)A.1,+∞ B.−∞,1 C.−1,1 D.−∞,−12.对某批电子元件的使用寿命进行测试，从该批次的电子元件中随机抽取200个进行使用寿命试验，测得的使用寿命(单位：小时)结果如下表所示：使用寿命(小时)100120150165185200210230个数832453523261912估计这批电子元件使用寿命的第60百分位数为(

)A.165 B.170 C.175 D.1853.抛物线y=4x2的准线方程为(

)A.y=−1 B.x=−1 C.x=−116 4.如图，在矩形ABCD中，过边AB上的点P1,P2分别作AB的垂线，分别交CD于P7,P8，过AD边上点P3作AD的垂线，分别交P1P7A.2 B.4 C.6 D.85.已知a∈R，集合A=2,a+1,a+3，则“a=0”是“1∈A”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分又不必要条件6.在▵ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=1,b2cos2C+A.74 B.64 C.7.设fx是定义在R上的奇函数，且f2=0，当x>0时，xf′x−fxA.−2,0∪2,+∞ B.−2,2

C.−∞,−2∪8.已知点A1,0,B4,0,C2,1，动点P满足PAPB=1A.7+1,7−1 B.6二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.围棋是我国发明的古老的也是最复杂的智力竞技活动之一.现代围棋棋盘共有19行19列，361个格点，每个格点上可能出现黑子､白子､空三种情况，因此整个棋盘上有3361种不同的情况，下面对于数字3361的判断正确的是(

)(参考数据：A.3361的个位数是3 B.3361的个位数是1 C.3361是173位数 D.310.已知函数fx=2cos2ωx2+A.ω=2

B.fx的最小正周期为4π3

C.若不等式fx<2在区间0,a上有解，则a>π3

D.将11.如图，在棱长为4的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为棱BC的中点，BP=λBDA.不存在λ,μ，使得PQ⊥平面ACD1

B.当平面EPQ//平面ACD1时，λ+μ=12

C.线段PQ长的最小值为4三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知x8=a0+a113.在三棱锥P−ABC中，PA=PB=PC=2,AB=1,∠ACB=π6，若该三棱锥的所有顶点均在球O的表面上，则球O的表面积为

．14.已知F1,F2分别为椭圆E:x24+y2a2=1(a>2)的上､下焦点，A−2,0，直线l经过点F1四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)学生的安全是关乎千家万户的大事，对学生进行安全教育是学校教育的一个重要方面.临近暑假，某市教体局针对当前的实际情况，组织各学校进行安全教育，并进行了安全知识和意识的测试，满分100分，成绩不低于60分为合格，否则为不合格.为了解安全教育的成效，随机抽查了辖区内某校180名学生的测试成绩，将统计结果制作成如图所示的频率分布直方图．(1)若抽查的学生中，分数段20,40,40,60,60,80,80,100内的女生人数分别为不合格合格合计男生女生合计(2)若对抽查学生的测试成绩进行量化转换，“合格”记5分，“不合格”记0分.按比例分配的分层随机抽样的方法从“合格”与“不合格”的学生中随机选取10人进行座谈，再从这10人中任选4人，记所选4人的量化总分为X，求X的分布列和数学期望．附：χ2=n(ad−bcα0.10.050.005x2.7063.8417.87916.(本小题12分)已知函数fx(1)若a=0，当x≥0时，证明：fx(2)若a>0，讨论fx的单调性．17.(本小题12分)如图，在▵ABC中，D,E分别为边AC,AB的中点，将▵ADE沿DE折起到▵PDE处，F为线段PB的中点．(1)求证：平面PBE⊥平面PBC；(2)若AC⊥BC,PC=2CD=2DE18.(本小题12分)已知双曲线Γ:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左､右顶点分别为A,B(1)求Γ的方程；(2)过F的直线l交Γ于C,D两点(C在x轴上方)，直线AC,BD分别交y轴于点P,Q，判断OPOQ(O为坐标原点)19.(本小题12分)对任意正整数n，定义n的丰度指数In=Snn(1)若an=I2n，求数列na(2)对互不相等的质数p,m,n，证明：Ip3mn=Ip参考答案1.D

2.C

3.D

4.B

5.C

6.A

7.A

8.C

9.AC

10.ACD

11.BCD

12.−448

13.16π314.1615.解：(1)由频率分布直方图知，得分在20,40,0.005×20×180=18，0.015×20×180=54,0.020×20×180=72,0.010×20×180=36，由题意知“不合格”的人数为72，“合格”的人数为108，故2×2列联表为：不合格合格合计男生424890女生306090合计72108180零假设H0根据2×2列联表中的数据，计算得χ2根据小概率值α=0.05的独立性检验，没有充分的证据推断H0因此可以认为H0(2)在“合格”中抽的人数为108×10180=6故X的取值为0,5,10,15,20，则PX=0PX=15故所求分布列为X05101520P14381所以EX

16.解：(1)当a=0时，fx=xex令gx=x令ℎ(x)=1−x2−ex所以ℎ(x)=1−x2−所以g′x≤0在区间0,+∞上恒成立，当且仅当所以gx在0,+∞所以对x≥0,gx≤g0=0，所以(2)f′x=1−xex+ax−a=x−1①当a=1e时，f′x≥0恒成立，所以②当0<a<1e时，ln1a>1，令f′x>0，得x<1所以fx在区间−∞,1,ln③当a>1e时，ln1a<1，令f′x>0，得x>1所以fx在区间−∞,ln1综上所述，当0<a<1e时，fx在区间−∞,1当a=1e时，fx当a>1e时，fx在区间−∞,

17.解：(1)证明：取PC的中点G，连接DG,FG，则FG/​/BC，且FG=1由题意知DE//BC,DE=1所以FG/​/DE，且FG=DE，所以四边形DEFG为平行四边形，所以EF/​/DG，由题意知DP=DC,EP=EB，因为G,F分别为PC,PB的中点，所以DG⊥PC,EF⊥PB，因为EF/​/DG，所以EF⊥PC，因为PB,PC⊂平面PBC,PB∩PC=P，所以EF⊥平面PBC，又EF⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面PBC．(2)设CD=1，则DE=PD=1,BC=2,PC=所以PC2=P因为在▵ABC中，AC⊥BC，所以DE⊥AD,DE⊥CD，所以DE⊥PD,DE⊥CD，所以DE,DC,DP两两垂直，故以D为原点，直线DE,DC,DP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则D0,0,0所以CE=设平面PCE的一个法向量n=x,y,z，则n令y=1，解得x=z=1，所以n设平面CEF的一个法向量m=a,b,c，则m令b=1，解得a=1,c=−1，所以m=所以cosm所以平面PCE与平面CEF夹角的余弦值为13

18.解：(1)因为Γ的一条渐近线的倾斜角为2π3，所以其斜率为tan所以ba=又Me,e+1，即M2,3在Γ上，所以所以a=1,b=3，故Γ的方程为(2)由(1)得A−1,0,B1,0由题意知l的斜率不为0，设l的方程为x=my+2，代入Γ的方程并整理，得3m则3m所以m≠±33直线AC的方程为y=y1x1+1x+1，令直线BD的方程为y=y2x2−1x−1，令所以OP=所以OPOQ为定值，且定值为1

19.解：(