高中数学学案1：高中数学人教A版2019 选择性必修 第一册 椭圆的简单几何性质

3.1.2椭圆的简单几何性质

椭圆的标准方程和几何性质

22

标准方程=+与=1(a>6>0)与+[=1(a>b>0)

a~b~矿b.

「一

图形B?2,

[—a9a],yW1—6,

范围—6,b]9—a,a\

g

对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点

性

0),A2(a,0)4(0,—a),42(0，a)

质顶点

B、(0,-/?),氏(0,Z?)&(-b,0),B<b,0)

离心率e=£，且(0,1)

a

a,b,c的关系c2—_a2-bj2

离心率表示椭圆的扁平程度.当e越接近于1时，c越接近于a,从而8=，"一。2越

小，因此椭圆越扁；当e越接近于0时，c越接近于0,从而b=&"c?越大,因此椭

圆越接近圆；当e=0时，c=0,a=b,两焦点重合，图形就是圆.

［熟记常用结论］

1.焦半径：椭圆上的点尸(如必)与左(下)焦点E与右(上)焦点£之间的线段的长

度叫做椭圆的焦半径，分别记作力=1mI，n=\PF2\.

X2丁

(1)—-+^7—1(a>6>0),ri=a+eAi),ri-Q-&x()；

VX"/、

(2)——-\——=1(a>8>0),ri=a+eK，9.-e%；

a"b'

(3)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点).

2.焦点三角形：椭圆上的点尸(刘，％)与两焦点构成的△阳£叫做焦点三角形，Z

丁+炉

F、P&=0,△为R的面积为S,则在椭圆=i(a>Z?>0)中

(1)当尸为短轴端点时，。最大.

⑵S=Lm||你|•sinJ=Nlan-=c\yQ\,当|必1=6时，即点尸为短轴端点

22

时，S取最大值，最大值为加.

（3）焦点三角形的周长为2（a+c）.

3.焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦中以通径（垂直于长轴的焦点弦）最短，弦长

_2b2

a

v22

4.力£为椭圆—•+音v=1（a>6>0）的弦，71）,B（X2,%）,弦中点〃（如必），

ab~

则

⑴弦长J=jl+l1四一改|=^1+p-|y,—J2I；

（2）直线AB的斜率5一孕.

才为

典例剖析

考点一椭圆的简单几何性质

［考法全析］

考法（一）求椭圆的离心率的值（范围）

22

［例1］（1）（2018•全国卷II）已知£,凡是椭圆G・+4=1（a>6>0）的左、

a"b~

右焦点，/是。的左顶点，点〃在过力且斜率为与■的直线上，△用£为等腰三角形，

6

/FEP=\20：则。的离心率为（）

（2）（2019•福州模拟）过椭圆a4+4=1（a>6>0）的右焦点作X轴的垂线，交

ab

。于48两点，直线1过C的左焦点和上顶点.若以48为直径的圆与，存在公共点，

则C的离心率的取值范围是（）

A.10,图B.冬1

7

C.10,—2」D.L—2,1J

［解析］⑴如图，作外，x轴于点6.由题意可设出£|=|阳|

=2,则c=l.由NE£P=120°,可得|阳=6，I和1=1，故I初

=a+l+l=a+2,tanZPAB=',解得a=4,所

|PA|a+26

（2）由题设知，直线/：2+*=1,即Ax—cy+A=0,以为直径的圆的圆心为

-cb

b2b2

（。,0）,根据题意，将x=c代入椭圆。的方程，得/=土幺，即圆的半径不=幺.又圆

aa

与直线1有公共点，所以产w匕,化简得2cWb,平方整理得才25c2,所以e

^h2+c2a

=£w—、.又oveVi,所以OVeW―故选A.

a55

［答案］（DD（2）A

考法（Z2）与椭圆有关的范围（最值）问题

22

［例2］尸为椭圆土+匕=1上任意一点，炉为圆必（x—l）z+/=4的任意一条直

1615

径，则片的取值范围是（）

A.［0,15］B.［5,15］

C.［5,21］D.（5,21）

［解析］由题意知圆N的圆心Mi,0）恰好是椭圆的右焦点，因为PEPF"=

（丽+诟）•（而+标）=（而+亚）•（PN-NE）=PN2~NE2=\PN『一4,因

为a—cW|P月|Wa+c,即3W|AN」W5,所以PE"户的取值范围是［5,21］.

［答案］C

［规律探求］

考法（一）求椭圆离心率的值（范围），其方法为

看个性

（1）定义法：根据条件求出a,c，直接利用公式e=£求解.

a

（2）方程法：根据条件得到关于a,b,c的齐次等式（不等式），结合斤=

a2—d转化为关于a,c的齐次等式（不等式），然后将该齐次等式（不等式）

两边同时除以a或3转化为关于e或e。的方程（不等式），解方程（不等式）

即可得e（e的取值范围）.

考法（-）与椭圆有关的最值（范围）问题

与椭圆有关的范围或最值问题常常涉及一些不等式.例如一aWxWa,-b

瓦OVeVl，所以在求与椭圆有关的相关量的范围时，要注意应用这

些不等关系

［口诀记忆］

离心率，不用愁，

寻找等式消6求；

几何图形寻踪迹，

等式藏在图形中.

L无论题型如何变化，都是围绕椭圆的几何性质，外加其他条件来考查，

所以理清椭圆的几个关键点（顶点、原点、焦点、对称轴）和灵活应用几个

公式卜=♦==。2+。2,理清a,b,c的内在联系（a,b,c

找共性

的关系式一构造a,c的齐次方程或不等式），便可以不变应万变.

2.与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思

考时也要联想到一个图形

能力检测

姓名：班级：得分：.

注意事项：

本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题.答卷前，考生务必用0.5毫

米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置.

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的.

一、单选题

22

1.设8"分别是椭圆£/卓=叱。＞。）的左、右焦点'过居的直线交椭圆于A,

B两点,且而「而=（）,现=2印,则椭圆E的离心率为（）

A.-B.-C.正D.立

3434

【答案】C

【解析】•.•慈=2空

设BF2=x,则AFj—2x

由椭圆的定义，可以得至UA6=2a-2x,8K=2a-x

-.■AFiAF2=0,AAF}±AF2

在片8中，有（2a—2x『+（3x）2=（2a—x）2,解得尤=]

…2a…4a

••4鸟=3，*耳T

在RtZVl耳工中，有

整理得《=之，.•“=£=好，故选c项.

a29a3

2.已知正方体ABC。-4耳&9,尸是平面4BCR上的动点，〃是线段4G的中点，满

足掰与CG所成的角为则动点尸的轨迹为（）

O

A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线

【答案】B

【解析】在正方体ABC。-中，连接GO,cq相交于点。

所以CQLCR,又BC_L平面CDRG，所以弓力上台。

又BCcCD、=C,所以G。，平面ABC"

以。为原点，oq，oc分别为z轴和y轴,

然后过点。作BC的平行线为x轴

建立如图所示空间直角坐标系。-型

设AB=2,P（x,y,O）

所以M（1,O,&）,C（O,亚,o）c（o,o，匈

PM=（\-x-y,y/2）,CC；=（0,-V2,0）

由PM与CG所成的角为1

6

兀PMCC'_a（一»）6

所以‘°丁|^=2狂五㈠X-

2

化简可得3（x-1）+（y-2夜Y=6,即（1丫+（）'-2⑹=1

26

所以点尸的轨迹为椭圆，故选：B

3.已知椭圆E:三二+£=1（。＞0）的离心率为它，若面积为4的矩形ABC。的四个顶

。+2。2

点都在椭圆£上，点。为坐标原点，则|。4/=（）

A.B.3C.3±-D.3±—

222

【答案】D

【解析】由椭圆E的离心率为孝，解得栏与=¥，

22

所以椭圆E的方程为土+匕=1,

不失一般性，设A（2cos8,拉sin。）

由椭圆与矩形的对称性可得该矩形的面积S=2cos6x0sin8=l，

所以sin2"*,即2哪或与，可得cos26=土冬

所以|QA『=4cos2e+2sin2e=2cos2e+2=cos2e+3=3±等,故选：D.

4.定点产（3,0）,动点。在圆V+y2=i6上，线段PQ的垂直平分线交。。于点〃（0为

坐标原点），则动点〃的轨迹是（）

A.圆B.直线C.双曲线D.椭圆

【答案】D

【解析】

如图所示:

因为阿。|=|叫，所以|OM|+|MP|=|OQ|=4>3,因此点P的轨迹是以。，尸为焦点，长

轴长为4,焦距为3的椭圆.故选：D.

22

5.已知点户是椭圆与+J=l（a>0>0）的上焦点，点尸在椭圆£上，线段"与圆

ab~

V+（y-9喙相切于点0,0为坐标原点，且（而+砺）历=0,则椭圆£的离心率

为（）

A.®B.或

33

【答案】B

【解析】设椭圆的下焦点为九圆一+。一£）2=4的圆心为A,线段PF的中点为B,

216

因为（而+而）・丽=o,所以（而+而）•（而一赤）=（）,BP|OP|=|OF|=C；

所以OBJ.PF,由于OB〃尸G，所以尸片,以乙

因为线段/与圆V+（y—52=，相切于点Q,

所以AQLPF,所以P耳〃AQ,所以用=呼；

P用附I

因为|g|=2c,|AQ|=*|A刊=?所以归耳|="

根据椭圆定义可得|PF|=2a-h,所以有（2a-。）2+6=402,整理得3=g,

6.已知椭圆的两焦点£,鸟和双曲线的两焦点重合，点尸为椭圆和双曲线的一个交点，

且cos4PE=；,椭圆和双曲线的离心率分别为6,%,则4+4的最小值为（）

A.1+巫B.叵C.-D.叵

4244

【答案】A

【解析】设|尸国=》，归图=》，不妨设P在第一象限，椭圆的长轴长为2a,双曲线的

实轴长为"，忸玛|=2c,

[x+'y==22a/解,得]x=a+a

则

y-a-a

在舄中由余弦定理得|耳闾2=归用2+帜闾2—2归用旧用cosN£PE,

/.4c2=x2+y2-2xyx-=x2+y2--xy,e=—

42iaa

535

2222-=o8

4c=(a+a')+(a-a')-—(a+a')(a-a')--a-\—Q—+~-

222e\e2

，当且仅当亭=1时等号成立.

所以e；+e；的最小值为1+巫.故选：A.

4

22

JC+上】的右焦点为E

7.已知椭圆G：70为坐标原点,。上有且只有一个点尸满足

W=|FP|,则。的方程为（）

22222222

A%y1xy1

A.---1---=1B.土+匕=1c.—+—=1D.—

123836343

【答案】D

【解析】根据对称性知P在x轴上，|。尸|=忻儿故a=2c,/=3+02,解得。=2,c=\,

22

故椭圆方程为：土+匕=1

43

故选:D.

22

8.已知抛物线C：y2=2px（p>0）与椭圆氏a+卓=1（。”>0）交于点A（l,2）,若抛物

线C的焦点户也是椭圆£的焦点，则实数a的值为（）

A.V2+1B.V2

c.V2+2D-2&

【答案】A

【解析】由题意：对于抛物线C：y2=2px,有2?=2p,

y2=4x

所以抛物线。的焦点为21,0),

b'=a2—1

所以对于椭圆区有14

解得笳=3+2正或"=3-272，

又因02寸2,即标>i,

所以/=3+2&=(0+1)2,

所以。=加+1.故选：A

2

9.若方程C：/+匕v=i(。是常数)则下列结论正确的是()

a

+

A.\/aGR>方程C表不椭圆B.VaeH,方程C表示双曲线

C.Ba&R,方程C表示椭圆D.Ba^R,方程C表示抛物线

【答案】B

2

【解析】•••当。=1时，方程C：d+21—1即x2+y2=1,表不单位圆.・.孔cRM使方程

a

2

C不表示椭圆.故A项不正确；,当aVO时，方程C：_?+2_=1表示焦点在工轴上

a

的双曲线.•.Vae/T,方程C表示双曲线，得B项正确；YawR,方程C不表示椭圆,

得C项不正确

•.•不论”取何值，方程C：/+匕=1中没有一次项...VawR方程C不能表示抛物线，

a

故D项不正确，综上所述，可得B为正确答案，故选B

92

10.已知椭圆?+《=1上一点p(x,y)到其一个焦点的距离为3,则点p到其另一个焦

点的距离等于()

A.2B.3C.1D.而

【答案】C

【解析】根据题意，椭圆的标准方程为:则其焦点在x轴上，且a="=2.

若椭圆上一点尸到它的一个焦点的距离等于3,那么点P到另一个焦点的距离为

2a—3=1,

故选：C.

11.若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18,焦距为6,则椭圆的方程为

()

22

A.x/-1

916

B.=1

2516

2222

C.小汩或—r+—v=1

1625

D.以上都不对

【答案】C

20+2/7=18[a2=25

【解析】由题意可得：2c=6,解得：M=16,

a2=b2+c2c~=9

I

当椭圆焦点位于X轴时，其标准方程为：5+卫=1，

2516

22

当椭圆焦点位于y轴时，其标准方程为:土+匕=1,本题选择C选项.

12.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（）

A.3B.也C.-D.-

3223

【答案】B

【解析】由题意，椭圆的长轴长是短轴长的2倍，即a=»,

则椭圆的离心率为e=£=，故选B.

a

二、填空题

22

13.如图，过原点0的直线相交椭圆C:1+二=13＞。＞0）于4,B两点,过点Z分

ab

___4―.

别作x轴、四的垂线AP.四交椭圆。于点P.Q,连接BQ交力产于一点胭若AM=《AP,

则椭圆。的离心率是.

【解析】设A（%,y）,Q（电,M））,

3

则3（—王，-X），尸（西,一X）,

由则上.%二五=-1,

%x2-%]

再由8,0三点共线，则苦L=&±A,

51]x2+x]

故山=一?土土，故即

々+35y2-%

£一y：=(¥-,

2?22

又因为各+普=i,4+4=i»

abab-

2222

即五三2+=左=0，

ah

所以耳=1，故椭圆C的离心率是挛.

a-55

故答案为：乎

14.椭圆[+与=1(“>力>0)的右焦点F,其右准线与x轴的交点为4在椭圆上存在

ab

点产满足线段4尸的垂直平分线过点F,则椭圆离心率的取值范围是

【答案】川

【解析】由题意，椭圆上存在点P,使得线段AP的垂直平分线过点F,

即F点到P点与A点的距离相等，

ffn|FA|=---c=—,\PF\^[a-c,a+c\

cc

于是—^(a-c,a+c],B|Jac-c1<Z?2<ac+c2,

c

c[

，222—<]

uc-cva-ca

1222=1i，

[a-c-<«c+c-£一或々j.

a2

「1、

又ew(O,l),故ee-,1,

故答案为ee

22

15.已知48是椭圆0：』_+21=1的长轴的两个端点，P是椭圆。上的动点，且

机+4m

0rr_

Z4PB的最大值为告，则椭圆C的离心率为.

【答案】近

3

y

【解析】

因为P是椭圆。上的动点，当Z47归的最大值为三，由椭圆性质得此时P是短轴顶点

m+4

且NAPO=60°,所以tan60。，解得〃2=2

\a1=6,b2=2,c2=4\e=—=^==^-

a瓜3

故答案为：旦

3

16.已知直线/为经过坐标原点且不与坐标轴重合的直线，且/与椭圆

22

C：f+5=1（。＞力＞0）相交于P，。两点，点8为椭圆上异于P,。的任意一点，若直线

ah~

呼和3Q的斜率之积为-J,则椭圆。的离心率为_____.

4

【答案】赵

2

【解析】由题知:设8（x,y）,P（办〃）,

y-nI,y+n

则%，KBQ

x-m--x+m

因为所i以=.-=口=2一2;1

4x-mx+mx-m"4

22

又因为3,尸在椭圆。上，所以5+1.=1,mni

ab“

两式相减得士2？2+三2二2=0,即斗2=，2=—1I2•

ab“x--nrar

2

三、解答题

22

17.已知椭圆G=1（〃＞八0）的短轴长等于2月，右焦点F距C最远处的距离为3.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设0为坐标原点，过F的直线与C交于A、B两点（A、B不在x轴上），若

OE=OA+OB,求四边形AOBE面积S的最大值.

22

【答案】(1)工+匕=1；(2)1

43

22

【解析】⑴由已知得b2=3'a+c=3,a』』「所求椭圆C的方程为〉上1

（2）因为过户（1,0）的直线与。交于A、B两点（A、B不在x轴上）,

x=(y+1

所以设l:x=ty+l,dy2n(3t2+4)y2+6ty-9=0

---1----1

43

设A(xpyj、B(X2.y2)

—6t

则

加2=帚匕

12r+1

•.•加=。&+而所以AOBE为平行四边形.-.S=2SAAOB=|y,-y2|==;