高中数学函数专项练习题

高中数学函数专项练习题

一、选择题：本次题共10小题，每小题5分，共50分，在

每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合A={x||x—2|<2,XCH},B={y|y=-x2,-l<x<2},贝1

「(ADB)等于()

A.RB.{H%£R,XWO}C.{O}D.0

解：A=[0,2],B=[-4,0],所以CR(AD3)=CR{0}，故选B。

2、曲线>=丁-2x+4在点(1,3)处的切线的倾斜角为(B)

A.30。B.45°c.60°D.120°

3、若二次函数y=/(x)的图象过原点，且它的导数尸尸(x)的图

象是经过第一、二、三象限的一条直线，则y=/(x)的图象顶

点在(C)

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

4、若函数f(x)=x3-6bx+3b在(0,1)内有极小值，则实数匕的

取值范围是(D)人.(。，1)B.(-8,1)c.(。，+8)D.(°'5)

5、甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800

名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样

法，抽取一个容量为90人的样本，应在这三校分别抽取学生

(A)30人,30人，30人(B)30人，45人，15人

(C)20人，30人，10人(D)30人，50人，10人

6、函数尸/⑴与y=/'(x)的图像不可能是(D)

7、已知函数=?x-°,若/(x)21,贝底的取值范围是(D)

2x-1.x>0

A.(-00,-1]B.[l,+00)C.(-oo,0]U[l,+oo)D、(-co,-l]U[l,+oo)

8、下列四个函数，在x=0处取得极值的函数是(B)

①y=x3②y=x2+l③y=|x|④y=2x

A.①②B.②③C.③④D.①③

9、奇函数/3=苏+东+cx在'=£处有极值，则ac+23的值为

(D)

A.0B.3C.1D,-3

10、已知函数/(x)=/-3x2+a，若/(x+1)是奇函数，则曲线y=/(x)

在点(0,a)处的切线方程是(C)

A.尤=0B.x=2c.丁=2D-y=4

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答

案填在答题卡相应位置上.

11、某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班.其中甲班有40人，

乙班50人.现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平

均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则该校数学建模

兴趣班的平均成绩是分.

解析：某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班.其中甲班有40

人，乙班50人.现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班

的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则该校数学

建模兴趣班的平均成绩是4°x＜50x81=85分.

12、曲线＞=/+62在点(1,0)处的切线方程为y=3(x-l)

函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+l有极大值又有极小值,

则a的范围是av-i或42。

14、(上海卷)已知集合A={-1,3,2〃,一1},集合B={3,

m2}.若BqA,则实数加=.

解：由〃22=2„1一1=帆=1,经检验，机=1为所求；

15.已知曲线y=f一1在X=Xo点处的切线与曲线＞=1一在x=Xo

点处的切线互相平行，则X。的值为_0或-2/3.

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说

明，证明过程或演算步骤.

16、已知曲线y=，+3,

33

求曲线在点P(2,4)处的切线方程；

求曲线过点P(2,4)的切线方程；

分析：切点坐标-切线斜率-点斜式求切线方程

解答：(1)•.•P(2,4)在曲线y上，且y=f

33

，在点P(2,4)处的切线的斜率k=yu=4；

.,.曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.

(2)设曲线+±与过点P(2,4)的切线相切于点A(xo,

33

3

|x0+|),则切线的斜率心川『=龙。2,.♦.切线方程为)，一

-xl(X-Xo),即y=x；・x-|x；+g

•.•点P(2,4)在切线上，...4二2/2一京。3+3，即玉”3%+4=0,...

片+片-4片+4=。,

(Xo+1)(xo-2)2=0

解得Xo=-1或Xo=2

故所求的切线方程为4x-y-4=o或x-y+2=o.

17、(本题满分12分)定义在R上的函数八幻满足对任意

x、yeR恒有/(到)=/(x)+/(y),且/O)不恒为0。

(1)求/⑴和八-1)的值；

(2)试判断〃幻的奇偶性，并加以证明；

(3)若心。时了⑴为增函数，求满足不等式小+DT(2-

的x的取值集合。

解：(1)令x=y=L得/⑴=/⑴+〃i)")=。

令.=—1,得/⑴=/(—i)+/(_i)...y(-i)=o(2)令y=-i,由

/⑻)=/(x)+/(y),得/(f)=/(x)+/(T)

又/(—1)=0/(-x)=/(X)

又/(X)不恒为o・•.”X)为偶函数

(3)由/、+l)-/(2-M°

^f(x+D<f(2-x)又由(2)知F3=/(|x|)

.../(|x+l|)W/(|2-由又.../(X)在［0,+8)上为增函数

11

/.k+1闫2-X故X的取值集合为

18、已知函数/(%)=-丁+加+bx+c图像上的点P(1J⑴)处的切线

方程为y=-3x+l,函数80)=/&)-尔+3是奇函数.

(1)求函数/(x)的表达式；(2)求函数/(x)的极值.

2

])f(x)=-3x4-2dx+/?.............................................1分

••・函数在x=l处的切线斜率为-3,，f（l）=-3+2。+》=-3,即

2a+b=09

又〃l)=-l+a+"c=-2得

a+0+c=T,...............................3分

又函数<式，)=*+陵+。+3是奇函数，-3.

。=-2]=4,。=-3,...............................6分

”X)=-13-2f+4x-3...............................7分

_2

(2)/'(x)=-3/_4x+4=—(3x—2)(x+2),令/(幻=。，得*=§或

X=-2,

9

•Q（f-2）。

/0。-Q0，-P

g递需极小3递增，极大，递减，

『（X）极小=/（一2）=-11，/（x）极大=，€二号................

19、设4£尺，函数/（x）=ax2-2x-2a.若/*）>0的解集为A,

6={x[l<x<3},AnB。。，求实数。的取值范围。

解：由f（X）为二次函数知a*。令f（X）=0解得其两根为

2+/,々=,+/+*,由此可知演<0,x2>0

(i)当a>0时，A={x|x<X[}u{x|x>w}

ACBR的充要条件是々<3,即:+,2+,3解得a4

(ii)当a<0时，A={x\x}<x<x2}

的充要条件是%>1,即*2+,>1解得十<一2

综上，使Ac3=/成立的a的取值范围为y,_2)5:4<o)

设函数/(x)=」/+lax1-3«2X+b(0<cz<1)o

(1)求函数/i(x)的单调区间，并求函数/'(X)的极大值

和极小值；

(2)当时［a+1,a+2］,不等式恒成立，求a

的取值范围。

解(1),:F(x)=—x+A,ax~3a--(x——3a)(x——a),由

f'(x)>0得：a〈x〈3a

由/(x)<0得，x(a或x>3a,

则函数f(x)的单调递增区间为(a,3a),单调递减区间为

(—8,4)和(3a,+8)列表如下：

，函数广(x)的极大值为b,极小值为一

(2)•・•/'(%)=-x2+4ax-3a2=一(x-2a)2+a2,

.一.r(x)由a+1,a+2］上单调递减,

因此尸(x)a=/(。+l)=2a-l，r(x)min=r(a+2)=4a-4

•.•不等式1/(x)恒成立，，解得:乜”1即2的

4a-4>-a5

取值范围是

21、已知函数/(x)=丁-3加-9/x+/0

⑴设a=1,时，求函数/(x)在区间［-2,4］上的最大值和最小值；

⑵若且当xw［l,4a］时，|/(幻区12a恒成立，试确定a的取值

4

范围。

解：(1)时，/(x)=/一3/