高考数学一轮复习 （基础知识 高频考点 解题训练）数系的扩充与复数的引入教学案

1基础都艰要打牢强双基I固本源I得基础分I掌握程度

［知识能否忆起］

一、复数的有关概念

1.复数的概念：形如a+历（a,6GR）的数叫复数，其中a,6分别是它的实部和虚部.若

6=0,则a+bi为实数；若6W0,则a+bi为虚数；若a=0,6W0,则a+bi为纯虚数.

2.复数相等：乃+6i=c+dioa=c,b=d1a,b,c,d£R）.

3.共轨复数：a+历与c+di共b~\~d=G（a,b,c,d£R）.

4.复数的模：向量OZ-的长度叫做复数z=a+6i的模，记作|z|或|a+历|,即|z|

=|a+bi|/+/A

二、复数的几何意义

复数z=a+bi—复平面内的点Z（a,6）—＞平面向量OZ

三、复数的运算

1.复数的加、减、乘、除运算法则

设zi=a+6i,Z2=c+di(a,b,c,d£R),贝U：

(1)加法：zi+%=(a+历)+(c+di)=(a+c)+(6+d)i；

(2)减法：％—Z2=(a+6i)—(c+或)=(d—c)+(b-d)i；

(3)乘法：zi•Z2=(女+6i)•(c+di)=(ac—bd)+(ad+6c)i；

zi_a+6i_d+6c-d

（4）除法:

Z2c-\-dic+dc-d

ac-\-bd+bc-ad

(c+diWO).

2.复数加法、乘法的运算律

对任意zi,Z2,Z3£C,有zi+z2=Z2+zi,（zi+a）+/3=zi+（Z2+Z3）；zi•%=%•久,

（Z1•Z2）•Z3=Z1•（Z2•Z3）,Z1（Z2+Z3）=Z1Z2+Z1Z3.

［小题能否全取］

L（教材习题改编）已知非R,i为虚数单位，若（1—2i）g+i）为纯虚数，则a的值等

于（）

A.-6B.—2

C.2D.6

仿+2=0,

解析：选B由(1—2i)(a+i)=(a+2)+(l—24i是纯虚数，得由此

[1—2aW0,

解得a=-2.

2.（2011•湖南高考）若a8£R,i为虚数单位，且（a+i）i=6+i,则（）

A.a=l,b=lB.a=—l,b=l

C.a=~l,b=~lD.a=\,8=—1

解析：选D由（a+i）i=6+i,得-l+ai=6+i,根据两复数相等的充要条件得a=l,

Z?=—1.

3.（2012•天津高考）i是虚数单位，复数一—=（）

4—1

A.1-iB.—1+i

C.1+iD.-1-i

5+3i++_____20+5i+12i+3i-17+17i

解析：选

C4-i==+=16-i*12=-17-

7

4.若复数z满足中=2i,则2对应的点位于第象限.

解析：z=2i(l+i)=—2+2i,因此z对应的点为(一2,2),在第二象限内.

答案：二

5.若复数2满足2+1=干，贝lj|z|=.

3|j

解析：因为i=l—3i—i=l—4i,贝(J|z|=，T7

答案：近

1.复数的几何意义

除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意

(1)Q=|z—0|=乃(@>0)表示复数z对应的点到原点的距离为a；

(2)|z—z°|表示复数z对应的点与复数为对应的点之间的距离.

2.复数中的解题策略

(1)证明复数是实数的策略：①z=a+6i£R=6=0(a,6£R)；②z£R=z=z.

(2)证明复数是纯虚数的策略：①/二己+%为纯虚数=a=0,b#0(a,Z?£R)；

②6W0时，z—z=2bi为纯虚数；③z是纯虚数=z+z=0且zWO.

昌高频考点干通关

抓考点I学技法I得拔高分I掌握程度

复数的有关概念

占典题导入

［例1］(1)(2012•陕西高考)设a,比R,i是虚数单位，则“a6=0”是“复数a+g为

纯虚数”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

9—A-i

(2)(2012•郑州质检)如果复数(其中i为虚数单位，8为实数)的实部和虚部互为

相反数，那么占等于()

22

A.--B."

C.72D.2

［自主解答］(1)若复数3+3=石一历为纯虚数，贝Ua=0,bWO,ab=0；而a6=0时a

bb

=0或6=0,升：不一定是纯虚数，故“ab=0”是“复数a+;为纯虚数”的必要不充分条

件.

2—历一b___________—26—+6

⑵l+2i=一+二=5，

2

依题意有2—26=4+6,解得力=—■%

［答案］(DB(2)A

［由题悟法

处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问

题转化成实数问题来处理.由于复数2=@+历(a,6GR)由它的实部与虚部唯一确定，故复

数z与点Z(a,6)相对应.

备以题试法

V

1.(2012•东北模拟)已知下=1—yi,其中X,P是实数，i是虚数单位，则x+yi

的共轨复数为()

A.l+2iB.l-2i

C.2+iD.2-i

解析：选D依题意得x=(1+i)(1—yi)=(1+y)+(1—y)i；又x,p£R,于是有

［x=l+y,

V八解得x=2,y=l.

〔1一尸0,

x+yi=2+i,因此x+yi的共物复数是2—i.

复数的几何意义

占典题导入

[例2](2012•山西四校联考)已知复数z的实部为一1,虚部为2,则口(i为虚部

Z

单位)在复平面内对应的点所在的象限为()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

[自主解答]选C依题意得—9—1=9--；-7—T-----—-T1—-------二—'4—31，因

z—1+21—1十—1—5

此该复数在复平面内对应的点的坐标是「/一!),位于第三象限.

出由题悟法

复数与复平面内的点是一一对应的，复数和复平面内以原点为起点的向量也是一一对应

的，因此复数加减法的几何意义可按平面向量加减法理解，利用平行四边形法则或三角形法

则解决问题.

备以题试法

2.(1)在复平面内，复数6+5i,—2+3i对应的点分别为4B,若C为线段46的中

点，则点C对应的复数是()

A.4+8iB.8+2i

C.2+4iD.4+i

(2)(2012•连云港模拟)已知复数©=—l+2i,z?=l—i,Z3=3—4i,它们在复平面上

对应的点分别为46,C,若OC=才OA+〃。5,(儿，“GR),则才+“的值是.

解析：(1)复数6+51对应的点为/(6,5),复数一2+3i对应的点为8(—2,3).利用中

点坐标公式得线段四的中点以2,4),故点C对应的复数为2+4L

⑵由条件得OC=(3,—4),04=(—1,2),。5=(1,-1),

根据。。=1。4+〃。5得

(3,—4)=2(—1,2)+//(1,—1)=(—△+〃，2A—〃)，

[一儿+〃=3,[1=-1，

•••c,解得

[2A—〃=—4,[P—2.

A+〃=1.

答案：⑴C（2）1

复数的代数运算

占典题导入

［例3］(1)(2012•山东高考)若复数2满足z(2—i)=H+7i(i为虚数单位)，则z为

()

A.3+5iB.3-5i

C.-3+5iD.-3-5i

(2)(2011•重庆高考)复数ii=()

i—1

1111

--iB--

A.-2-22+-2

11

Q］一,D.-+-i

［自主解答］（l）z=gf++15+251।

—十一+1—i

I771=］T

-+1-i11.

=--------------------------=----------------1

-+222

［答案］(DA(2)C

出由题悟法

1.复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法运算是分子分母同乘以分

母的共轨复数，注意要把i的哥写成最简形式.

2.记住以下结论，可提高运算速度：

①(1土i)z=±2i；②③—i；④a："号-ai；⑤i"=l,i4,1+1=i,

i4o+2=-l,i4fl+3=-i(/7GN).

否以题试法

3.（1）（2012•山西四校联考）设复数z的共轨复数为z,若2=1—i（i为虚数单位）,

Z

则一十/的值为（）

Z

A.l3iB.-2i

C.iD.-i

(2)i为虚数单位,

zi+i—i2+i

解析：⑴依题意得7+Z2=E+(1—02=：^―2i=i—2i=—i.

⑵(冷)三^2卜"L

答案：(1)D(2)1

福解题训练要高效抓速度|抓规范|拒绝眼高手低|掌握程度

3级全员必做题

1.(2012•江西高考)若复数z=l+i(i为虚数单位)，7是z的共轨复数，则

的虚部为()

A.0B.-1

C.1D.-2

解析：选A*.*z=1+i,z=1—i,.\z+z2=(z+z)2—2zz=4—4=0,z

+72的虚部为0.

2.(2012•北京高考)在复平面内，复数上对应的点的坐标为()

3+1

A.(1,3)B.(3,1)

C.(—1,3)D.(3,—1)

解析：选A由目=-T一二------=——2——=l+3i得，该复数对应的点为

3+1+—10

(1,3).

3.(2012•长春调研)若复数(a+iT在复平面内对应的点在y轴负半轴上，则实数a的

值是()

A.1B.-1

C.72D.一乖

解析：选B因为复数(a+i)2=(a?—l)+2ai,所以其在复平面内对应的点的坐标是(4

fa2—1=0,

—1,2a),又因为该点在y轴负半轴上，所以有°…解得a=—1.

[2水0,

4.(2013•萍乡模拟)复数一士---?—等于()

55

A.-B.--

55.

C.D.~~i

++2+4i+i+2i.5i_5

解析：选B

-2―-2i~~2i~2'

2+i1

5.（2012•河南三市调研）已知i为虚数单位，复数z=fp贝/z|+]=（）

A.iB.1-i

C.1+iD.-i

解析：选B由已知得z—].—[.—i.—i,z+—i+•-1i.

1—Z9l1-Z9l1-Z9lZ1

6.（2012•安徽名校模拟）设复数z的共钝复数为z,若（2+i）z=3—i,则2・z的

值为()

A.1B.2

C.小D.4

解析：选B设z=a+bi(a,6£R),代入(2+i)z=3—i,得(2a—6)+(26+a)i=3

—i,从而可得a=Lb=~\,那么z•z=(1—i)(1+i)=2.

7.（2013•长沙模拟）己知集合〃=1,/,p—3—J,i是虚数单位，Z为整数集，

则集合ZC〃中的元素个数是（）

A.3个B.2个

C.1个D.0个

解析：选B由已知得Q{i,-1,-i,2},Z为整数集，.，乜口吐{—1,2},即集合

中有2个元素.

8.定义：若/=a+历（a,6GR,i为虚数单位），则称复数z是复数a+历的平方根.根

据定义，则复数一3+4i的平方根是（）

A.1—2i或一l+2iB.l+2i或一1—2i

C.-7-24iD.7+24i

\x一y——3,

解析：选B设（x+yi）2=-3+4i（x,y£R）,则，

[xy=2,

x=l,x=-1,

解得或

=

y29尸一2.

9.在复平面内，复数1+i与一l+3i分别对应向量04和03,其中。为坐标原点,

则IAB\^.

解析：由题意知"(1,1),6(—1,3),

故IAB|=7—1——H—z—5=272.

答案：2加

z-2z

10.已知复数z=l—i,则j=.

z-2z1

解析:i——:-----r2i.

z—1—1,1

答案：一2i

11.设复数z满足|z|=5且(3+4i)z是纯虚数，贝|z=.

解析：设/=己+%(&6£R),则有d'+》=5.

于是(3+4i)z=(3a—46)+(4a+3Z?)i.

(3a—46=03/3、g=4,

由题设得]d+36W0得b=]a代入得3+1己)=25,a=±4f-*-L_3或

a=-4,

b=-3.

/.z=4—3i或z=-4+3i.

答案：±(4-3i)

-1++

12.

i

-1++—3+i

解析:l-3i.

-i

答案：一1一3i

13.(2011•上海高考改编)已知复数zi满足3—2)(l+i)=l—i(i为虚数单位)，复

数Z2的虚部为2,且ZJZ2是实数，则Z2=.

解析：(zi—2)(1+i)=1—i=>zi=2—i.

设@=a+2i,

则zi•Z2=(2—i)(a+2i)

=(2a+2)+(4—a)i.

Vzi•%£R,a=4.・\z2=4+2i.

答案:4+2i

14.若复数z=a-l+(a+l)i(aeR)是纯虚数,则土的虚部为——

fa2—1=0,II1—2i1

解析：由题意得一〃八所以a=l,所以-T--------------------=鼻

[a+lWO,z+a1+21+—5

919

-71，根据虚部的概念，可得丁的虚部为一己

5z-va5

答案：—£

5

B级重点选做题

fl+x,x£R,

1.(2012•山东日照一模)在复数集C上的函数f(x)满足Ax)=_

〔—x,超R,

则Hl+i)等于()

A.2+iB.-2

C.0D.2

解析：选DV1+WR,/(I+i)=(1—i)(1+i)=2.

2.已知i为虚数单位,a为实数，复数z=(l—2i)(a+i)在复平面内对应的点为M,

则“a>，'是"点〃在第四象限”的()

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析：选Cz=(l—2i)(a+i)=(a+2)+(l—2a)i,若其对应的点在第四象限，则a

+2>0,且1—2水0,解得力巳.即“a是“点〃在第四象限”的充要条件.

3.已知复数z=x+yi(x,y£R),且|z—2|=/，贝巧的最大值为

解析：iz—2i=q~~

二・(x—2)2+y—3.

由图可知

答案：小

4.复数z=(/+5%+6)+(/Z?2—2/zz—15)i,与复数12+16i互为共轨复数，则实数勿=

解析：根据共轨复数的定义得

方+5刃+6=12,

解之得力=1.

—2727-15=-16.

答案：1

7

5.已知z是复数，z+2i,7—均为实数(i为虚数单位)，且复数(z+ai)?在复平面上

/r11

对应的点在第一象限，求实数a的取值范围.

解：设z=x+yi(x,yeR),

则z+2i=x+(p+2)i,由题意得y=-2.

zx-2i1、/,、

=^--=~(jzr-2i)(2+i)

z—12—15

=』(2x+2)+7(^—4)i.

55

由题意得x=4,/.z=4—2i.

「・(z+ai)2=(12+4a—#)+8(a—2)i.

由于(z+H)?在复平面上对应的点在第一象限，

112+4a—才>0,

・•・解得2<水6.

Ia-,

・,・实数a的取值范围是⑵6).

6.设z是虚数，G=Z+±且一

z

⑴求|z|的值及Z的实部的取值范围；

1—7

⑵设〃=E，求证：〃为纯虚数.

解：⑴设z=a+6i(a,6W0),

。=a+历+£=[+看|+毋)i，

b

・・・G是实数，・・・8—齐了=0.

又6W0,.\a+/?2=1.AIz|=1,3=2a.

1

即Z的实部的取值范围是(一/1).

l—z1一己一6i1一♦一，一2历b

2"1+zl+a+6i+a2-\~I)a+l'

V6W0,「・〃为纯虚数.

I个怖备选题

1.已知一7—=b+i（a,Z?eR）,其中i为虚数单位，则乃+6=（）

A.-1B.1

C.2D.3

解析：选B〃一=—二一=2~ai=b+i,由复数相等的条件得6=2,a=—1,

11

则a+b=\.

2.对任意复数z=x+yi（x,y£R）,i为虚数单位，则下列结论正确的是（）

A.|z-z|=2yB.z=x~\~y

C.|z-z|22xD.|z|W|x|+|p|

解析：选D「z-z=2yi,「・|z—z|=2|y|,选项A、C错误；而z?=(x+jd)2=f

—y+2xyi,选项B错误；而|z|=迎+y,\z\'2^x+y,(kl+\+y+2\xy\

+y\因此|z|W|x|+|p|.

z/

3.已知虚数z,使得和Z2=H都为实数，求z.

1+z1+z

解：设z=x+yi(x,p£R,且10),则

2i2iI22

2__221c•xx十y十十y—-y

z=x-y十2盯1・・Z\

x-y十十

Vzi^R,又/./+y=l,

1

x=~29

同理，由Z2&R得f+2x+y=0,解得＜

阶段验收评估（二）

三角函数、解三角形平面向量、数系的扩充与复数的引入

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）

—3+i

1.（2012•新课标全国卷）复数z="-的共轨复数是（）

乙I1

A.2+iB.2-i

C.—1+iD.-1-i

解析：选D।.=工=-1+i,所以z=-1—i.

幺9十1十—

，兀、4

2.(2012•潍坊模拟)已知—I，0I,cosx=~,则tan2x=()

77

A——R-------

2424

sinx3

解析：选D依题意得sinx=tanx=-----:所以tan2x

3cosx

2tanx2义卜力_24

*123*5

1—tan^rH（R3\7,

3.（2012•广州调研）设复数©=1—3i,zz=3—2i,贝卢在复平面内对应的点在（）

Z2

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

解析：选D因a为1—31'----—--------J4-—=匕Q—”71，所以,人在复平面内对应的

Z23-21一十13%

点为偌，-41，在第四象限.

4.（2012•邵阳模拟）已知a=（1,sin2jr）,b=（2,sin2x）,其中（0,兀）.若|a•引

=|a|\b\9则tanx的值等于（）

A.1B.-1

C.y[3D.平

解析：选A由|a•引=|a||6|知,

a//b,所以sin2x=2six\x,

即2sinxcosx=2sir?x,而（0,兀），

所以sinx=cosx,tanx=l.

37

5.（2012•福州质检查）"cosa=­v是"cos2。=一左”的（）

525

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

397

解析：选AVcosa=—,Acos2<2=2cos2—1=2X——1=——,・••由cosa=

52525

37

工可推出cos2a=——

525

7373

由cos2a=cos。=±厂，・••由cos2。=-77不能推出cosa=-

255255

37

综上，“cos。=鼻”是“cos267=--"的充分而不必要条件.

525

X~\~0

6.若函数f(x)=sin—^-(0^[0,2口])是偶函数，贝。0=()

0JI

解析：选c・・"(才)为偶函数，・・・丁=4兀+3(4£2),

O乙

33

0=34"+]加(AGZ).又：。e[0,2m.

7.在△/回中，a,b,c分别为角4B,。所对的边，若ccosA=b,则△4?C()

A.一定是锐角三角形

B.一定是钝角三角形

C.一定是直角三角形

D.一定是斜三角形

72I2_2

解析：选c在△4及7中，因为ccos/=A根据余弦定理，得…矢~—=b,故/

26c

=/+氏因此4/台「一定是直角三角形.

8.设点力(2,0),6(4,2),若点户在直线四上，且|45|=2|4尸|,则点户的坐标为

(3,1)B.(1,-1)

⑶1)或(1,-1)D.无数多个

解析：选C设P(x,近，则由|A5|=2|4尸得45=24尸或45=—2AP.

45=(2,2),AP—(X—2,y),即(2,2)=2(x—2,y),x=3,y=l,尸(3,1),或(2,2)

=—2(x—2,y),x=1,y=-1,尸(1,—1).

JI

9.(2012•福州质检)将函数f(x)=sin2x(xdR)的图象向右平移了个单位后，所得到

的图象对应的函数的一个单调递增区间是()

JI

解析：选B将函数F(x)=sin2x(x£R)的图象向右平移了个单位后得到函数g(x)=

sin2卜(一T句l\=一cos2x的图象，则函数g(x)的单调递增区间为卜兀，左兀+句JI，旧,而

满足条件的只有B.

45

10.(2012•西安名校三检)已知tan£=§，sin(〃+£)=行，且£w(0,兀)，

则sin。的值为()

6313

A.—B.—

6565

3363-33

c.—D—成—

656565

435

解析：选A依题意得sin£=『cos£=E；注意到sin（。+£）=7^<sin£,因

5513

JIJIji

此有。+£>了（否则，若a+£W万，则有0<£<a+£W5，0<sin£<sin（a+£）,

这与“sin（。+£）<sin£"矛盾），cos（。+£）=—而，sin。=sin[（。+£）—£]=

sin(〃+£)cos£—cos(。+£)sin£=77.

65

11.(2012•河南三市调研)在△/阿中，三个内角4B,。所对的边分别为a,b,c,

且方二才一四+占C—A=90°,则cosAcosC=()

10

A4

4-

解析：选c依题意得才+d—N=ac,cosB=2+尸组卢一.又0。〈水180°,

2ac2ac2

所以方=60°,什/=120°,又C—4=90°,

所以C=90°+A,A=15°,cosAcosC=cosAcos(90°+Z)=—gsin22=-gsin30。

_1

=一1

a•B

12.(2012•广东高考)对任意两个非零的平面向量。和£,定义a。8;下一程.若

两个非零的平面向量a,b满足a与Z?的夹角ef—,5),且a。6和加H都在集合，

中，则a°b—（

53

AB

2-2-

1

c-

D.2

的矫'itnAa'bal\b/cosea|cos9

解析：选Da。b=T7r一同一=旧，①

b,a|b\|a|cos夕|b\cos0

b°a=-i\2=ii.

a,a|a\\a\

①义②得（a。6）（6。a）=cos20-j.

因为a。6和6。a都在集合中,设a。Z?=y,

b°a=~{m,T?2Z),即(a。6)•(b。a)=cos20所以所以m,m

的值均为1,故a。

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13.回的三个内角尔氏。所对边的长分别为a、b、c,已知a=2"=3,则一日白

L-

sinA_sinJ_a_2

解析:N+C=sin-=%=亍

答案：g

14.(2012•安徽高考)设向量(1,2而，b=(zzz+l,1),c=(2,4.若(a+c)，6,

则®=

解析：a+c=(1,2ni)+(2,ni)=(3,3ni).

*.*(a+c)J_6,

「・(a+c)•b—(3,3/77)•(s+1,1)=6勿+3=0.

1

2-

.\a=（1,-1）.\a\=AJ2.

答案：A/2

15.如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位所在直线

与旗杆所在直线脉共面，在该列的第一个座位A和最后一个座位6测得旗杆顶端”的仰

角分别为60°和30°,且座位/、6的距离为米，则旗杆的高度为米.

解析：由题可知/掰”=105°,/BNA=30°,由正弦定理得."%。=J"/。，解

sin45sin30

得4仁20斓（米），在Rt△/仞V中，加-2gsin60°=30（米）.故旗杆的高度为30米.

答案：30

16.已知函数f（x）=2sin{1+j—/cos2才一1,xGR,若函数力（x）=f（x+。）的图

象关于点卜李0）对称，且。£（0,兀），则。的值为.

解析：:F（x）=2sin2，^+1—/cos2x—l=2sin（2x彳，・••力（x）=F（x+。）=

2sin（2x+2a-

，兀、2JI五

函数尔X）的图象的对称中心为I―彳，o）...---厂+2a——=kTt.：.a=

\oJJo

4+,JI

---------,kGz.又aG（o,Ji）,a=—

JI

答案：万

三、解答题（本题共6小题，共70分）

17.（本小题满分10分）（2012•广州二测）已知函数f（x）=/sin（ox—*|，a〉0,。>0）

在某一个周期内的图象的最高点和最低点的坐标分别为［*，2）,（工工，一2）.

（1）求/和。的值；

（2）已知万）且sin。=（，求/'（。）的值.

解：（1）'.•函数f（x）在某一周期内的图象的最高坐标为七，2）,

<11Ji5兀）

.../=2,得函数f（x）的周期7=2（下-一空）=兀,

2兀

=2.

(2)由(1)知_f(x)=2sin(2x—1

a仁(0,-L且sin4

3

Acosa—sin2

247

sin2a=2sinacosa=—,cos2a=cos2a—sin2a=——

JI.兀、

:.f(a)=2sin(2a-^J=2sin24cos—cos2asin-I

=2但xJ二x组=24+74

\25X2+25X2)25-

18.(本小题满分12分)(2012•天津高考)已知函数F(x)=sin(2x+S+sin(2x—~—

+2COS2JT_1,x£R.

(1)求函数F(x)的最小正周期；

JIJI

(2)求函数Hx)在区间［―彳，了」上的最大值和最小值.

解：(l)f(x)=sin2x•cos-+cos2x•sin-+sin2x•cos——cos2x•sin-+

OJJo

2x+cos2^=A/2Sin