人教版数学八年级上册 13.3.1三角形的内角（第2课时 直角三角形的性质和判定） 学案 含答案

13.3.1三角形的内角（第2课时直角三角形的性质和判定）【学习目标】1.理解并掌握“直角三角形两锐角互余”的性质及其几何符号语言。

2.掌握直角三角形的判定定理：“有两个角互余的三角形是直角三角形”。

3.能运用上述性质和判定进行简单的角度计算和推理论证。【学习重点】1.直角三角形两锐角互余的性质及其应用；

2.有两个角互余的三角形是直角三角形的判定及应用。【学习难点】1.含高线的复杂图形中角度关系的转化与分析；

2.分类讨论思想在求角度时的规范应用【自主预习】阅读教材，完成以下问题：1.直角三角形的性质直角三角形的两个锐角_______几何语言：∵_______________________________，

∴_______________________________。2.直角三角形的判定有两个角互余的三角形是__________几何语言：∵______________________∴_______________________【课堂探究】导入新课①一个三角形，三个内角度数比是2:5:3，则这个三角形的三个内角是__________________

②在△ABC中，∠A=4∠B，∠C比∠A大18°，则这个三角形的三个内角是_________________。新知探究1.引导学生观察计算结果回答问题问1.这两个三角形是什么三角形？问2.这两个直角三角形的两个锐角又怎样的数量关系？问3.任何直角三角形的两个锐角都互余吗？你能证明上面的结论吗？2.如图，在Rt△ABC中，∠C新知应用1.在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是________2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，3.如图AB、CD相交于点O，AC⊥CD于点C，若∠BOD=38°4.如图，一张直角三角形纸片，剪去直角后得到一个四边形，则∠1+∠2的度数为_______.5.如图，AB//CD，EF与AB，CD分别相交于点E，F，EP⊥EF，与∠EFD的平分线FP相交于点P6.如图,在Rt△ABC中，∠BAC=90°,AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC边于点E新知再探1.逆向设问：我们知道，如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余．反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？试说明理由.2.如图，在△ABC中，∠A+∠针对训练1．已知在△ABC中，∠A＝45°＋α，A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形2.下列条件：①∠A＋∠B＝∠C；②∠A:∠A．1个B．2个C．3个D．4个3.如图，CE⊥AD，垂足为E，∠A典例分析例1.已知点D是△ABC的边BC的延长线上一点，DF⊥AB于点F，交AC于点E，∠A＝35°，∠D例2．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，分别交CD，AC于点（1）若∠CEF=62°，求（2）证明：∠CFE变式训练1.在△ABC中，AD为边BC上的高，∠ABC＝30°，∠2.问题情景：如图1，将一块直角三角板PMN放置在△ABC上(点P在△ABC内部)，使三角板PMN的两条直角边PM，PN恰好分别经过点B和点C.试问∠ABP(1)特殊探究：若∠A＝

50°，则又∵∠PBC∴∠ABP(2)类比探究：请探究∠ABP＋∠ACP(3)类比延伸：如图2，改变直角三角板PMN的位置，使点P在△ABC外部，直角三角板PMN的两条直角边PM，PN仍然分别经过点B和点C，求∠ABP，∠ACP，【课堂总结】【课堂练习】1.如图，把一块含有60°角的直角三角板的两个顶点放在长方形的对边上．如果∠1＝12°，那么∠2的度数是_____2.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将三角形纸片ABC沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝25°3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高．若∠B4.如图，把一张Rt△ABC纸片沿DE折叠，若∠1=70°，∠C5.将一副直角三角板如图放置，已知∠E＝60°，∠C＝45°，6.如图，AB//DE，ED垂直于BD，垂足是D，且∠BAC7.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，BF⊥AC于点F，若∠C【课后反思】本节课学习中，你有哪些收获，还有哪些问题？

13.3.1三角形的内角（第2课时直角三角形的性质和判定）【学习目标】1.理解并掌握“直角三角形两锐角互余”的性质及其几何符号语言。

2.掌握直角三角形的判定定理：“有两个角互余的三角形是直角三角形”。

3.能运用上述性质和判定进行简单的角度计算和推理论证。【学习重点】1.直角三角形两锐角互余的性质及其应用；

2.有两个角互余的三角形是直角三角形的判定及应用。【学习难点】1.含高线的复杂图形中角度关系的转化与分析；

2.分类讨论思想在求角度时的规范应用【自主预习】阅读教材，完成以下问题：1.直角三角形的性质直角三角形的两个锐角互余几何语言：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，

∴∠A+∠B=90°（直角三角形两锐角互余）。2.直角三角形的判定有两个角互余的三角形是直角三角形

几何语言：∵在△ABC中，∠∴△ABC【课堂探究】导入新课①一个三角形，三个内角度数比是2:5:3，则这个三角形的三个内角是_36°、_54°_、___90°_____

②在△ABC中，∠A=4∠B，∠C比∠A大18°，则这个三角形的三个内角是__72°、_18°_、___90°_____新知探究1.引导学生观察计算结果回答问题问1.这两个三角形是什么三角形？直角三角形问2.这两个直角三角形的两个锐角又怎样的数量关系？这两个直角三角形的两锐角互余问3.任何直角三角形的两个锐角都互余吗？直角三角形两锐角互余你能证明上面的结论吗？2.引导学生结合PPT图示，在Rt△ABC中（∠C=90°），利用“三角形内角和等于180°”写出严格的证明过程。如图，在Rt△ABC中，∠C证明：在Rt△∵∠A

+∠B∴∠A

+∠B=90°.

新知应用1.在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是__30°______2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝3∠B，则∠3.如图AB、CD相交于点O，AC⊥CD于点C，若∠BOD=38°，则∠A=__4.如图，一张直角三角形纸片，剪去直角后得到一个四边形，则∠1+∠2的度数为___270°____.5.如图，AB//CD，EF与AB，CD分别相交于点E，F，EP⊥EF，与∠EFD的平分线FP相交于点P，且∠BEP＝50°6.如图,在Rt△ABC中，∠BAC=90°,AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC边于点E.若∠ABE新知再探1.逆向设问：我们知道，如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余．反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？试说明理由.结论：有两个角互余的三角形是直角三角形

2.指导学生画出一般△ABC，假设∠A+∠B=90°，推导∠C的度数并完成证明。如图，在△ABC中，∠A+∠B证明：在△ABC∵∠A

+∠B+∠∴∠C=90°，即3.师生共同归纳直角三角形的判定定理，强调其与性质的互逆关系。直角三角形的判定有两个角互余的三角形是直角三角形．几何语言：∵在△ABC中，∠∴△ABC针对训练1．已知在△ABC中，∠A＝45°＋α，∠B＝45°－αA．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形2.下列条件：①∠A＋∠B＝∠C；②∠A:∠B:∠C＝1:2:3；③A．1个B．2个C．3个D．4个3.如图，CE⊥AD，垂足为E，∠A解：△ABD∵CE⊥∴∠CED∴∠C∵∠A∴∠A∴△ABD典例分析例1.已知点D是△ABC的边BC的延长线上一点，DF⊥AB于点F，交AC于点E，∠A＝35°，∠D解：∵DF⊥AB在△AEF与△∵∠A∠D∠AEF∴∠A∴∠例2．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，分别交CD，AC于点（1）若∠CEF=62°，求（2）证明：∠CFE解（1）：∵∠CEF=62°，∴∠CBE∵BE平分∠ABC∴∠ABC∴∠A证明（2）：如图：∵∠ACB∴∠CEF∵CD⊥AB，∴又∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠∵∠DFB∴∠CFE=∠变式训练1.在△ABC中，AD为边BC上的高，∠ABC＝30°，∠解：如图1，当△ABC∵AD为边BC上的高，∴∠ADC∴∠C∴∠BAC如图2，当△ABC∵AD为边BC上的高，∴∠ADB∴∠BAD∴∠BAC综上，∠BAC的度数是40°或80°2.问题情景：如图1，将一块直角三角板PMN放置在△ABC上(点P在△ABC内部)，使三角板PMN的两条直角边PM，PN恰好分别经过点B和点C.试问∠ABP(1)特殊探究：若∠A＝

50°，则∠ABC＋∠ACB＝又∵∠PBC＋∠PCB＝__∴∠ABP＋∠ACP＝_(2)类比探究：请探究∠ABP＋∠ACP解：(2)∠ABP理由：∵在△ABC中，∠A∴∠在△PBC中，∠∴∠∴∠∴∠(3)类比延伸：如图2，改变直角三角板PMN的位置，使点P在△ABC外部，直角三角板PMN的两条直角边PM，PN仍然分别经过点B和点C，求∠ABP，∠ACP，解：结论：∠ACP理由是：设AB交PC于O，如图2:∵∠AOC∴∠ACO即∠ACP∴∠ACP【课堂总结】【课堂练习】1.如图，把一块含有60°角的直角三角板的两个顶点放在长方形的对边上．如果∠1＝12°，那么∠2的度数是__18°___2.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将三角形纸片ABC沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝25°，则∠EDC＝3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高．若∠B−∠A＝10°4.如图，把一张Rt△ABC纸片沿DE折叠，若∠1=70°，∠C=90°，则∠2的度数为_5.将一副直角