高二数学考点讲解练(人教A版2019选择性必修第一册)3.1.2椭圆的简单几何性质(原卷版+解析)

3.1.2椭圆的简单几何性质备注：资料包含：1.基础知识归纳；考点分析及解题方法归纳：考点包含：求椭圆焦点,焦距；求共焦点的椭圆方程；椭圆中x,y的取值范围；椭圆的对称性；求椭圆的短轴，长袖；求椭圆的离心率；椭圆的实际应用

课堂知识小结考点巩固提升知识归纳椭圆的简单几何性质椭圆：的简单几何性质（1）对称性：对于椭圆标准方程：说明：把换成、或把换成、或把、同时换成、、原方程都不变，所以椭圆是以轴、轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。（2）范围：椭圆上所有的点都位于直线和所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足，。（3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。②椭圆与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为，，，③线段，分别叫做椭圆的长轴和短轴，,。和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。（4）离心率：①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用表示，记作。②因为，所以的取值范围是。越接近1，则就越接近，从而越小，因此椭圆越扁；反之，越接近于0，就越接近0，从而越接近于，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当时，，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为。注意：椭圆的图像中线段的几何特征（如下图）：（1）；；；（2）；；；（3）；；；焦点的位置焦点在轴上焦点在轴上图形标准方程范围且且顶点、、、、轴长短轴的长

长轴的长焦点、、焦距对称性关于轴、轴、原点对称离心率e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁通径过椭圆的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径：2b2/a考点讲解考点讲解考点1：求椭圆焦点,焦距例1．已知分别是椭圆的左、右焦点，点是圆上的一个动点，则的取值范围是_________.【方法技巧】求出椭圆焦点坐标，用三角换元法表示点坐标，计算距离的积，利用三角函数性质得取值范围．【变式训练】【变式1】．椭圆的焦点坐标是______．【变式2】．椭圆的焦点为､，点P在椭圆上，若线段的中点在y轴上，则是的___________倍.【变式3】．已知椭圆：的右焦点为，右准线为，点在椭圆C的第一象限上，交于点E，直线交轴于点，且，则______．考点2：求共焦点的椭圆方程例2．与椭圆有相同焦点，且过点的椭圆的方程是（

）A． B． C． D．【方法技巧】根据共焦点，设出椭圆方程，代入点的坐标，求出.【变式训练】【变式1】．若椭圆与椭圆焦点相同，则实数___________.【变式2】．求与椭圆的焦点相同，且经过点的椭圆的标准方程.考点3：椭圆中x,y的取值范围例3．已知点A，B是椭圆上不关于长轴对称的两点，且A，B两点到点的距离相等，求实数m的取值范围．【方法技巧】利用两点间距离公式及椭圆方程可得，再利用椭圆的有界性即求.【变式训练】【变式1】．点F是椭圆的一个焦点，PQ是过椭圆中心O的一条弦，则△PQF的面积的最大值是（其中）（

）A． B．ab C．ac D．bc【变式2】．已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最小值为___________.【变式3】．已知椭圆C：（）的右焦点，点是椭圆C上的一个动点．求证：．考点4：椭圆的对称性例4．椭圆：的左焦点为，椭圆上的点与关于坐标原点对称，则的值是（

）A．3 B．4 C．6 D．8【方法技巧】令椭圆C的右焦点，由已知条件可得四边形为平行四边形，再利用椭圆定义计算作答.【变式训练】【变式1】．已知椭圆的两个焦点分别为，且平行于轴的直线与椭圆交于两点，那么的值为（

）A． B． C． D．【变式2】．已知椭圆的左､右焦点分别为，，为椭圆上一点，则满足为直角三角形的点有（

）A．2个 B．4个 C．6个 D．8个考点5：求椭圆的短轴，长袖例5．已知椭圆的离心率为，则椭圆E的长轴长为（

）．A． B． C． D．【方法技巧】根据离心率的定义列方程求，根据长轴长的定义求椭圆E的长轴长.【变式训练】【变式1】．用周长为36的矩形ABCD截某圆锥得到椭圆，且椭圆与矩形ABCD的四边相切，则椭圆的标准方程可能为（

）A． B．C． D．【变式2】．焦点在轴上，长轴长为10，离心率为的椭圆的标准方程为（

）A． B．C． D．考点6：求椭圆的离心率例6．1.如果椭圆的离心率为，则（

）A． B．或 C． D．或2．已知椭圆（）与双曲线（，）有公共焦点，，且两条曲线在第一象限的交点为P．若是以为底边的等腰三角形，曲线，的离心率分别为和，则（

）A．1 B．2 C．3 D．43．椭圆（）的左、右焦点分别是，，斜率为1的直线l过左焦点，交C于A，B两点，且的内切圆的面积是，若椭圆C的离心率的取值范围为，则线段AB的长度的取值范围是（

）A． B． C． D．【方法技巧】1.分焦点在x轴和在y轴两种情况，分别得到a,b的表达式，进而求得c的表达式，然后根据离心率得到关于k的方程，求解即可．2.设曲线，的焦距为2c，则可得，然后结合椭圆和双曲线的定义可求出的关系，变形后可得结果.【变式训练】【变式1】．已知椭圆（），椭圆的左、右焦点分别为，，P是椭圆C上的任意一点，且满足，则椭圆C的离心率e的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式2】．（多选）已知为椭圆的焦点，，分别为椭圆的两个顶点（且不是离最近的那个顶点），若，，则椭圆的离心率可以为（

）A． B． C． D．【变式3】．设是椭圆：上任意一点，为的右焦点，的最小值为，则椭圆的离心率为_________．考点7：点与椭圆的位置关系例7．点在椭圆的外部，则a的取值范围是（

）A． B．C． D．【方法技巧】根据点在椭圆外部得不等式，解不等式得结果.【变式训练】【变式1】．若点在椭圆的内部，则实数的取值范围是______．【变式2】．已知点(3，2)在椭圆上，则点(-3，3)与椭圆的位置关系是__________.考点8：椭圆的实际应用例8．人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，设地球半径为，卫星近地点、远地点离地面的距离分别是，则卫星轨道的离心率为___________.【方法技巧】根据题意画出图形，结合椭圆的定义，求出椭圆的长半轴和半焦距，进而确定椭圆的离心率，得到答案.【变式训练】【变式1】．中国的嫦娥四号探测器，简称“四号星”，是世界上首个在月球背面软着陆和巡视探测的航天器.如图所示，现假设“四号星”沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用和分别表示椭圆轨道I和Ⅱ的长轴长，则下列式子正确的是（

）A． B．C． D．【变式2】．年月日，嫦娥四号探测器在月球背面预选着陆区成功软着陆，并通过鹊桥中继卫星传回了世界第一张近距离拍摄的月背影像图，揭开了古老月背的神秘面纱．如图所示，地球和月球都绕地月系质心做圆周运动，，，设地球质量为，月球质量为，地月距离为，万有引力常数为，月球绕做圆周运动的角速度为，且，则（

）A． B．C． D．知识小结知识小结焦点的位置焦点在轴上焦点在轴上图形标准方程范围且且顶点、、、、轴长短轴的长

长轴的长焦点、、焦距对称性关于轴、轴、原点对称离心率e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁通径过椭圆的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径：2b2/a巩固提升巩固提升一、单选题1．已知椭圆的焦距为2，离心率，则椭圆的标准方程为（

）A． B． C． D．2．椭圆的焦点坐标是（

）A． B． C． D．3．已知分别为椭圆的左，右焦点，为上顶点，则的面积为（

）A． B． C． D．4．嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里，已知月球的直径约为3476公里，对该椭圆有四个结论：①焦距长约为300公里；②长轴长约为3988公里；③两焦点坐标约为；④离心率约为．则上述结论正确的是（

）A．①②④ B．①③ C．①③④ D．②③④5．若为椭圆上的一点，，分别是椭圆的左、右焦点，则的最大值为（

）A． B． C． D．6．已知点A，B分别是椭圆的右、上顶点，过椭圆C上一点P向x轴作垂线，垂足恰好为左焦点，且，则椭圆C的离心率为（

）A． B． C． D．7．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过且斜率为1的直线交椭圆于A、两点，则等于（

）A． B． C． D．8．已知椭圆C：的离心率为，直线l：交椭圆C于A，B两点，点D在椭圆C上（与点A，B不重合）．若直线AD，BD的斜率分别为，，则的最小值为（

）A． B．2 C． D．二、多选题9．设椭圆的左､右焦点分别为，，左､右顶点分别为，，点是椭圆上的动点，则下列结论正确的是（

）A．离心率B．△面积的最大值为1C．以线段为直径的圆与直线相切D．为定值10．设P是椭圆上的动点，则（

）A．点P到该椭圆的两个焦点的距离之和为B．点P到该椭圆的两个焦点的距离之和为C．点P到左焦点距离的最大值为D．点P到左焦点距离的最大值为三、填空题11．写出一个焦点在x轴上，且离心率为的椭圆的标准方程：___________.12．已知点P是椭圆上的一点，，是椭圆的两个焦点，则当为钝角时，点P的横坐标可以为______．13．若椭圆上存在点P，使得点P到椭圆的两个焦点的距离之比为2：1，则称该椭圆为“倍径椭圆”写出一个长轴长为6的“倍径椭圆”的标准方程为_____．14．已知椭圆：，为椭圆上的一个动点，以为圆心，为半径作圆，为圆的两条切线，为切点，则的取值范围是_________．四、解答题15．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)长轴在x轴上，长轴的长为12，离心率为；(2)经过点和.16．椭圆C：左右焦点为，，离心率为，点在椭圆C上．(1)求椭圆C的标准方程；(2)经过点，倾斜角为直线l与椭圆交于B，C两点，求．3.1.2椭圆的简单几何性质备注：资料包含：1.基础知识归纳；考点分析及解题方法归纳：考点包含：求椭圆焦点,焦距；求共焦点的椭圆方程；椭圆中x,y的取值范围；椭圆的对称性；求椭圆的短轴，长袖；求椭圆的离心率；椭圆的实际应用

课堂知识小结考点巩固提升知识归纳椭圆的简单几何性质椭圆：的简单几何性质（1）对称性：对于椭圆标准方程：说明：把换成、或把换成、或把、同时换成、、原方程都不变，所以椭圆是以轴、轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。（2）范围：椭圆上所有的点都位于直线和所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足，。（3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。②椭圆与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为，，，③线段，分别叫做椭圆的长轴和短轴，,。和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。（4）离心率：①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用表示，记作。②因为，所以的取值范围是。越接近1，则就越接近，从而越小，因此椭圆越扁；反之，越接近于0，就越接近0，从而越接近于，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当时，，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为。注意：椭圆的图像中线段的几何特征（如下图）：（1）；；；（2）；；；（3）；；；焦点的位置焦点在轴上焦点在轴上图形标准方程范围且且顶点、、、、轴长短轴的长

长轴的长焦点、、焦距对称性关于轴、轴、原点对称离心率e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁通径过椭圆的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径：2b2/a考点讲解考点讲解考点1：求椭圆焦点,焦距例1．已知分别是椭圆的左、右焦点，点是圆上的一个动点，则的取值范围是_________.【答案】[3，5]【详解】椭圆方程椭圆的焦点由在圆上，设，•的取值范围[3，5].故答案为：[3,5].【方法技巧】求出椭圆焦点坐标，用三角换元法表示点坐标，计算距离的积，利用三角函数性质得取值范围．【变式训练】【变式1】．椭圆的焦点坐标是______．【答案】，【分析】分与两种情况进行求解.【详解】当时，焦点坐标在轴上，则，所以，故焦点坐标为；当时，焦点坐标在轴上，则，所以，故焦点坐标为故答案为：，【变式2】．椭圆的焦点为､，点P在椭圆上，若线段的中点在y轴上，则是的___________倍.【答案】【详解】解：由椭圆，得，因为线段的中点在y轴上，则可设，代入椭圆方程得，解得，则，所以，即是的倍.故答案为：.【变式3】．已知椭圆：的右焦点为，右准线为，点在椭圆C的第一象限上，交于点E，直线交轴于点，且，则______．【答案】解；方法二用椭圆第二定义进行求解.【详解】由题意可知：，的方程为，设直线与轴交点为，，因为，，所以与相似，，，所以，即，即，代入椭圆的方程可得，因为点在椭圆的第一象限上，点的坐标为．方法一：．方法二：，由椭圆的第二定义可知，，所以．故答案为：考点2：求共焦点的椭圆方程例2．与椭圆有相同焦点，且过点的椭圆的方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】椭圆方程化为标准形式，设要求解的椭圆方程为：，将点代入得，解得：，所以，C正确.故选：C【方法技巧】根据共焦点，设出椭圆方程，代入点的坐标，求出.【变式训练】【变式1】．若椭圆与椭圆焦点相同，则实数___________.【答案】【分析】由椭圆方程可得，由此可构造方程求得.【详解】由得：，则且焦点在轴上由得：，与共焦点，；，解得：.故答案为：.【变式2】．求与椭圆的焦点相同，且经过点的椭圆的标准方程.【答案】.【分析】由题设可得且焦点为，设椭圆为且，根据点在椭圆上求参数，即可得椭圆标准方程.【详解】由题设，椭圆焦点为则，令椭圆的标准方程为且，又在椭圆上，则，整理得，解得或(舍).所以椭圆的标准方程为.考点3：椭圆中x,y的取值范围例3．已知点A，B是椭圆上不关于长轴对称的两点，且A，B两点到点的距离相等，求实数m的取值范围．【详解】由题可设，且，由，可得，∴又，∴，∴，由，可得，即，∴实数m的取值范围为.【方法技巧】利用两点间距离公式及椭圆方程可得，再利用椭圆的有界性即求.【变式训练】【变式1】．点F是椭圆的一个焦点，PQ是过椭圆中心O的一条弦，则△PQF的面积的最大值是（其中）（

）A． B．ab C．ac D．bc【答案】D【分析】利用椭圆的对称性及范围即得.【详解】由椭圆的对称性可知P、Q关于原点对称，所以，故当时，△PQF的面积最大，最大值为.故选：D.【变式2】．已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最小值为___________.【答案】##【分析】将求最小值的问题，转化为求点到圆心距离最小值的问题，结合点满足椭圆方程，转化为二次函数求最值即可.【详解】不妨设点为，，则，则设圆的圆心为，则坐标为则的最小值，即为的最小值与圆的半径之差.又当时，，当且仅当时取得等号；故.故答案为：.【变式3】．已知椭圆C：（）的右焦点，点是椭圆C上的一个动点．求证：．【答案】详见解析.【分析】利用椭圆方程及两点间公式可得，再根据椭圆的有界性即证.【详解】由，可得，又，∴，即.考点4：椭圆的对称性例4．椭圆：的左焦点为，椭圆上的点与关于坐标原点对称，则的值是（

）A．3 B．4 C．6 D．8【答案】D【详解】令椭圆C的右焦点，依题意，线段与互相平分，于是得四边形为平行四边形，因此，而椭圆：的长半轴长，所以.故选：D【方法技巧】令椭圆C的右焦点，由已知条件可得四边形为平行四边形，再利用椭圆定义计算作答.【变式训练】【变式1】．已知椭圆的两个焦点分别为，且平行于轴的直线与椭圆交于两点，那么的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据椭圆的方程求出，再由椭圆的对称性及定义求解即可.【详解】由椭圆的对称性可知，,所以，又椭圆方程为，所以，解得，所以，故选：A【变式2】．已知椭圆的左､右焦点分别为，，为椭圆上一点，则满足为直角三角形的点有（

）A．2个 B．4个 C．6个 D．8个【答案】B【分析】根据椭圆的对称性及的值，分类讨论，即可求解.【详解】当为直角顶点时，根据椭圆的对称性，可得满足的点有2个；当为直角顶点时，根据椭圆的对称性，可得满足的点有2个；设椭圆的上顶点为，由椭圆，可得，可得，则，，所以，故，所以不存在以为直角顶点的，故满足本题条件的点共有4个.故选：B.考点5：求椭圆的短轴，长袖例5．已知椭圆的离心率为，则椭圆E的长轴长为（

）．A． B． C． D．【答案】C【详解】因为椭圆的方程为，所以，，，又椭圆的离心率为所以，解得，所以,所以椭圆E的长轴长为．故选：C.【方法技巧】根据离心率的定义列方程求，根据长轴长的定义求椭圆E的长轴长.【变式训练】【变式1】．用周长为36的矩形ABCD截某圆锥得到椭圆，且椭圆与矩形ABCD的四边相切，则椭圆的标准方程可能为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据题意可知矩形ABCD是椭圆的外切矩形，故可得，结合选项即可求解.【详解】矩形ABCD的四边与椭圆相切，则矩形的周长为，则.对于A:，不符合，对于B:，不符合，对于C:，符合，对于D:，不符合，故选：C.【变式2】．焦点在轴上，长轴长为10，离心率为的椭圆的标准方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据长轴长算出后，由离心率可得的值，从而可得椭圆的标准方程.【详解】因为长轴长为，故长半轴长，因为，所以半焦距，故，又焦点在轴上，所以椭圆的标准方程为，故选：D考点6：求椭圆的离心率例6．1.如果椭圆的离心率为，则（

）A． B．或 C． D．或【答案】B【详解】解：因为椭圆的离心率为，当时，椭圆焦点在轴上，可得：，解得，当时，椭圆焦点在轴上，可得：，解得．或.故选：B．2．已知椭圆（）与双曲线（，）有公共焦点，，且两条曲线在第一象限的交点为P．若是以为底边的等腰三角形，曲线，的离心率分别为和，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【详解】设曲线，的焦距为2c．是以为底边的等腰三角形，则．由点P在第一象限，知，即，即，即．故选：B3．椭圆（）的左、右焦点分别是，，斜率为1的直线l过左焦点，交C于A，B两点，且的内切圆的面积是，若椭圆C的离心率的取值范围为，则线段AB的长度的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题可求得，，即可得出，再根据离心率范围即可求出【详解】解：设的内切圆的圆心为，半径为，则，解得，，又,，，，，则，即线段的长度的取值范围是，故选：C【方法技巧】1.分焦点在x轴和在y轴两种情况，分别得到a,b的表达式，进而求得c的表达式，然后根据离心率得到关于k的方程，求解即可．2.设曲线，的焦距为2c，则可得，然后结合椭圆和双曲线的定义可求出的关系，变形后可得结果.【变式训练】【变式1】．已知椭圆（），椭圆的左、右焦点分别为，，P是椭圆C上的任意一点，且满足，则椭圆C的离心率e的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设，则，由，得，根据表示椭圆上的点到原点的距离的平方，可得选项【详解】解：由已知得，，设，则，，因为，所以，即，即，因为点P是椭圆上的任意一点，所以表示椭圆上的点到原点的距离的平方，因为，所以，所以，即，所以，故选：B．【变式2】．（多选）已知为椭圆的焦点，，分别为椭圆的两个顶点（且不是离最近的那个顶点），若，，则椭圆的离心率可以为（

）A． B． C． D．【答案】AB【分析】假设椭圆的焦点在轴上，且点为椭圆的右焦点，分情况讨论与的位置，可得离心率.【详解】不妨设焦点在轴上且为右焦点，显然不会是右顶点，分类讨论：①若为左顶点，为右顶点，则，解得，此时离心率；②若为左顶点，为上（下）顶点，则，无解，不满足；③若为上（下）顶点，为左（右）顶点，则，无解，不满足；④若为上（下）顶点，下（上）顶点，则，解得，，，此时离心率为，故选：AB.【变式3】．设是椭圆：上任意一点，为的右焦点，的最小值为，则椭圆的离心率为_________．【答案】##【分析】利用已知条件推出，然后求解椭圆的离心率即可．【详解】解：是椭圆上任意一点，为的右焦点，的最小值为，可得，所以，即，所以，解得，所以．故答案为：．考点7：点与椭圆的位置关系例7．点在椭圆的外部，则a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】因为点在椭圆的外部，所以,解得,故选：B.【方法技巧】根据点在椭圆外部得不等式，解不等式得结果.【变式训练】【变式1】．若点在椭圆的内部，则实数的取值范围是______．【答案】【分析】由在椭圆的内部有，即可求参数m的范围.【详解】∵点在椭圆的内部，∴，整理得，解得．故答案为：【变式2】．已知点(3，2)在椭圆上，则点(-3，3)与椭圆的位置关系是__________.【答案】点在椭圆外【分析】由已知得=1，继而有，由此可得答案.【详解】解：因为点(3，2)在椭圆上，所以=1，又，所以，故点(-3，3)在椭圆外.故答案为：点在椭圆外.考点8：椭圆的实际应用例8．人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，设地球半径为，卫星近地点、远地点离地面的距离分别是，则卫星轨道的离心率为___________.【答案】【详解】如图所示，可得，即，又由，所以椭圆的离心率为，故答案为：.【方法技巧】根据题意画出图形，结合椭圆的定义，求出椭圆的长半轴和半焦距，进而确定椭圆的离心率，得到答案.【变式训练】【变式1】．中国的嫦娥四号探测器，简称“四号星”，是世界上首个在月球背面软着陆和巡视探测的航天器.如图所示，现假设“四号星”沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用和分别表示椭圆轨道I和Ⅱ的长轴长，则下列式子正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由椭圆的性质判断A；由结合不等式的性质判断BCD.【详解】，，即，因为，所以，即，故A错误；∵，∴，，，，∴，故B错误；由B可知，，，则，故C错误；由B可知，，则，故D正确；故选：D【变式2】．年月日，嫦娥四号探测器在月球背面预选着陆区成功软着陆，并通过鹊桥中继卫星传回了世界第一张近距离拍摄的月背影像图，揭开了古老月背的神秘面纱．如图所示，地球和月球都绕地月系质心做圆周运动，，，设地球质量为，月球质量为，地月距离为，万有引力常数为，月球绕做圆周运动的角速度为，且，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据题干中的等式结合可求得、、，可得出合适的选项.【详解】对于AB选项，，由可得，，所以，，所以，，A错B对；对于C选项，由可得，C错；对于D选项，由，可得，所以，得，D错.故选：B.知识小结知识小结焦点的位置焦点在轴上焦点在轴上图形标准方程范围且且顶点、、、、轴长短轴的长

长轴的长焦点、、焦距对称性关于轴、轴、原点对称离心率e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁通径过椭圆的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径：2b2/a巩固提升巩固提升一、单选题1．已知椭圆的焦距为2，离心率，则椭圆的标准方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知条件可得与的值，进而得的值，然后得标准方程.【详解】由于2c=2,所以c=1,又因为，故，，所以椭圆的标准方程为：.故选：C2．椭圆的焦点坐标是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出椭圆的c，再写出椭圆的焦点坐标得解.【详解】由题得，因为椭圆的焦点在x轴上，所以椭圆的焦点坐标为.故选：C.3．已知分别为椭圆的左，右焦点，为上顶点，则的面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据椭圆方程求出焦点坐标和点A的坐标，进而求出三角形的面积.【详解】由椭圆方程得..故选：D.4．嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里，已知月球的直径约为3476公里，对该椭圆有四个结论：①焦距长约为300公里；②长轴长约为3988公里；③两焦点坐标约为；④离心率约为．则上述结论正确的是（

）A．①②④ B．①③ C．①③④ D．②③④【答案】C【分析】根据已知条件求得椭圆对应的，由此确定正确选项.【详解】依题意，，①正确；，②错误；焦点坐标为，③正确；离心率，④正确.所以正确的为①③④.故选：C5．若为椭圆上的一点，，分别是椭圆的左、右焦点，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】易知当点为椭圆与轴的交点时取最大值，再根据椭圆方程求出、，最后根据勾股定理逆定理计算可得.【详解】解：易知当点为椭圆与轴的交点时，最大，因为椭圆方程为，所以、，此时，，所以，所以为等腰直角三角形，所以．故选：D6．已知点A，B分别是椭圆的右、上顶点，过椭圆C上一点P向x轴作垂线，垂足恰好为左焦点，且，则椭圆C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意可得，，，再根据列式求解即可【详解】由已知得：，，所以，由得：所以所以由得：所以

故选：C7．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过且斜率为1的直线交椭圆于A、两点，则等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用弦长公式求解即可.【详解】设直线AB方程为，联立椭圆方程整理可得：，设，则，，根据弦长公式有：=．故B，C，D错误.故选：A.8．已知椭圆C：的离心率为，直线l：交椭圆C于A，B两点，点D在椭圆C上（与点A，B不重合）．若直线AD，BD的斜率分别为，，则的最小值为（

）A． B．2 C． D．【答案】B【分析】不妨假设，，则可求，将B，D代入椭圆，然后两式进行相减可得，整理出，代入之后再结合基本不等式即可求出答案【详解】解：设，，则．∵点B，D都在椭圆C上，∴两式相减，得．∴，即．∴．当且仅当时取“=”．故选：B．二、多选题9．设椭圆的左､右焦点分别为，，左､右顶点分别为，，点是椭圆上的动点，则下列结论正确的是（

）A．离心率B．△面积的最大值为1C．以线段为直径的圆与直线相切D．为定值【答案】BD【分析】由，直接求椭圆离心率即可，将看成△的底，高的最大值即为，即可求出△面积的最大值，写出以线段为直径的圆方程，圆心到直线的距离即可判定直线和圆的位置关系，直接用斜率公式求解即可.【详解】对于选项,由已知得，，则，即，故错；对于选项,由已知得，要使△的面积最大，当底边上的高最大即可，高的最大值即为，则△的面积最大值为，故正确；对