2024河北数学中考备考重难专题：圆的综合题真实情境中的圆问题（课件）

河北

数学圆的综合题2024中考备考重难专题课件真实情境中的圆问题课件说明一、课件设计初衷

基于老师在总复习过程中对重难题型有较大的需求，以及纸质图书和板书展示二次函数图象与几何图形等重难点效果不佳而设计重难专题课件.在制作过程中结合课件能使题图动态化且分步骤展示的特性，有助于学生题图结合梳理题意，理解平面图形的变化过程.二、课件亮点1.依据区域考情，针对性选题

按照本地区考情及考法选题，针对性强，有效提高老师备课效率2.贴近学生实际解题情境，形式符合教学习惯

审题时对题目数字、符号、辅助线、动图等关键信息进行题图批注，帮助学生梳理关键信息，激发学生兴趣，调动积极性3.含解题思路引导与方法总结，提高课堂互动性

通过问题启发式解题思路点拨，激发学生数学思考与探索.方法总结使学生复习一类题，会一类题，取得有效的复习成果三、课件使用场景适用于中考专题复习或题位复习圆的综合题

真实情境中的圆问题

课堂练兵

课后小练1

典例精讲23考情分析年份题号题型分值情境考查内容设问形式202224解答题10水渠横断面(1)锐角三角函数（仰俯角）；(2)垂径定理、锐角三角函数(1)求角的大小及线段长；(2)图中画出线段，求最大水深典例精讲例

(2022河北定制卷)如图是一个水车的示意图，车身⊙O与水面分别交于点A，B，水车上均匀分布着若干水斗，P表示水车上的一个水斗，∠BPA＝45°，接水槽MN所在直线是⊙O的切线，且与直线AB交于点M，已知水车的直径是6

m，∠BAP＝60°.当点P恰好抵达出水点，即在MN所在直线上时，解答下列问题：(1)求证：∠MPB＝∠BAP；例题图无法直接找到两角关系作辅助线：连接OB∠BPO=90°－∠MPB∠MPO=90°∠BPO=(180°－∠POB)=90°－∠BAP2∠BAP=∠POB(1)证明：如解图①，连接OB，则OB＝OP，∠OBP＝∠OPB，∴∠OPB＝

(180°－∠POB)，∵∠POB＝2∠BAP，∴∠OPB＝90°－∠BAP，∵MP是⊙O的切线，∴∠MPO＝∠MPB＋∠OPB＝90°，即∠OPB＝90°－∠MPB，∴∠MPB＝∠BAP；解图①典例精讲例

(2022河北定制卷)如图是一个水车的示意图，车身⊙O与水面分别交于点A，B，水车上均匀分布着若干水斗，P表示水车上的一个水斗，∠BPA＝45°，接水槽MN所在直线是⊙O的切线，且与直线AB交于点M，已知水车的直径是6

m，∠BAP＝60°.当点P恰好抵达出水点，即在MN所在直线上时，解答下列问题：(1)求证：∠MPB＝∠BAP；例题图一题多解延长PO交圆O于点F，连接BFF同弧所对的圆周角相同，则∠BFP=∠BAPBF是直径∠BFP+∠BPF=90°已知∠MPB+∠BPF=90°可证得∠MPB=∠BFP=∠BAP条件顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角求证∠MPB＝∠BAP辅助线一连接BO

同弧所对的圆周角相等辅助线二延长半径PO交圆O于点F，连接BFF例

(2022河北定制卷)如图是一个水车的示意图，车身⊙O与水面分别交于点A，B，水车上均匀分布着若干水斗，P表示水车上的一个水斗，∠BPA＝45°，接水槽MN所在直线是⊙O的切线，且与直线AB交于点M，已知水车的直径是6

m，∠BAP＝60°.当点P恰好抵达出水点，即在MN所在直线上时，解答下列问题：(2)求点P从出水点到水车最低点所经过的路程；练习题图最低点在哪？过圆心O作弦AB的垂线交圆O于点E，交BA于点D，点E是水车最低点ED水车转动时，P点的路径？顺着⊙O逆时针旋转？代入弧长公式：r已知求n?(2)解：如解图②，连接OA，OB，过圆心O作弦AB的垂线，垂足为D，交⊙O于点E，∵∠BAP＝60°，∴∠POB＝120°，∵∠BPA＝45°，∴∠BOA＝90°，∵OA＝OB，∴△OAB是等腰直角三角形，∴∠BOE＝45°，∴∠POE＝165°，∴劣弧

的长度为

，∴点P从出水点到水车最低点所经过的路程为

π；ED解图②例

(2022河北定制卷)如图是一个水车的示意图，车身⊙O与水面分别交于点A，B，水车上均匀分布着若干水斗，P表示水车上的一个水斗，∠BPA＝45°，接水槽MN所在直线是⊙O的切线，且与直线AB交于点M，已知水车的直径是6

m，∠BAP＝60°.当点P恰好抵达出水点，即在MN所在直线上时，解答下列问题：(3)若水车位于水面以下部分的深度需等于水车直径的

才能使水车的出水量达到最大，问：该水车需要再降低多少高度．(结果保留两位小数，

取1.414)原来的高度－降低后的高度练习题图ED降低后图中DE长在Rt△OBD中，求出OD的长半径－降低后图中DE长(3)解：要使水车位于水面以下部分的深度等于水车直径的

，即解图②中DE＝

，则需使OD＝3－

＝

.由(2)知，△OAB是等腰直角三角形，∴AB＝

OB＝3，∴在Rt△OBD中，OD＝BD＝

，∴需要降低的高度h＝

≈0.32(m).ED解图②方法总结真实情境中的圆问题辅助线作法：如果有切线，连圆心和切点，构造垂直，看是否能将所给条件转化到一个三角形中；若不能，则考虑延长切点与圆心的连线，构造直径解决。解题方法：1.证明角间数量关系切线的性质（有切线），圆周角定理，两半径构成等腰三角形，两角互余的性质进行倒角.解题方法：2.求线段长①勾股定理/锐角三角函数:

条件：所给条件在或者转化到同一个直角三角形（也可作垂线构造）中，若已知角的度数，则考虑用锐角三角函数解题；

辅助线作法：若圆中不存在直角三角形，通常通过作直径（圆周角定理推论）、作垂线、垂径定理构造直角三角形②三角形相似、全等：

条件：所给条件位于两个三角形中，且能得到2组角对应相等，若有1组边相等，则考虑全等三角形解题，否则，用相似三角形解题.课堂练兵练习

在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“杠杆”，推动“杠杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎．如图，AB为⊙O的直径，AC是⊙O的一条弦，D为

的中点，作DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F，连接DA．练习题图(1)若AB＝90

cm，则圆心O到“杠杆EF”的距离是多少？说明你的理由；连接OD，即证明OD⊥EF？D为的中点∠ODA=∠OAD=∠DAE，∠DAE+∠EDA=90°∠EDA+∠ODA=90°EF是⊙O的切线解：(1)连接OD，∵D为

的中点，∴∠CAD＝∠BAD，∵OA＝OD，∴∠BAD＝∠ADO，∴∠CAD＝∠ADO，∵DE⊥AC，∴∠E＝90°，∴∠CAD+∠EDA＝90°，即∠ADO+∠EDA＝90°，∴OD⊥EF，∴EF是⊙O切线，∴OD的长是圆心O到“杠杆EF”的距离，∵AB＝90cm，∴OD＝OA＝45cm；练习题解图课堂练兵练习

在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“杠杆”，推动“杠杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎．如图，AB为⊙O的直径，AC是⊙O的一条弦，D为

的中点，作DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F，连接DA．练习题图(1)若AB＝90

cm，则圆心O到“杠杆EF”的距离是多少？说明你的理由；连接OD，即证明OD⊥EF？∠ODA=∠OAD=∠DAEDO∥EAOD⊥EF一题多解EF是⊙O的切线练习

在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“杠杆”，推动“杠杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎．如图，AB为⊙O的直径，AC是⊙O的一条弦，D为

的中点，作DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F，连接DA．(2)若DA=DF=，求阴影部分的面积．(结果保留π)练习题图观察图形S阴影=S扇形BOD+S△OAD半径已知，求∠BOD度数方法一：以AO为底方法二：以AD为底练习题解图(2)∵DA＝DF，∴∠F＝∠BAD，由(1)得：∠CAD＝∠BAD，∴∠F＝∠BAD＝∠CAD，∵∠F+∠BAD+∠CAD＝90°，∴∠F＝∠BAD＝∠CAD＝30°，∴∠BOD＝2∠BAD＝60°，OF＝2OD，∵DF＝

，∴（2OD）2﹣OD2＝（

）2，解得：OD＝6，∴S阴影＝S扇形BOD+S△AOD＝

．

答题步骤求扇形BOD角度求半径求△OAD高求阴影部分面积课后小练练习1某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径，如图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．(1)请你作出圆形截面图的圆心；（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）练习1题图解法提示：找圆内接三角形的外心在弧上任选一点，以AB为边作三角形，作另外两边垂直平分线，交点即为圆心解：(1)如图所示；练习1题解图练习1某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径，如图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．(2)若这个输水管道有水部分的水面宽AB＝32cm，水最深处的地方高度为8cm，求这个圆形截面的半径．(2)由(1)中可知点D，则D为AB的中点，∵AB＝32cm，∴AD＝

AB＝16

cm．设这个圆形截面的半径为x

cm，又∵CD＝8cm，∴OD＝x﹣8，在Rt△OAD中，∵OD2+AD2＝OA2，即（x﹣8）2+162＝x2，解得，x＝20．∴圆形截面的半径为20cm．练习1题解图(1)为实现连续完整的圆周运动，求滑块A所在滑道MN的最短长度；练习2题图练习2(2022河北黑白卷)如图是蒸汽车轮机械装置模型，嘉淇在学习了其工作原理后，画出如图2的简单机械模型图示，滑块A在滑道MN上可左右滑动，且滑动过程中连杆AB和曲柄OB随之运动．已知AB＝10dm，OB＝4dm，且点B的运动轨迹是以点O为圆心、OB长为半径的圆，滑道MN所在直线与⊙O相切，过点N作NP⊥MN，NP恰好与⊙O相切于点P，连接OA.(参考数据：sin68°≈，cos68°≈，tan68°≈)解：(1)如解图①，当点A与点M重合，且O，B，M三点共线，此时可实现连续完整的圆周运动，滑道MN的长度最短．过点O作OD⊥直线MN于点D，连接OP，∵直线MN与⊙O相切，∴OD＝OB＝4dm.∵NP与⊙O相切，∴OP⊥NP.∵NP⊥MN，∴四边形OPND是矩形．∴DN＝OP＝4dm，∵OM＝OB＋AB＝4＋10＝14dm，∴DM＝

dm，∴MN＝DM－DN＝(－4)dm.∴滑块A所在滑道MN的最短长度为(－4)dm；练习题解图①练习2(2022河北黑白卷)如图是蒸汽车轮机械装置模型，嘉淇在学习了其工作原理后，画出如图2的简单机械模型图示，滑块A在滑道MN上可左右滑动，且滑动过程中连杆AB和曲柄OB随之运动．已知AB＝10dm，OB＝4dm，且点B的运动轨迹是以点O为圆心、OB长为半径的圆，滑道MN所在直线与⊙O相切，过点N作NP⊥MN，NP恰好与⊙O相切于点P，连接OA.(参考数据：sin68°≈，cos68°≈，tan68°≈)(2)当直线AB与⊙O相切时，求

的长度；(2)如解图②，当直线AB在OP的上方与⊙O相切于点B时，由(1)可知四边形OPNB是矩形，∴的长＝

＝2π

dm；如解图③，当直线AB在OP的下方与⊙O相切于点B时，∴OB⊥AB.点B′为AB在OP的上方与⊙O相切时的切点，OB′⊥AB′，在Rt△OAB′与Rt△OAB中，∵OB′＝OB，OA＝OA，∴Rt△OAB′≌Rt△OAB.∴∠B′OA＝∠BOA，∴tan∠BOA＝

，∵tan68°≈，∴∠BOA＝68°，∴∠BOB′＝68°×2＝136°，解图②解图③∴∠BOP＝∠BOB′－∠B′OP＝136°－90°＝46°，∴的长＝

πdm.∴当直线AB与⊙O相切时，

的长为2πdm或

πdm；解图③练习2(2022河北黑白卷