高一数学同步课时作业(人教A版2019必修第二册)6.4.3第三课时　余弦定理、正弦定理应用举例同步课时作业(原卷版+解析)

课时跟踪检测（十二）余弦定理、正弦定理应用举例基础练1．从地面上观察一建在山顶上的建筑物，测得其视角为α，同时测得建筑物顶部仰角为β，则山顶的仰角为()A．α＋β B．α－βC．β－α D．α2．两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的()A．北偏东10° B．北偏西10°C．南偏东10° D．南偏西10°3．一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68nmile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为()A.eq\f(17\r(6),2)nmile/h B．34eq\r(6)nmile/hC.eq\f(17\r(2),2)nmile/h D．34eq\r(2)nmile/h4．在地面上点D处，测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端A与底部B的仰角分别为60°和30°，已知建筑物底部高出地面D点20m，则建筑物高度为()A．20m B．30mC．40m D．60m5．一艘船以4km/h的速度与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2km/h，则经过eq\r(3)h，则船实际航程为()A．2eq\r(15)km B．6kmC．2eq\r(21)km D．8km6．某人从A处出发，沿北偏东60°行走3eq\r(3)km到B处，再沿正东方向行走2km到C处，则A，C两地的距离为________km.7．如图，小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC＝135°.若山高AD＝100m，汽车从C点到B点历时14s，则这辆汽车的速度为________m/s.(精确到0.1，参考数据：eq\r(2)≈1.414，eq\r(5)≈2.236)8．上海世博园中的世博轴是一条1000m长的直线型通道，中国馆位于世博轴的一侧．现测得中国馆到世博轴两端的距离相等，并且从中国馆看世博轴两端的视角为120°.据此数据计算，中国馆到世博轴其中一端的距离是________m.9.如图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为12eq\r(6)nmile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120°，求A与D间的距离．10．在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A处(eq\r(3)－1)nmile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A2nmile的C处的缉私船奉命以10eq\r(3)nmile/h的速度追截走私船．此时，走私船正以10nmile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？拓展练1．如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了与A，B不共线的一点C，然后给出了三种测量方案(△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)：①测量A，B，b；②测量a，b，C；③测量A，B，a.则一定能确定A，B间距离的所有方案的个数为()A．3 B．2C．1 D．02．甲船在湖中B岛的正南A处，AB＝3km，甲船以8km/h的速度向正北方向航行，同时乙船从B岛出发，以12km/h的速度向北偏东60°方向驶去，则行驶15min时，两船的距离是()A.eq\r(7)km B.eq\r(13)kmC.eq\r(19)km D.eq\r(10－3\r(3))km3.如图所示，在山底A处测得山顶B的仰角∠CAB＝45°，沿倾斜角为30°的山坡向山顶走1000m到达S点，又测得山顶仰角∠DSB＝75°，则山高BC为()A．500eq\r(2)mB．200mC．1000eq\r(2)mD．1000m4．如图，从气球A上测得其正前下方的河流两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度AD是60m，则河流的宽度BC是()A．240(eq\r(3)－1)m B．180(eq\r(2)－1)mC．120(eq\r(3)－1)m D．30(eq\r(3)＋1)m5．台风中心从A地以每小时20km的速度向东北方向移动，离台风中心30km内的地区为危险区，城市B在A的正东40km处，B城市处于危险区内的持续时间为________h.6．当太阳光线与水平面的倾斜角为60°时，一根长为2m的竹竿，要使它的影子最长，则竹竿与地面所成的角α＝________.7．某校高一年级某班开展数学活动，小李和小军合作用一副三角板测量学校的旗杆高度，小李站在B点测得旗杆顶端E点的仰角为45°，小军站在点D测得旗杆顶端E点的仰角为30°，已知小李和小军相距(BD)6米，小李的身高(AB)1.5米，小军的身高(CD)1.75米，求旗杆的高EF的长．(结果精确到0.1，参考数据：eq\r(2)≈1.41，eq\r(3)≈1.73)培优练为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1km处不能收到手机信号，检查员抽查青岛市一考点，在考点正西eq\r(3)km有一条北偏东60°方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以每小时12km的速度沿公路行驶，问最长需要多少分钟检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？课时跟踪检测（十二）余弦定理、正弦定理应用举例基础练1．从地面上观察一建在山顶上的建筑物，测得其视角为α，同时测得建筑物顶部仰角为β，则山顶的仰角为()A．α＋β B．α－βC．β－α D．α解析：选C如图可知，山顶的仰角为β－α.故选C.2．两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的()A．北偏东10° B．北偏西10°C．南偏东10° D．南偏西10°解析：选B灯塔A，B的相对位置如图所示，由已知得∠ACB＝80°，∠CAB＝∠CBA＝50°，则α＝60°－50°＝10°，即北偏西10°.故选B.3．一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68nmile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为()A.eq\f(17\r(6),2)nmile/h B．34eq\r(6)nmile/hC.eq\f(17\r(2),2)nmile/h D．34eq\r(2)nmile/h解析：选A如图所示，在△PMN中，eq\f(PM,sin45°)＝eq\f(MN,sin120°)，∴MN＝eq\f(68×\r(3),\r(2))＝34eq\r(6)，∴v＝eq\f(MN,4)＝eq\f(17\r(6),2)(nmile/h)．故选A.4．在地面上点D处，测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端A与底部B的仰角分别为60°和30°，已知建筑物底部高出地面D点20m，则建筑物高度为()A．20m B．30mC．40m D．60m解析：选C如图，设O为塔顶在地面的射影，在Rt△BOD中，∠ODB＝30°，OB＝20，BD＝40，OD＝20eq\r(3).在Rt△AOD中，OA＝OD·tan60°＝60.∴AB＝OA－OB＝40.故选C.5．一艘船以4km/h的速度与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2km/h，则经过eq\r(3)h，则船实际航程为()A．2eq\r(15)km B．6kmC．2eq\r(21)km D．8km解析：选B如图所示，在△ACD中，AC＝2eq\r(3)，CD＝4eq\r(3)，∠ACD＝60°，∴AD2＝12＋48－2×2eq\r(3)×4eq\r(3)×eq\f(1,2)＝36.∴AD＝6.即该船实际航程为6km.故选B.6．某人从A处出发，沿北偏东60°行走3eq\r(3)km到B处，再沿正东方向行走2km到C处，则A，C两地的距离为________km.解析：如图所示，由题意可知AB＝3eq\r(3)，BC＝2，∠ABC＝150°.由余弦定理，得AC2＝27＋4－2×3eq\r(3)×2×cos150°＝49，AC＝7.则A，C两地的距离为7km.答案：77．如图，小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC＝135°.若山高AD＝100m，汽车从C点到B点历时14s，则这辆汽车的速度为________m/s.(精确到0.1，参考数据：eq\r(2)≈1.414，eq\r(5)≈2.236)解析：由题意，AB＝200m，AC＝100eq\r(2)m，由余弦定理可得BC＝eq\r(40000＋20000－2×200×100\r(2)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2))))≈316.2(m)，这辆汽车的速度为316.2÷14≈22.6(m/s)．答案：22.68．上海世博园中的世博轴是一条1000m长的直线型通道，中国馆位于世博轴的一侧．现测得中国馆到世博轴两端的距离相等，并且从中国馆看世博轴两端的视角为120°.据此数据计算，中国馆到世博轴其中一端的距离是________m.解析：如图所示，设A，B为世博轴的两端点，C为中国馆，由题意知∠ACB＝120°，且AC＝BC，过C作AB的垂线交AB于D，在Rt△CBD中，DB＝500m，∠DCB＝60°，∴BC＝eq\f(1000\r(3),3)m.答案：eq\f(1000\r(3),3)9.如图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为12eq\r(6)nmile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120°，求A与D间的距离．解：在△ABD中，∠ADB＝60°，∠DAB＝75°，∴B＝45°.∴AD＝eq\f(ABsinB,sin∠ADB)＝eq\f(12\r(6)×\f(\r(2),2),\f(\r(3),2))＝24(nmile)．即A与D间的距离为24nmile.10．在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A处(eq\r(3)－1)nmile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A2nmile的C处的缉私船奉命以10eq\r(3)nmile/h的速度追截走私船．此时，走私船正以10nmile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？解：设缉私船用th在D处追上走私船，画出示意图，则有CD＝10eq\r(3)t，BD＝10t，在△ABC中，∵AB＝eq\r(3)－1，AC＝2，∠BAC＝120°，∴由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝(eq\r(3)－1)2＋22－2·(eq\r(3)－1)·2·cos120°＝6，∴BC＝eq\r(6)，且sin∠ABC＝eq\f(AC,BC)·sin∠BAC＝eq\f(2,\r(6))·eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(2),2)，∴∠ABC＝45°，BC与正北方向成90°角．∵∠CBD＝90°＋30°＝120°，在△BCD中，由正弦定理，得sin∠BCD＝eq\f(BD·sin∠CBD,CD)＝eq\f(10tsin120°,10\r(3)t)＝eq\f(1,2)，∴∠BCD＝30°.即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船．拓展练1．如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了与A，B不共线的一点C，然后给出了三种测量方案(△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)：①测量A，B，b；②测量a，b，C；③测量A，B，a.则一定能确定A，B间距离的所有方案的个数为()A．3 B．2C．1 D．0解析：选A对于①，利用内角和定理先求出C＝π－A－B，再利用正弦定理eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)解出c；对于②，直接利用余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC即可解出c；对于③，先利用内角和定理求出C＝π－A－B，再利用正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)解出c.故选A.2．甲船在湖中B岛的正南A处，AB＝3km，甲船以8km/h的速度向正北方向航行，同时乙船从B岛出发，以12km/h的速度向北偏东60°方向驶去，则行驶15min时，两船的距离是()A.eq\r(7)km B.eq\r(13)kmC.eq\r(19)km D.eq\r(10－3\r(3))km解析：选B由题意知AM＝8×eq\f(15,60)＝2，BN＝12×eq\f(15,60)＝3，MB＝AB－AM＝3－2＝1，所以由余弦定理，得MN2＝MB2＋BN2－2MB·BNcos120°＝1＋9－2×1×3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝13，所以MN＝eq\r(13)km.故选B.3.如图所示，在山底A处测得山顶B的仰角∠CAB＝45°，沿倾斜角为30°的山坡向山顶走1000m到达S点，又测得山顶仰角∠DSB＝75°，则山高BC为()A．500eq\r(2)mB．200mC．1000eq\r(2)mD．1000m解析：选D∵∠SAB＝45°－30°＝15°，∠SBA＝∠ABC－∠SBC＝45°－(90°－75°)＝30°，在△ABS中，AB＝eq\f(AS·sin135°,sin30°)＝eq\f(1000×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝1000eq\r(2)，∴BC＝AB·sin45°＝1000eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝1000(m)．故选D.4．如图，从气球A上测得其正前下方的河流两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度AD是60m，则河流的宽度BC是()A．240(eq\r(3)－1)m B．180(eq\r(2)－1)mC．120(eq\r(3)－1)m D．30(eq\r(3)＋1)m解析：选C由题意知，在Rt△ADC中，∠C＝30°，AD＝60m，∴AC＝120m．在△ABC中，∠BAC＝75°－30°＝45°，∠ABC＝180°－45°－30°＝105°，由正弦定理，得BC＝eq\f(ACsin∠BAC,sin∠ABC)＝eq\f(120×\f(\r(2),2),\f(\r(6)＋\r(2),4))＝120(eq\r(3)－1)(m)．故选C.5．台风中心从A地以每小时20km的速度向东北方向移动，离台风中心30km内的地区为危险区，城市B在A的正东40km处，B城市处于危险区内的持续时间为________h.解析：设th时，B市恰好处于危险区，则由余弦定理得(20t)2＋402－2×20t×40×cos45°＝302.化简，得4t2－8eq\r(2)t＋7＝0，∴t1＋t2＝2eq\r(2)，t1·t2＝eq\f(7,4).从而|t1－t2|＝eq\r(t1＋t22－4t1t2)＝1(h)．答案：16．当太阳光线与水平面的倾斜角为60°时，一根长为2m的竹竿，要使它的影子最长，则竹竿与地面所成的角α＝________.解析：如图，设竹竿与地面所成的角为α，影子长为x，依据正弦定理可得eq\f(2,sin60°)＝eq\f(x,sin120°－α).所以x＝eq\f(4,\r(3))·sin(120°－α)．因为0°<120°－α<120°，所以要使x最大，只需120°－α＝90°，即α＝30°时，影子最长．答案：30°7．某校高一年级某班开展数学活动，小李和小军合作用一副三角板测量学校的旗杆高度，小李站在B点测得旗杆顶端E点的仰角为45°，小军站在点D测得旗杆顶端E点的仰角为30°，已知小李和小军相距(BD)6米，小李的身高(AB)1.