河南省郑州市十所省级示范性高中2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

2023-2024学年河南省郑州市十所省级示范性高中联考高一（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.i2023A.1+2i B.1−2i2.设e1,e2是平面内两个不共线的向量，则以下aA.a=e1C.a=e13.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b=2,a=2,B=30∘A.30∘ B.45∘或135∘ C.60∘ 4.已知A(−2,1)，B(4,−1)，C(2,3)，则⟨AC,CB⟩A.3π4 B.π2 C.π35.已知平面向量a=(1,0),b=(−2,1)，且(a−mA.−1 B.0 C.1 D.1±6.折扇在我国有着悠久的历史.“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”，它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征(如图甲).图乙是扇形的一部分，两个圆弧DE,AC所在圆的半径分别是15和36，且∠ABC=120∘A.357π B.292π C.243π D.195π7.已知O，P，N在△ABC所在平面内，满足|OA|=|OB|=|OC|,NA+NB+NC=0，且PAA.外心，垂心，重心 B.重心，外心，内心 C.垂心，外心，重心 D.外心，重心，内心8.已知△ABC中，D，E分别为线段AB，BC上的点，直线AE，CD交于点P，且满足BP=16BA+1A.109 B.76 C.34 D.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.下列说法中，不正确的是(

)A.有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱B.有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台C.平行四边形的直观图是平行四边形D.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是正三棱锥10.在复平面内，复数z1=12+32i对应的点为A.zB.zC.向量AB对应的复数是−1D.|11.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列说法中正确的是(

)A.若△ABC为锐角三角形，则sinB.若sin2A=sin2BC.若sin2B+sin2C=D.若a=8，c=10，B=π6，则△ABC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.用斜二测画法画出的直观图与原图形的面积之比为______.13.远赴仙境惊鸿宴，一睹人间盛世颜.位于河南洛阳的老君山群山竞秀，拔地通天.一位同学在领略老君山的美景时，用无人机测量了其中一座小山的海拔与该山最高处的古塔AB的塔高.如图，无人机的航线与塔AB在同一铅直平面内，无人机飞行的海拔高度为1000m，在C处测得塔底A(即小山的最高处)的俯角为45∘，塔顶B的俯角为30∘，向山顶方向沿水平线CE飞行100m到达D处时，测得塔底A的俯角为75∘，则该座小山的海拔为______m；古塔AB的塔高为______14.已知平面四边形ABCD满足∠CBA=π2,∠CAD=π3，且AC=AD=2，则DB四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知a=(2,1),|b|=2,⟨(1)求|a(2)若向量(a−λ3c)与16.(本小题15分)设z1是虚数，若ω=z1−2，ω是关于x17.(本小题15分)如图，底面边长为2且侧棱长为22的正六棱锥P−ABCDEF，O是底面的中心，在其内部有一个高为x的内接圆柱((1)求棱锥的表面积；(2)求圆柱侧面积的最大值及侧面积取得最大值时圆柱底面半径的值.18.(本小题17分)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a(1)求A；(2)若a=23，△ABC的面积为33，求(3)若c=2，求△ABC周长的取值范围.19.(本小题17分)古希腊的数学家海伦在其著作《测地术》中给出了由三角形的三边长a，b，c计算三角形面积的公式：S=p(p−a)(p−b)(p−c)，这个公式常称为海伦公式，其中，p=12(a+b+c).我国南宋著名数学家秦九韶在《数书九章》中给出了由三角形的三边长a，b，(1)已知△ABC的三条边分别为a=7，b=8，c=3，求△ABC的面积；(2)利用题中所给信息，证明三角形的面积公式S=1(3)在△ABC中，b=4,tanB2=sinC答案和解析1.【答案】C

【解析】解：i故选：C.利用i2本题主要考查了复数的四则运算，属于基础题．2.【答案】B

【解析】解：对于A，因为a=e1+e所以a、b不共线，可以作为该平面内所有向量的一组基底；对B，因为a=2e1所以a、b共线，不能作为该平面内所有向量的一组基底；对C，因为a=e1+e所以a、b不共线，可以作为该平面内所有向量的一组基底；对D，因为a=e1−2e所以a、b不共线，可以作为该平面内一组基底．综上所述，只有B项中的a,故选：B.根据题意，若向量a、b不共线，则a，b可作为该平面内一组基底，由此对各项加以判断，可得答案．本题主要考查平面向量基本定理及其应用，考查了概念的理解能力，属于基础题．3.【答案】D

【解析】解：b=则sinA=A∈(0,π)，则A=45∘或故C=π−A−B=15∘故选：D.结合正弦定理，以及三角形内角和定理，即可求解．本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题．4.【答案】B

【解析】解：A(−2,1)，B(4,−1)，C(2,3)，则AC=(4,2)，CBAC⋅故⟨AC,故选：B.根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解．本题主要考查数量积表示两个向量的夹角，是基础题．5.【答案】A

【解析】解：a=(1,0),则a−mb=(1+2m,−m)(a则(−m)⋅(−1)=1故选：A.根据已知条件，结合向量共线的性质，即可求解．本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．6.【答案】A

【解析】解：设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，利用弧长公式可得2πr=2π3×15又2πR=2π3×36又圆台的母线长为l=36−15=21，所以圆台的侧面积S=π(5+12)×21=357π.故选：A.根据圆台的侧面展开图分别求出上下底面圆半径，再由圆台侧面积公式计算可得结果．本题考查圆台侧面积，属于中档题．7.【答案】C

【解析】解：∵|OA−|=|∴O是三角形的外心，∵PA⋅PB=PB⋅PC同理得到另外两个向量都与边垂直，得到P是三角形的垂心，∵NA∴NA∴NA所在直线经过BC中点D，与中线共线，同理可得NB，NC分别与AC，AB边的中线共线，∴N是三角形中三条中线交点，∴N是重心；故选：C.根据O到三角形三个顶点的距离相等，得到O是三角形的外心，根据向量垂直，即得到P是三角形的垂心，根据中线的性质，可得N为重心．本小题主要考查向量的数量积的运算法则、三角形五心等基础知识，属于中档题．8.【答案】D

【解析】解：由BP=16设BQ=14BA+34BC，两边都减去BC，得BQ−结合BQ=32BP，可得BP的延长线交AC于Q由BQ=32BP，得设BE=μBC(0<μ<1)，则AE因为AP//AE，所以1−μ13=μ因为S△BPES△BQC同理S△BPDSBQA因此，S故选：D.根据BP=16BA+12BC，推算出BP的延长线交AC于Q点，满足BPBQ=23，CQCA=1本题主要考查平面向量基本定理、向量平行的性质、三角形的面积公式及其应用等知识，属于中档题．9.【答案】AB

【解析】解：对于A，有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体，若侧棱不平行，则不为棱柱，故A错误；对于B，有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体，若侧棱延长后不交于一点，则不为棱台，故B错误；对于C，由直观图中平行四边形的对边互相平行，则平行四边形的直观图是平行四边形，故C正确；对于D，棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，若底面为三角形，则此棱锥可能是正三棱锥，故D正确．故选：AB.由棱柱、棱台的定义可判断AB；由直观图的画法可判断C；由正三棱锥的定义可判断D.本题考查棱柱、棱锥和棱台的定义、直观图的画法，考查推理能力，属于基础题．10.【答案】BCD

【解析】解：复数z1=12+3对于A，z1z2∴z12对于B，z1−|z∴z1⋅对于C，A(12,3∴向量AB对应的复数是−1，故C正确；对于D，|z2|z∴|z1+故选：BCD.利用复数的概念、运算法则、几何意义求解．本题考查复数的概念、运算法则、几何意义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11.【答案】ABD

【解析】解：选项A，若△ABC为锐角三角形，则A+B>π所以π2所以sinB>sin(选项B，若sin2A=sin2B，则2A=2B所以A=B或A+B=π所以△ABC为等腰或直角三角形，即选项B正确；选项C，若sin2B+sin2C=由正弦定理知，bcos由余弦定理知，b⋅整理得a4所以a2=b即a2+c所以△ABC一定是直角三角形，即选项C错误；选项D，由余弦定理知，b2所以b只有一解，所以△ABC解的个数为1，即选项D正确．故选：ABD.选项A，利用A+B>π2，结合诱导公式，即可判断；选项B，由sin2A=sin2B，知2A=2B或2A+2B=π，化简即可判断△ABC的形状；选项C本题考查解三角形，熟练掌握正余弦定理，诱导公式，二倍角公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．12.【答案】2【解析】解：根据题意，由斜二测画法的步骤：(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于O点，画直观图时，把它画成对应的x′轴、y′轴，使∠x′Oy′=45∘或(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′或y′轴的线段，(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半．则直观图与原图形的面积之比为故答案为：根据题意，由斜二测画法的步骤分析可得答案．本题考查斜二测画法，涉及原图的面积与直观图面积的关系，属于基础题．13.【答案】950−503

【解析】解：如图，在△ACD，CD=100，∠ACD=45∘，∠ADC=105∘由正弦定理ACsin又sin105所以AC=100×延长AB交CE于H，则AH=ACsin又无人机飞行的海拔高度为1000m，所以该座小山的海拔为1000−50(在△ABC中，∠ACB=45又sin∠ACB=由正弦定理有ABsin得到AB=故答室为：950−503在△ACD，根据条件，利用正弦定理得到AC的值，延长AB交CE于H，则AH的值，即可求出小山的海拔；在△ABC，根据条件，利用正弦定理，即可求出塔高．本题主要考查了正弦定理，和差角公式在实际问题求解中的应用，属于中档题．14.【答案】5

【解析】解：设∠BAC=α，(0<α<π2)，则∠BAD=α+所以AB⋅AC=|AB⋅DB=2cos当2α+π6=π2即故答案为：5.设∠BAC=α，(0<α<π本题考查平面向量的数量积的求法，属于中档题．15.【答案】解：(1)已知a=(则a在b方向上的投影向量c=|所以|a(2)因为(a−λ所以(a−λ3c所以λ2即2<λ<6，当(a−λ设(a得λ=2所以2<λ<6且λ≠2即实数λ的取值范围为(2,2【解析】(1)由平面向量数量积的运算，结合投影的运算及平面向量模的运算求解；(2)由平面向量数量积的运算，结合共线向量的运算求解．本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了投影的运算及平面向量模的运算，属中档题．16.【答案】解：由题意，设z1∵ω=z1−2∵ω是关于x的方程x2∴(a−2+bi)∴(a−2)(a−4)+4−b∴(a−2)(a−4)+4−b2=02(a−3)b=0∴z【解析】求出ω=a−2+bi(a,b∈R,b≠0)，从而(a−2+bi)2−2(a−2+bi)+4=0本题考查复数的概念、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．17.【答案】解：(1)∵是正六棱锥，O是底面的中心，∴PO是棱锥的高，连接OC，可知OC=2，在Rt△POC中，可知PO=PC设BC的中点为M，由△PBC是等腰三角形可知，PM⊥MC，因此PM是斜高，从而PM=PC∵△PBC的面积为12×BC×PM=12×2×又底面正六边形ABCDEF的底面积为S底∴棱锥的表面积为S(2)作出圆柱上底面圆周与棱锥侧面相切时的轴截面，圆柱的高ℎ=x(0<x<1)，易知PO=2,OM=设圆柱底面半径为r，则r3=则圆柱的侧面积为S=2πr⋅x=2π⋅当且仅当(2−x)=x即x=1时，S有最大值为此时，圆柱底面半径为r=【解析】(1)由已知利用勾股定理求得圆锥的母线长，再由表面积公式求解；(2)圆柱的底面半径为r，利用三角形的相似比把r用含有x的代数式表示，写出圆柱的侧面积，再由不等式的性质求最值．本题考查圆柱与圆锥位置关系的应用，考查旋转体表面积的求法，考查运算求解能力，属于中档题．18.【答案】解：(1)∵a2+∴可得acos又由正弦定理可得sinA∵sin∴∵sin∴3sin∴∴sin∵0<A<π,−π∴A−π∴A=π(2)∵△ABC的面积为3∴1∴bc=12，由余弦定理，得a2=b∴12=(b+c)2