湖北省部分学校2024届高三下学期模拟考试数学试题

2024年湖北省新高考模拟卷数学本试卷共4页，19题。全卷满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集是实数集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（）A. B. C. D.2.已知复数满足，则的虚部为（）A. B. C. D.3.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点为上异于长轴端点的任意一点，的角平分线交线段于点，则（）A. B. C. D.4.如图，已知A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则（）A. B.C. D.平面MNQ5.已知数列是单调递增数列，，，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.6.已知，则（）A. B. C. D.7.已知A，B是直线：上的两点，且，P为圆：上任一点，则面积的最大值为（）A. B. C. D.8.定义：表示p、q，r中的最小值.已知实数a，b，c满足，，则（）A.的最大值是 B.的最大值是C.的最小值是 D.的最小值是二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列命题正确的是（）A.数据4.5.6.7.8.8的第50百分位数为6B.已知随机变量，若，则C.对于随机事件A，B，若，，，则A与B相互独立D.已知采用分层随机抽样得到的高三年级男生、女生各100名学生的身高情况为：男生样本平均数为172，方差为120，女生样本平均数为165，方差为120，则总体样本方差为12010.已知函数的部分图象如图所示，则（）A.在上单调递增B.在上有4个零点C.D.将的图象向右平移个单位长度，可得的图象11.设定义在上的函数与的导函数分别为和.若，，且为奇函数，则下列说法正确的是（）A.函数的图象关于直线对称 B.C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.现有5人通过3个不同的闸机进站乘车，每个闸机每次只能过1人，要求每个闸机都要有人通过，则有______种不同的进站方式（用数字作答）.13.已知菱形的边长为，，沿对角线将菱形折起，使得二面角为钝二面角，且折后所得四面体外接球的表面积为，则二面角的余弦值为______.14.已知斜率为的直线与双曲线：的左、右两支分别交于点A，B，，直线与双曲线E的左、右两支分别交于点D，C，AC交BD于点P，若点P恒在直线：上，则双曲线E的离心率为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（13分）已知函数（其中是自然对数的底数）.（1）是否存在实数a，使得函数在定义域内单调递增？（2）若函数存在极大值，极小值，求证：16.（15分）如图，在三棱柱中，侧面是矩形，，.（1）求证：平面平面.（2）若，，，在棱AC上是否存在一点P，使得二面角的大小为45°？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由.17.（15分）已知抛物线：，过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，当直线l的倾斜角为时，.（1）求抛物线C的标准方程和准线方程；（2）记O为坐标原点，直线分别与直线OA，OB交于点M，N，求证：以MN为直径的圆过定点，并求出该定点的坐标.18.（17分）马尔可夫链是概率统计中的一个重要模型，因俄国数学家安德雷·马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第n次的状态有关，与第，，，…次状态无关，即.已知甲盒中装有2个黑球和1个白球，乙盒中装有2个白球，现从甲、乙两个盒中各任取一个球交换放入另一个盒中，重复n次这样的操作.记甲盒中黑球的个数为，恰有2个黑球的概率为，恰有1个黑球的概率为.（1）求，和，；（2）求证：数列为等比数列（且）；（3）求的期望（用n表示，且）.19.（17分）在平面直角坐标系中，定义：，两点间的“直角距离”为.（1）填空（直接写出结果）：①若，，则______；②到坐标原点的“直角距离”等于1的动点轨迹方程是______；③记到，两点的“直角距离”之和为4的动点轨迹为曲线G，则曲线G所围成的封闭图形的面积为______.（2）设点，点B是直线：上的动点，求的最小值及取得最小值时点B的坐标.（3）对平面上给定的两个不同的点，，是否存在点，同时满足下列两个条件：①；②.若存在，求出所有符合条件的点的集合；若不存在，请说明理由.

参考答案一、选择题1.【答案】B【解析】.2.【答案】A【解析】，.3.【答案】A【解析】如图，因为的角平分线交线段于点，所以由正弦定理得，.又因为，，所以，即.不妨设，，则，解得，所以.由题意得，，所以，即.4.【答案】C【解析】如图，记正方体的两个顶点为C，F，连接BC，交MN于点O，连接EF，交BC于点D，连接，.因为Q，D为AC，BC的中点，则，又因为QD，QN，QM，交于同一点Q，即AB与QN，QM，均不平行，故A，B错误；若平面MNQ，因为平面ABC，平面平面，所以，又因为AB与不平行，所以假设不成立，故D错误；因为四边形CEBF为正方形，所以，因为M，N为所在棱的中点，所以，则，又因为平面CEBF，且平面CEBF，所以，因为，BC，平面ABC，所以平面ABC，因为平面ABC，所以，故C正确.5.【答案】C【解析】由题意可得，由于数列为单调递增数列，即，有，整理得.令，则，所以数列单调递减，故是数列的最大项，则的取值范围为6.【答案】C【解析】因为，所以，则，所以，解得.所以，所以.7.【答案】B【解析】设点P到直线l的距离为d，圆心D到直线l的距离为h，则，面积的最大值为.8.【答案】B【解析】因为，所以在a，b，c中，负数的个数为1或3.又因为，所以在a，b，c中，负数为1个，正数为2个.不妨设，则.因为，所以.因为，所以，则，故的最大值是，无最小值.二、选择题9.【答案】BC【解析】对于A，由于，则数据4，5，6，7，8，8的第50百分位数为，故A错误.对于B，由于，则，故B正确.对于C，若，则有，变形可得，则与相互独立，故C正确.对于D，分层抽样的平均数，按分层抽样样本方差的计算公式，，故D错误.10.【答案】ABC【解析】由题图可知，，所以，或，.因为，所以，所以.又因为图象过点，且为下降零点，所以，，故，，结合题图有，即，所以，所以.当时，，结合正弦函数的图象可知，在上单调递增，故A正确；当时，，其中，结合正弦函数的图象可知，在上有4个零点，故B正确；当时，即，即，或，，结合题图可知，，所以，故C正确；将的图象向右平移个单位长度，得，而.故D错误.11.【答案】AC【解析】对于A，，，.又，.令，可得，解得.，∴函数的图象关于直线对称，A正确.对于C，为奇函数，的图象关于点对称，且，，，，，.又，，函数的周期，，C正确.对于B，由A知，，，，B错误.对D，，D错误.三、填空题12.【答案】720.【解析】将5人分为3组，有利两种情况.当分组为：时，共有；当分组为时，共有.综上所述，共有种不同的进站方式.13.【答案】【解析】如图，设O为四面体ABCD外接球的球心，半径为R，，分别为，的补心，则，，平面ABD，平面CBD.平面交BD点于E，连接，，则为二面角的平面角.设其大小为，，，，.连接，则，，.14.【答案】.【解析】设，，，，，的中点，CD的中点，则两式相减，得，化简得，所以，所以，①同理，.②因为，所以P，M，N三点共线，所以，将①②代入得，即因为，所以，即点恒在直线上.又因为点恒在直线：上，所以，所以，所以双曲线的离心率为.四、解答题15.【解析】（1）因为，所以的定义域为..令，则，则在上单调递增.因为，所以当时，，当时，，要使得单调递增，则在上恒成立.当时，恒成立；当时，即，当时，，不合题意；当时，即，当时，，不合题意.综上所述，.（2）由（1）可得且，极值点为与1，所以.令，则.当时，，则单调递增；当时，，则单调递减.所以，即成立.16.【解析】（1），侧面是菱形，.，平面，平面，.∵侧面是矩形，.，平面.又平面ABC，∴平面平面ABC.（2）假设存在点P，使得二面角的大小为45°.理由如下：如图，连接，BP，以点C为坐标原点，射线CA，CB为x轴、y轴的正方向，平面上过点C且垂直于AC的直线为z轴，建立空间直角坐标系.则，，设，，则，.由（1）可知平面，平面的法向量为.设平面的法向量为，由得令，则，，，得，即，解得，（舍去），即，∴存在点P满足条件，此时P是AC的中点.17.（1）由已知可得抛物线的焦点坐标为，直线l的方程为.联立抛物线与直线的方程可得.设，，由韦达定理可得，则，所以.所以抛物线的方程为，准线方程为.（2）设直线l的方程为，联立直线与抛物线的方程可得.所以，.因为，所以直线的方程为，所以.同理可得.设圆上任意一点为，则由可得圆的方程为，整理得，令，可得或，所以以为直径的圆过定点，定点坐标为或.18.【解析】（1）若甲盒取黑，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为1黑2白，乙盒为1黑1白，概率为；若甲盒取白，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为2黑1白，乙盒为2白，概率为.所以，①当甲盒1黑2白，乙盒为1黑1白，概率为，此时：若甲盒取黑，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为3白，概率为；若甲盒取黑，乙盒取黑，此时互换，则甲盒中变为1黑2白，概率为；若甲盒取白，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为1黑2白，概率为；若甲盒取白，乙盒取黑，此时互换，则甲盒中变为2黑1白，概率为.②当甲盒2黑1白，乙盒为2白，概率为，此时：若甲盒取黑，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为1黑2白，概率为；若甲盒取白，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为2黑1白，概率为.综上所述，.（2）经过n次这样的操作，记甲盒恰有2黑1白的概率为，恰有1黑2白的概率为，3白的概率为.①当甲盒1黑2白，乙盒为1黑1白，概率为，此时：若甲盒取黑，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为3白，概率为；若甲盒取黑，乙盒取黑，此时互换，则甲盒中变为1黑2白，概率为；若甲盒取白，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为1黑2白，概率为；若甲盒取白，乙盒取黑，此时互换，则甲盒中变为2黑1白，概率为.②当甲盒2黑1白，乙盒为2白，概率为，此时：若甲盒取黑，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为1黑2白，概率为；若甲盒取白，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为2黑1白，概率为，③当甲盒中3白，乙盒2黑，概率为，此时：若甲盒取白，乙盒取黑，此时互换，则甲盒中变为1黑2白，概率为.故，.所以，所以数列为等比数列，且公比为.（3）由（2）可知数列为等比数列，且公比为，首项为，故，所以，所以.19.（1）【答案】①5.②.③6.①根据定义可得.②设是轨迹上任意一点，根据定义可得.所以到坐标原点的“直角距离”等于1的动点轨迹方程是.③设为曲线G上任意一点，由已知可得，所以有，整理得.（i）当时，该式可化为，即.当且时，为；当且时，为.（ii）当时，该式可化为，整理得，即.（iii）当时，该式可化为，整理得.当且时，为；当且时，为.作出曲线满足的图象如图阴影部分所示，所以曲线所围成的封