高中数学必修5不等式全章教案集

高中数学必修5不等式全章教案集

课题：§3.2一元二次不等式及其解法

第1课时

授课类型：新授课

【教学目标】

1.知识与技能：理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一

元二次不等式的方法：培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力

和逻辑思维能力；

2.过程与方法：经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究

一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；

3.情态与价值：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事

物之间普遍联系的辩证思想。

【教学重点】从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法。

【教学难点】理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。

【教学过程】

1-课题导入

从实际情境中抽象出一元二次不等式模型：

教材P84互联网的收费问题

教师引导学生分析问题、解决问题，最后得到一元二次不等式模型：X2-5X<0.....(1)

2.讲授新课

1)一元二次不等式的定义

象5x<0这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元

二次不等式

2)探究一元二次不等式x2-5x<0的解集怎样求不等式(1)的解集呢？

探究：

(1)二次方程的根与二次函数的零点的关系

容易知道：二次方程的有两个实数根：玉=0,9=5二次函数有两个零点：x,=0,x2=5

于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数的零点。

(2)观察图象，获得解集

画出二次函数y的图象，如图，观察函数图象，可知：J,一二

当x<0,或x>5时，函数图象位于x轴上方，此时，y>0,即/-5芯>0；[^7

当0<x<5时，函数图象位于x轴下方，此时，y〈0,即/-5%<0；

所以，不等式/-58<0的解集是{x[0<x<5},从而解决了本节开始时提出的问题。

3)探究一般的一元二次不等式的解法

任意的•元二次不等式，总可以化为以下两种形式：

ax2+bx+c>0,(a>0)!^Uix2+bx+c<0,(a>0)

一般地，怎样确定一元二次不等式ax?+bx+c>0^ax2+6x+c<0的解集呢？

组织讨论：

从上面的例子出发，综合学生的意见，可以归纳出确定一元二次不等式的解集，关键要考虑

以下两点：

(1)抛物线y=a/+法+，与x轴的相关位置的情况,也就是一元二次方程ax?+hx+c=O

的根的情况

(2)抛物线y=a/+bx+c的开口方向，也就是a的符号

总结讨论结果：

(1)抛物线y^ax2+bx+c(a>0)与x轴的相关位置，分为三种情况，这可以由一元

二次方程。12+云+。=0的判别式公=/>2-4"三种取值情况(4>0,A=0,△<())来确

定.因此，要分二种情况讨论

(2)a<0可以转化为a>0

分A>0,A=0,ACO三种情况，得到一元二次不等式ax?+bx+c>0与a/+bx+c〈0的

解集

一元二次不等式a/+bx+c>0或ax?+bx+c<0(a^0)的解集：

设相应的，一元二次方程a/+/)x+c=0(a工0)的两根为花、£且占4》2，△=/-4ac,

则不等式的解的各种情况如下表：(让学生独立完成课本第86页的表格)

A>0△=0A<0

y=ax2+bx+cy=ax2+bx+cy=ax2+fex+c

二次函数

力ILu

y=ax2+bx+c

(a>0)的图象

----------X

一元二次方程

有两相异实根有两相等实根

ax2+bx+c=0b

x,x(x<x)无实根

(a〉0的根{2[2…F

ax2+bx+c>0b

<xx----J

(a>0)的解集2aR

ax2+bx+c<0

<x<x)

20

(〃>0)的解集0

［范例讲解］

例2(课本第87页)求不等式4f—4x+l>0的解集.

解：因为△=(),方程4F_4x+l=0的解是芯=/=g.

所以，原不等式的解集是Jxx^->

2

例3(课本第88页)解不等式-X2+2X-3〉0.

解：整理，WX2-2X+3<0.

因为△<(),方程X2-2X+3=0无实数解,

所以不等式—2x+3<0的解集是0.

从而，原不等式的解集是0.

3.随堂练习

课本第89的练习1⑴、(3)、(5)、⑺

4.课时小结

解一元二次不等式的步骤：

①将二次项系数化为“+"：A=g2+版+，>0(或<0)出>0)

②计算判别式A，分析不等式的解的情况:

若A>0,则x<X]或>无2；

i.A>0时，求根X]<X2，

若A<0,则匹<x<X2.

若A>0,则XWXo的一切实数;

ii.A=0时，求根X]==%0，,若A<0,则Xe6

若AW0,则x=x().

若A>0,则xeR；

iii.A<0时,方程无解,

若A<0,则xe0.

③写出解集.

5.评价设计

课本第89页习题3.2［A］组第1题

【板书设计】

【授后记】

课题：§3.2一元二次不等式及其解法

第2课时

授课类型：新授课

【教学目标】

1.知识与技能：巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系；进一步熟练解一

元二次不等式的解法；

2.过程与方法：培养数形结合的能力，一题多解的能力，培养抽象概括能力和逻辑思维能

力；

3.情态与价值：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会从

不同侧面观察同一事物思想

【教学重点】

熟练掌握一元二次不等式的解法

【教学难点】

理解一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系

【教学过程】

1.课题导入

1.一元二次方程、•元二次不等式与二次函数的关系

2.一元二次不等式的解法步骤——课本第86页的表格

2.讲授新课

［范例讲解］

例1某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离sm和汽车的速度xkm/h有如下的关系：

在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5m,那么这辆汽车刹车前的速度是多

少？（精确到0.Olkm/h）

11,

解：设这辆汽车刹车前的速度至少为xkm/h,根据题意，我们得到-!-犬+」一/>39.5

20180

移项整理得：X2+9X-7110>0

显然>0,方程—+9x-7110=0有两个实数根，即

X,»-88.94,x2»79.94»所以不等式的解集为{x|x<—88.94,或x>79.94}

在这个实际问题中，x>0,所以这辆汽车刹车前的车速至少为79.94km/h.

例4、一个汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x

（辆）与创造的价值y（元）之间有如下的关系：

y=-2x2+220x

若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，那么它在一个星期内大约

应该生产多少辆摩托车？

解：设在一个星期内大约应该生产x辆摩托车，根据题意，我们得到

—2r+220x>6000

移项整理，得4

叶woo

x2-110x+3000<0

<JIO»W40A

因为=100>0,所以方程公一1101+3000=0有两个实数根V

X］=50,x2=60

由二次函数的图象，得不等式的解为：50<x<60

因为x只能取正整数，所以，当这条摩托车整车装配流水线在一周内生产的摩托车数量在

51—59辆之间时，这家工厂能够获得6000元以上的收益。

3.随堂练习1

课本第89页练习2

［补充例题］

▲应用一（一元二次不等式与一元二次方程的关系）

例：设不等式4/+法+1>0的解集为{x|—l<x<5,求ab?

▲应用二（一元二次不等式与二次函数的关系）

例：设4={幻/—4x+3<0},8={x|x2—2x+a—8W0},且A=求a的取值

范围.

改：设f-2x+a-840对于••切xe（l,3）都成立，求a的范围.

改：若方程*2-2工+。一8=0有两个实根玉,》2,且玉N3,x2<\,求a的范围.

随堂练习2

1、已知二次不等式af+bx+cvO的解集为{x|x<〃或x>y，求关于x的不等式

ex?-bx+a〉O的解集.

2、若关于机的不等式〃状2一（2机+1）X+M-120的解集为空集，求机的取值范围.

改1：解集非空

改2：解集为一切实数

4.课时小结

进一步熟练掌握一元二次不等式的解法

一元二次不等式与一元二次方程以及一元二次函数的关系

5.评价设计

课本第89页的习题3.2[A]组第3、5题

【板书设计】

【授后记】

第周第课时授课时间：20—年—月—日（星期_）

课题：§3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域

第1课时

授课类型：新授课

【教学目标】

1.知识与技能：了解二元一次不等式的几何意义，会用二元一次不等式组表示平面区域；

2.过程与方法：经历从实际情境中抽象出二元••次不等式组的过程，提高数学建模的能力；

3.情态与价值：通过本节课的学习，体会数学来源与生活，提高数学学习兴趣。

【教学重点】

用二元一次不等式（组）表示平面区域；

【教学难点】

【教学过程】

!■课题导入

1.从实际问题中抽象出二元一次不等式（组）的数学模型

课本第91页的“银行信贷资金分配问题”

教师引导学生思考、探究，让学生经历建立线性规划模型的过程。

在获得探究体验的基础上，通过交流形成共识：

2.讲授新课

1.建立二元一次不等式模型

把实际问题转化数学问题：

设用于企业贷款的资金为x元，用于个人贷款的资金为y元。

（把文字语言包符号语言）

（资金总数为25000000元）=>x+y<25000000（1）

（预计企业贷款创收12%,个人贷款创收10%,共创收30000元以上）

n（12%）x+（10%）y>30000BP12x+lOy>3000000

(2)

（用于企业和个人贷款的资金数额都不能是负值）=>x>0,y>0（3）

将（1）（2）（3）合在一起，得到分配资金应满足的条件：

'x+y<25000000

<12x+lOy>3000000

x>0,y>0

2.二元一次不等式和二元•次不等式组的定义

（1）二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式叫做二元」

次不等式。

（2）二元一次不等式组：有几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组。

（3）二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式（组）的x和y的取值构成有序

实数对（x,y）,所有这样的有序实数对（x,y）构成的集合称为二元一次不等式（组）的解

集。

（4）二元一次不等式（组）的解集与平面直角坐标系内的点之间的关系：

二元一次不等式（组）的解集是有序实数对，而点的坐标也是有序实数对，因此，有序

实数对就可以看成是平面内点的坐标，进而，二元一次不等式（组）的解集就可以看成是

直角坐标系内的点构成的集合。

3.探究二元一次不等式（组）的解集表示的图形

（1）回忆、思考

回忆：初中一元一次不等式（组）的解集所表示的图形——数轴上的区间

思考：在直角坐标系内，二元一次不等式（组）的解集表示什么图形？

（2）探究

从特殊到一般:

先研究具体的二元一次不等式x-y<6的解集所表示的图形。斗

如图：在平面直角坐标系内，x-y=6表示一条直线。平面内所有的点被直线分成三类：4MS啰/匚“6

第一类：在直线x-y=6上的点；,".

第二类：在直线x-y=6左上方的区域内的点；一心湍’

第三类：在直线x-y=6右下方的区域内的点。#

设点是直线x-y=6上的点，选取点，使它的坐标满足不等式x-y<6,请同学们完成课本

第93页的表格,

横坐标X-3-2-10123

点P的纵坐标M

点A的纵坐标y2

并思考：

当点A与点P有相同的横坐标时，它们的纵坐标有什么关系？

根据此说说，直线x-y=6左上方的坐标与不等式x-y<6有什么关系？

直线x-y=6右下方点的坐标呢？

学生思考、讨论、交流，达成共识：

在平面直角坐标系中，以二元一次不等式x-y<6的解为坐标的点都在直线x-y=6

的左上方；反过来，直线x-y=6左上方的点的坐标都满足不等式x-y〈6。

因此，在平面直角坐标系中，不等式x-y<6表示直线x-y=6左上方的平面区域；如图。

类似的：二元一次不等式x-y>6表示直线x-y=6右下方的区域；如图。

直线叫做这两个区域的边界

由特殊例子推广到一般情况：

（3）结论：

二元一次不等式Ax^By^OQ在平面直角坐标系中表示直线力卢妍00某•侧所有点组

成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）

4.二元•次不等式表示哪个平面区域的判断方法

由于对在直线4k£伊+信0同一侧的所有点（x,y）,把它的坐标（）代入力广为+C,

所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（迎外），从Ax0+By0+C

的iE负即可判断力廿耻G>0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当"0时，常把原点

作为此特殊点）

【应用举例】

例1画出不等式x+4y<4表示的平面区域。

解：先画直线x+4），=4（画成虚线）.

取原点（0,0）,代入x+4.尸4,•.•0+4X0-4=-4V0,

原点在x+4y<4表示的平面区域内，不等式x+4y<4表示的区域如图:

归纳：画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法。特殊地,

当CW0时，常把原点作为此特殊点。

变式1、画出不等式4x-3y412所表示的平面区域。

变式2、画出不等式尤21所表示的平面区域。

例2用平面区域表示.不等式组1）‘<一"+12的解集。

[x<2y

分析：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不

等式所表示的平面区域的公共部分。

解：不等式y<-3x+12表示直线y=-3x+12右下方的区域，x<2y表示直线.

x=2y右上方的区域，取两区域重叠的部分，如图的阴影部分就表示原不等式组的解集。

归纳：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式悔一

所表示的平面区域的公共部分。

变式1、画出不等式（x+2y+l）（x—y+4）<0表示的平面区域。

变式2、由直线x+y+2=0,x+2），+l=0和2x+y+l=0围成的三角形区域（包括边

界）用不等式可表示为

3.随堂练习

1、课本第97页的练习1、2、3

4.课时小结

1.二元一次不等式表示的平面区域.

2.二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法.

3.二元一次不等式组表示的平面区域.

5.评价设计

课本第105页习题3.3［A］组的第1题

【板书设计】

【授后记】

第周第课时授课时间：20—年—月—日（星期_）

课题：§3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域

第2课时

授课类型：新授课

【教学目标】

1.知识与技能：巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域；能根据实际

问题中的已知条件，找出约束条件；

2.过程与方法：经历把实际问题抽象为数学问题的过程，体会集合、化归、数形结合的数

学思想；

3.情态与价值：结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生

创新。

【教学重点】

理解二元一次不等式表示平面区域并能把不等式（组）所表示的平面区域画出来；

【教学难点】

把实际问题抽象化，用二元一次不等式（组）表示平面区域。

【教学过程】

1.课题导入

［复习引入］

二元一次不等式4户研00在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组

成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）

判断方法：由于对在直线及什曲建0同一侧的所有点（x,E，把它的坐标（x,y）代入

A^By^C,所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x。,％）,从

而。+如+C的正负即可判断4户砂G0表示直线哪•侧的平面区域.（特殊地，当今0时，

常把原点作为此特殊点）。

随堂练习1

2x+y-6>0

1、画出不等式2x+厂6<0表示的平面区域.2号应J

r?------------------>

3?x

2x+y-6=0

x-y+5>0

2、画出不等式组,x+y20表示的平面区域。

x<3

2.讲授新课

【应用举例】

例3某人准备投资1200万兴办一所完全中学，对教育市场进行调查后，他得到了下面的

数据表格（以班级为单位）：

学段班级学生人数配备教师数硬件建设/万元教师年薪/万元

初中45226/班2/人

高中40354/班2/人

分别用数学关系式和图形表示上述的限制条件。

解：设开设初中班x个，开设高中班y个，根据题意，总共招生班数应限制在20-30之间,

所以有204x+y<30

考虑到所投资金的限制，得至U26x+54y+2x2x+2x3y<l200

即x+2y<40

另外，开设的班数不能为负，则

把上面的四个不等式合在一起，得到：

"20<x+y<30

x+2y<4Q

x>0

.”0

用图形表示这个限制条件，得到如图的平面区域（阴影部分）

例4•个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐18t；

生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐It,硝酸盐15t,现库存磷酸盐10t、硝酸盐

66t,在此基础上生产两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面

区域。

解：设x,y分别为计划生产甲乙两种混合肥料的车皮数，于是满足以下条件:

4x+y<10

18x+15y<66

x>0

y>0

在直角坐标系中可表示成如图的平面区域（阴影部分）。

［补充例题］

例1、画出下列不等式表示的区域

(1)(x-y)(x->--l)<0；(2)x<\y\<2x

分析：（D转化为等价的不等式组；（2）注意到不等式的传递性，由得xNO,又

用-y代y，不等式仍成立，区域关于x轴对称。

fx-y>0x-y<0

解：（1）《nOVx-yWl或《"矛盾无解，故点（x,y）在一带形区域内

[x-y-1<0[x-y>1

（含边界）。

x—v<0

（2）由x«2x,得x»0；当y>0时，有《~点（x,y）在一条形区域内（边界）;

2尤一y20

当y«0,由对称性得出。

指出：把非规范形式等价转化为规范不等式组形式便于求解

2x-y-3>0

例2、利用区域求不等式组<2x+3y-6<0的整数解

3x-5y-15<0

分析：不等式组的实数解集为三条直线L:2x-y-3=0,，2：2x+3y-6=0,

4：3x—5y-15=0所围成的三角形区域内部（不含边界）。设，C/2=A，/,n/3=B,

Z2n/3=C,求得区域内点横坐标范围，取出x的所有整数值，再代回原不等式组转化为y

的一元不等式组得出相应的y的整数值。

解：设:2x—y—3=0,/2-2x+3y—6=0,I?：3x—5y—15=0，hcl2A,

15375I?

/,n/3=B,"eg=C,，A（n），5（0-3）,。（丁,一历）。于是看出区域内点的

y<-1

754

横坐标在（0,—）内，取x=l,2,3,当x=l时，代入原不等式组有<y<一今

193

12

y>---

I5

12

-y<>'<-1>得y=—2,...区域内有整点（1,-2）。同理可求得另外三个整点（2,0）,

(2,-1),(3,T)。

指出：求不等式的整数解即求区域内的整点是教学中的难点，它为线性规划中求最优整数解

作铺垫。常有两种处理方法，一种是通过打出网络求整点；另一种是本题解答中所采用的，

先确定区域内点的横坐标的范围，确定x的所有整数值，再代回原不等式组，得出y的一元

一次不等式组，再确定y的所有整数值，即先固定x,再用x制约y。

3.随堂练习2

1.(1)y>|x|+1：(2).|x|>|y|；(3).x>|y|

x+y-6>0

x-y>0.

2.画出不等式组《表示的平面区域

)，43

x<5

3.课本第97页的练习4

4.课时小结

进一步熟悉用不等式(组)的解集表示的平面区域。

5.评价设计

1、课本第105页习题3.3[B]组的第1、2题

【板书设计】

【授后记】

第周第课时授课时间：20—年—月—日(星期_)

课题：§3.3.2简单的线性规划

第3课时

授课类型：新授课

【教学目标】

1.知识与技能：使学生了解二元一次不等式表示平面区域；了解线性规划的意义以及约束

条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；了解线性规划问题的图解法，并能

应用它解决一些简单的实际问题；

2.过程与方法：经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力；

3.情态与价值：培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学

思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力。

【教学重点】

用图解法解决简单的线性规划问题

【教学难点】

准确求得线性规划问题的最优解

【教学过程】

1.课题导入

［复习提问］

1、二元一次不等式Ax+By+OQ在平面直角坐标系中表示什么图形？

2、怎样画二元一次不等式(组)所表示的平面区域？应注意哪些事项？

3、熟记“直线定界、特殊点定域”方法的内涵。

2.讲授新课

在现实生产、生活中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题。

1、下面我们就来看有关与生产安排的一个问题：

引例：某工厂有A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗

时lh,每生产件乙产品使用4个B配件耗时2h,该厂每天最多可从配件厂获得16个A配

件和12个B配件，按每天8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？

(1)用不等式组表示问题中的限制条件：

设甲、乙两种产品分别生产x、y件，又已知条件可得二元一次不等式组：

x+2y<8

4x416

<4>'<12...............................................

x>0

y>0

...............(1)

(2)画出不等式组所表示的平面区域：

如图，图中的阴影部分的整点(坐标为整数的点)就代表所有可能的日生产安排。

(3)提出新问题：

进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利

润最大？

(4)尝试解答：

设生产甲产品x件，乙产品y件时，工厂获得的利润为z,则z=2x+3y.这样，上述问题就转

化为：

当x,y满足不等式(1)并且为非负整数时，z的最大值是多少？

77

把z=2x+3y变形为y=—§7x+：,这是斜率为—2在y轴上的截距为1的直线。当z

变化时，可以得到一族互相平行的直线，如图，由于这些直线的斜率是确定的，因此只要给

定一个点，(例如(1,2)),就能确定一条直线(y=——x+—),这说明，截距三可以由

333

27

平面内的一个点的坐标唯一确定。可以看到，直线y=--x+三与不等式组(1)的区域的

33

交点满足不等式组(1),而且当截距工最大时，z取得最大值。因此，问题可以转化为当直

3

27

线丫=――X+工与不等式组(1)确定的平面区域有公共点时，在区域内找一个点P,使直

33

线经过点P时截距工最大。

3

(5)获得结果:

27

由上图可以看出，当实现y=——x+2金国直线x=4与直线x+2y-8=0的交点M(4,2)

33

714

时，截距三的值最大，最大值为一，这时2x+3y=14.所以，每天生产甲产品4件，乙产品

33

2件时，工厂可获得最大利润14万元。

2、线性规划的有关概念：

①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量心y的约束条件，这组约束条

件都是关于小y的一次不等式，故又称线性约束条件.

②线性目标函数：

关于x、y的一次式右2卢y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫

线性目标函数.

③线性规划问题：

一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划

问题.

④可行解、可行域和最优解：

满足线性约束条件的解(x,y)叫可行解.

由所有可行解组成的集合叫做可行域.

使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解.

3、变换条件，加深理解

探究：课本第100页的探究活动

(1)在上述问题中，如果生产一件甲产品获利3万元，每生产一件乙产品获利2万元，

有应当如何安排生产才能获得最大利润？在换几组数据试试。

(2)有上述过程，你能得出最优解与可行域之间的关系吗？

3.随堂练习

1.请同学们结合课本凡3练习1来掌握图解法解决简单的线性规划问题.

(1)求的最大值，使式中的x、y满足约束条件<x+y<1,

y>-1.

解：不等式组表示的平面区域如图所示:

当A=0,y=0时，z=2x^-y=0

点(0,0)在直线/0:2户产。上.

作一组与宜线平行的直线

I：2矛+尸。ceR.

可知，在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于/的直线中，以经过点4(2,

-1)的直线所对应的f最大.

所以Zgx=2X2T=3.

(2)求2=3户5y的最大值和最小值，使式中的x、y满

5x+3y<15,

足约束条件<>'<%+1,

x-5y>3.

解：不等式组所表示的平面区域如图所示：

从图示可知，直线3户5产/在经过不等式组所表示的公

共区域内的点时，以经过点(-2,-1)的直线所对应的f最

小，以经过点(乙9二17)的直线所对应的t最大.

88

所以ZM„=3X(-2)+5X(-1)=-11.

917

z„x=3X-+5X—=14

88

4.课时小结

用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：

(1)寻找线性约束条件，线性目标函数；

(2)由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；

(3)在可行域内求目标函数的最优解

5.评价设计要本第105页习题［A］组的第2题.

【板书设计】

【授后记】

课题：§3.3.2简单的线性规划

第4课时

授课类型：新授课

【教学目标】

1.知识与技能：掌握线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；

2.过程与方法：经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力；

3.情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理

论与实际相结合的科学态度和科学道德。

【教学重点】

利用图解法求得线性规划问题的最优解；

【教学难点】

把实际问题转化成线性规划问题，并给出解答，解决难点的关键是根据实际问题中的已知条

件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解。

【教学过程】

1-课题导入

［复习引入］:

1、二元一次不等式Ax+B^OO在平面直角坐标系中表示直线Ax+B^C=0某一侧所有点

组成的平面区域（虚线表示区域不包括边界直线）

2、目标函数，线性目标函数，线性规划问题，可行解，可行域，最优解：

2.讲授新课

线性规划在实际中的应用：

线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用，一是在人力、物力、资金等资源一

定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，

能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务

下面我们就来看看线性规划在实际中的一些应用：

［范例讲解］

例5营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物,0.06kg

的蛋白质,0.06kg的脂肪，1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白质,

0.14kg脂肪,花费28元;而1kg食物B含有0.105kg碳水化合物,0.14kg蛋白

质，0.07kg脂肪，花费21元。为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使

花费最低，需要同时食用食物A和食物B多少kg?

指出：要完成一项确定的任务,如何统筹安排,尽量做到用最少的资源去完成它,这是线性规

划中最常见的问题之一.

例6在上一节例3中，若根据有关部门的规定，初中每人每年可收取学费1600元，

高中每人每年可收取学费2700元。那么开设初中班和高中班各多少个，每年收

取的学费总额最高多？

指出：资源数量一定,如何安排使用它们，使得效益最好,这是线性规划中常见的问题之一

结合上述两例子总结归纳一下解决这类问题的思路和方法：

简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以

什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：

（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；

（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；

（3）在可行域内求目标函数的最优解

3.随堂练习

课本第103页练习2

4.课时小结

线性规划的两类重要实际问题的解题思路：

首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数。然后，用

图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解，最后,

要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解。

5.评价设计

课本第105页习题3.3［A］组的第3题

【板书设计】

【授后记】

课题：§3.3.2简单的线性规划

第5课时

授课类型：新授课

【教学目标】

1.知识与技能：掌握线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；

2.过程与方法：经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力；

3.情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理

论与实际相结合的科学态度和科学道德。

【教学重点】

利用图解法求得线性规划问题的最优解；

【教学难点】

把实际问题转化成线性规划问题，并给出解答，解决难点的关键是根据实际问题中的已知条

件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解。

【教学过程】

1.课题导入

［复习引入］:

1、二元一次不等式AxiBy^OO在平面直角坐标系中表示直线Ax+By^（=Q某一侧所有点

组成的平面区域（虚线表示区域不包括边界直线）

2、目标函数，线性目标函数，线性规划问题，可行解，可行域，最优解：

3、用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：

2.讲授新课

1.线性规划在实际中的应用：

例7在上一节例4中，若生产1车皮甲种肥料，产生的利润为10000元；生产1车

皮乙种肥料，产生的利润为5000元，那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮,

能够产生最大的利润？

2.课本第104页的“阅读与思考”——错在哪里？

若实数X,y满足，一求4x+2y的取值范围.

.一xy-

错解：由①、②同向相加可求得：

0W2xW4即0<4x<8③

由②得一lWy-xWl

将上式与①同向相加得0W2yW4④

③十④得0W4x十2yW12

以上解法正确吗？为什么？

(1)［质疑］引导学生阅读、讨论、分析.

⑵［辨析］通过讨论，上述解法中，确定的0W4xW8及0W2yW4是对的，但用x的最大(小)

值及y的最大(小)值来确定4%+2y的最大(小)值却是不合理的.X取得最大(小)值时，

y并不能同时取得最大(小)值。由于忽略了x和y的相互制约关系，故这种解法不正确.

(3)［激励］产生上述解法错误的原因是什么?此例有没有更好的解法?怎样求解？

正解：

因为4x+2y=3(x+y)+(x-y)

且由已有条件有：343(x+y)49(5)

-l<x-y<l(6)

将(5)(6)两式相加得244x+2y=3(x+y)+(x-y)410

所以244x+2y410

3.随堂练习1

'x+y<2

1、求2=%->的最大值、最小值，使x、y满足条件N0

y>0

x-4y<-3

2、设z=2x+y,式中变量x、y满足<3x+5y<25

x>\

4.课时小结

［结论一］线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得.

［结论二］线性目标函数的最大值、最小值也可能在可行域的边界上取得，即满足条件的最优

解有无数多个.

5.严力•爱才课本第105页习题3.3[A]组的第4题

【板书设计】

【授后记】

课题：§3.4基本不等式而

2

第1课时

授课类型：新授课

【教