高一数学课堂抄重点讲义(人教A版2019必修第二册)10.1.2事件的关系和运算(讲义+例题+小练)(原卷版+解析)

10.1.2事件的关系和运算（讲义+例题+小练）1、包含关系一般地，对于事件与事件，如果事件发生时，事件一定发生，则我们称事件包含事件（或称事件包含于事件），记作（或）.2、相等关系一般地，对于事件与事件，如果事件发生时，事件一定发生，并且如果事件发生时，事件一定发生，即若且，则我们称事件与事件相等，记作.3、并事件如果某事件发生当且仅当事件或事件发生，则我们称该事件为事件与事件的并事件（或和事件），记作（或）.4、交事件如果某事件发生当且仅当事件发生且事件也发生，则我们称该事件为事件与事件的交事件（或积事件），记作（或）.例1：1．打靶次，事件表示“击中发”，其中、、、.那么表示（

）A．全部击中 B．至少击中发C．至少击中发 D．以上均不正确2．抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件，“向上的点数是2或3”为事件，则（

）A．B．C．表示向上的点数是1或2或3D．表示向上的点数是1或2或33．抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件“出现的点数是1或2”，事件“出现的点数是2或3或4”，则事件“出现的点数是2”可以记为（

）A． B． C． D．4．抛掷一枚骰子，观察掷出的点数，若事件，事件，求事件，.5．掷一枚骰子，给出下列事件：“出现奇数点”，“出现偶数点”，“出现的点数小于3”.求：（1），；（2），.举一反三1．甲、乙两个元件构成一串联电路，设=“甲元件故障”，=“乙元件故障”，则表示电路故障的事件为A． B． C． D．2．掷一枚均匀的骰子，观察朝上的面的点数.记事件“点数为奇数”，事件“点数大于4”，则事件（

）A．“点数为3” B．“点数为4”C．“点数为5” D．“点数为6”3．同时抛掷两枚硬币，“向上面都是正面”为事件M，“至少有一枚的向上面是正面”为事件N，则有（

）A． B． C． D．4．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，事件M＝{(2，6)，(3，5)，(4，4)，(5，3)，(6，2)}，则事件M的含义是______________________．5．从一箱产品中随机地抽取出一件产品，设事件“抽到的是一等品”，事件“抽到的是二等品”，事件“抽到的是三等品”，试用，，表示下列事件：（1）事件“抽到的是一等品或二等品”；（2）事件“抽到的是二等品或三等品”.6．先后掷一个骰子两次，观察出现的面的点数，记事件A：点数之和等于5，事件B：最大点数为4，试用集合表示事件A，B，，.5、互斥事件如果事件与事件的交事件为不可能事件（即），则我们称事件与事件互斥，其含义是：事件与事件在任何一次试验中都不会同时发生.互斥事件的概率加法公式（1）两个互斥事件的概率之和如果事件与事件互斥，那么；（2）有限多个互斥事件的概率之和一般地，如果事件，，…，两两互斥，那么事件“发生”（指事件，，…，中至少有一个发生）的概率等于这个事件分别发生的概率之和，即.【注】上述这两个公式叫作互斥事件的概率加法公式.在运用互斥事件的概率加法公式时，一定要首先确定各事件是否彼此互斥（如果这个条件不满足，则公式不适用），然后求出各事件分别发生的概率，再求和.例2：1．若事件A与B互为互斥事件，，则（

）A． B． C． D．2．甲、乙两个同学下棋，若甲获胜的概率为0.2，甲、乙下成和棋的概率为0.5，则甲不输的概率为________．3．某地区年降水量d（单位：mm）在下列范围内的概率p如下表：dp0.120.260.380.160.08(1)求年降水量在（单位：mm）内的概率；(2)若年降水量（mm）就可能发生涝灾，求该地区发生涝灾的概率．举一反三1．甲，乙两人下棋，甲不输的概率是0.8，两人下成平局的概率是0.5，则甲胜的概率是（

）A． B． C． D．2.从一批产品中取出三件产品，设事件A为“三件产品全不是次品”，事件B为“三件产品全是次品”，事件C为“三件产品至少有一件是次品”，则下列结论正确的是（）A．B与C互斥 B．任何两个均互斥C．A与C互斥 D．任何两个均不互斥3．甲､乙两人下象棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲输的概率为（

）A． B． C． D．6、对立事件如果事件与事件的交事件为不可能事件（即），而事件与事件的并事件为必然事件（即），则我们称事件与事件互为对立事件，其含义是：事件与事件在任何一次试验中有且仅有一个发生.对立事件的概率加法公式对于对立的两个事件与而言，由于在一次试验中，事件与事件不会同时发生，因此事件与事件互斥，并且，即事件或事件必有一个发生，所以对立事件与的并事件发生的概率等于事件发生的概率与事件发生的概率之和，且和为，即，或.【注】上述这个公式为我们求事件的概率提供了一种方法，当我们直接求有困难时，可以转化为先求其对立事件的概率，再运用公式即可求出所要求的事件的概率.例3：1．某人打靶时连续射击两次，下列事件与事件“至多一次中靶”互为对立的是（

）A．至少一次中靶 B．两次都中靶C．只有一次中靶 D．两次都没有中靶2．若某群体中的成员不用现金支付的概率为0.4，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则只用现金支付的概率为（

）A． B． C． D．3．从40张扑克牌(红桃､黑桃､方块､梅花，点数从1~10各1张)中，任取一张.（1）“抽出红桃”与“抽出黑桃”；（2）“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；（3）“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”.判断上面给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由.举一反三1．下列几对事件是对立事件的是（

）A．与（） B．与（）C．与（） D．与（）2．在10件产品中有8件一级品，2件二级品，从中任取3件，若记“3件都是一级品”为事件A，则A的对立事件是___________.3．一只不透明的口袋中装有若干个大小一样的红球、黄球与蓝球，若从中随机摸出一个球，则摸出红球的概率为0.45，摸出黄球的概率为0.33．求：(1)摸出红球或黄球的概率；(2)摸出蓝球的概率．4．某连锁火锅城开业之际，为吸引更多的消费者，开展抽奖活动，前20位顾客可参加如下活动：摇动如图所示的游戏转盘(上面扇形的圆心角都相等)，顾客可以免费获得按照指针所指区域的数字10倍金额的店内菜品或饮品，最高120元，每人只能参加一次这个活动．记事件A：“获得不多于30元菜品或饮品”．（1）求事件A包含的基本事件；（2）写出事件A的对立事件，以及一个事件A的互斥事件．巩固提升一、单选题1．从，，，这个数中，任取个数求和，那么“这个数的和大于”为事件，“这个数的和为偶数”为事件，则和包含的样本点数分别为（

）A．; B．;C．; D．;2．某人在打靶中，连续射击3次，至多有一次中靶的互斥不对立事件是（

）A．至少有一次中靶 B．三次都不中靶C．恰有两次中靶 D．至少两次中靶3．如果事件A，B互斥，那么（

）A．A∪B是必然事件 B．∪是必然事件C．与一定互斥 D．与一定不互斥4．已知事件A与事件B是互斥事件，则（

）A． B．C． D．5．某产品分为甲、乙、丙三级，其中甲级为正品，乙、丙两级均属次品．从等级分别为甲、乙、丙的三件产品中任取一件，抽到甲、乙、丙三级产品分别为事件A，B，C，则抽得次品为（

）A．A B．C． D．6．抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“向上的点数为”，其中，“向上的点数为偶数”，则下列说法正确的是（

）A． B． C．与互斥 D．与对立二、多选题7．从1至9这9个自然数中任取两个，有如下随机事件：A=“恰有一个偶数”，B=“恰有一个奇数”，C=“至少有一个是奇数”，D=“两个数都是偶数”，E=“至多有一个奇数”.下列结论正确的有（

）A． B．C． D．，8．一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球，每次摸出一个球，设事件“第一次摸到红球”，“两次都摸到红球”，“两次都摸到绿球”，“两球颜色相同”，“两球颜色不同”，则（

）A． B． C． D．三、填空题9．某购物网站开展一种商品的预约购买，规定每个手机号只能预约一次，预约后通过摇号的方式决定能否成功购买到该商品，规则如下：（i）摇号的初始中签率为0.18；（ii）当中签率不超过1时，可借助“好友助力”活动增加中签率，每邀请到一位好友参与“好友助力”活动可使中签率增加0.06．为了使中签率超过0.88，则至少需要邀请______位好友参与到“好友助力”活动．10．每年5月17日为国际电信日，某市电信公司每年在电信日当天对办理应用套餐的客户进行优惠，优惠方案如下：选择套餐1的客户可获得优惠200元，选择套餐2的客户可获得优惠500元，选择套餐3的客户可获得优惠300元．根据以往的统计结果绘出电信日当天参与活动的统计图，现将频率视为概率．则某两人选择同一套餐的概率为________．【答案】四、解答题11．从装有5个红球、5个白球的袋中任意取出3个球，判断下列每对事件是不是互斥事件，是不是对立事件．(1)“取出3个红球”与“取出3个球中至少有1个白球”；(2)“取出2个红球和1个白球”与“取出3个红球”；(3)“取出3个红球”与“取出的球中至少有1个红球”．【答案】(1)是互斥事件，也是对立事件；(2)是互斥事件，但不是对立事件；(3)既不是互斥事件，也不是对立事件.12．如图是某班级50名学生订阅数学、语文、英语学习资料的情况，其中A表示订阅数学学习资料的学生，B表示订阅语文学习资料的学生，C表示订阅英语学习资料的学生．(1)从这个班任意选择一名学生，用自然语言描述1，4，5，8各区域所代表的事件；(2)用A，B，C表示下列事件：①至少订阅一种学习资料；②恰好订阅一种学习资料；③没有订阅任何学习资料.10.1.2事件的关系和运算（讲义+例题+小练）1、包含关系一般地，对于事件与事件，如果事件发生时，事件一定发生，则我们称事件包含事件（或称事件包含于事件），记作（或）.2、相等关系一般地，对于事件与事件，如果事件发生时，事件一定发生，并且如果事件发生时，事件一定发生，即若且，则我们称事件与事件相等，记作.3、并事件如果某事件发生当且仅当事件或事件发生，则我们称该事件为事件与事件的并事件（或和事件），记作（或）.4、交事件如果某事件发生当且仅当事件发生且事件也发生，则我们称该事件为事件与事件的交事件（或积事件），记作（或）.例1：1．打靶次，事件表示“击中发”，其中、、、.那么表示（

）A．全部击中 B．至少击中发C．至少击中发 D．以上均不正确【答案】B【解析】【分析】利用并事件的定义可得出结论.【详解】所表示的含义是、、这三个事件中至少有一个发生，即可能击中发、发或发.故选：B.2．抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件，“向上的点数是2或3”为事件，则（

）A．B．C．表示向上的点数是1或2或3D．表示向上的点数是1或2或3【答案】C【解析】【分析】根据题意，可得，求得，即可求解．【详解】由题意，可知，则，∴表示向上的点数为1或2或3．故选：C.3．抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件“出现的点数是1或2”，事件“出现的点数是2或3或4”，则事件“出现的点数是2”可以记为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据事件和事件，计算，，根据结果即可得到符合要求的答案.【详解】由题意可得：，，，.故选B.【点睛】本题主要考查的是古典概型的基本事件，考查交事件和并事件，需要借助于集合的运算，集合与集合的关系来解决，是基础题.4．抛掷一枚骰子，观察掷出的点数，若事件，事件，求事件，.【答案】，.【解析】【分析】利用随机事件的运算，求，.【详解】由题设，，.5．掷一枚骰子，给出下列事件：“出现奇数点”，“出现偶数点”，“出现的点数小于3”.求：（1），；（2），.【答案】（1），“出现2点”.（2）“出现1，2，3，4，5或6点”，“出现1，2，4或6点”.【解析】根据题意表示出集合，再求（1），；（2），即可.【详解】由题意知：“出现奇数点”，“出现偶数点”，“出现的点数小于3”，（1），出现2点”；（2）“出现1，2，3，4，5或6点”，“出现1，2，4或6点”.【点睛】本题主要考查的是古典概型的基本事件，考查交事件和并事件，需要借助于集合的运算，集合与集合的关系来解决，是基础题.举一反三1．甲、乙两个元件构成一串联电路，设=“甲元件故障”，=“乙元件故障”，则表示电路故障的事件为A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根据题意，可知串联电路中，甲元件故障或者乙元件故障，都会造成电路故障，根据并事件的定义，即可得出答案.【详解】解：由题意知，甲、乙两个元件构成一串联电路，=“甲元件故障”，=“乙元件故障”，根据串联电路可知，甲元件故障或者乙元件故障，都会造成电路故障，所以电路故障的事件为：.故选：A.【点睛】本题考查对并事件的理解，属于基础题.2．掷一枚均匀的骰子，观察朝上的面的点数.记事件“点数为奇数”，事件“点数大于4”，则事件（

）A．“点数为3” B．“点数为4”C．“点数为5” D．“点数为6”【答案】C【解析】【分析】根据题意分别列举事件，再利用交事件即可得解.【详解】由题意，可知，，即事件“点数为5”故选：C3．同时抛掷两枚硬币，“向上面都是正面”为事件M，“至少有一枚的向上面是正面”为事件N，则有（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】列出事件N包含的结果再分析与事件M的关系即可.【详解】事件N包含两种结果：“向上面都是正面”和“向上面是一正一反”.所以当M发生时,事件N一定发生,则有.故选：A.【点睛】本题主要考查了事件的包含关系,属于基础题型.4．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，事件M＝{(2，6)，(3，5)，(4，4)，(5，3)，(6，2)}，则事件M的含义是______________________．【答案】抛掷一枚质地均匀的骰子两次，向上点数之和为8【解析】【分析】根据事件可归纳出M的含义.【详解】抛掷一枚质地均匀的骰子两次,事件M＝{(2，6)，(3，5)，(4，4)，(5，3)，(6，2)}，归纳可知，事件M的含义是：抛掷一枚质地均匀的骰子两次，向上点数之和为8的事件.故答案为：抛掷一枚质地均匀的骰子两次，向上点数之和为85．从一箱产品中随机地抽取出一件产品，设事件“抽到的是一等品”，事件“抽到的是二等品”，事件“抽到的是三等品”，试用，，表示下列事件：（1）事件“抽到的是一等品或二等品”；（2）事件“抽到的是二等品或三等品”.【答案】（1）.（2）.【解析】根据题意可知（1）事件是事件与事件的并；（2）事件是事件与事件的并，即可表示出来.【详解】（1）事件“抽到的是一等品”，事件“抽到的是二等品”，又事件“抽到的是一等品或二等品”，；（2）事件“抽到的是二等品”，事件“抽到的是三等品”，又事件“抽到的是二等品或三等品”，.【点睛】本题主要考查的是交事件（积事件）与并事件（和事件）的理解和应用，是基础题.6．先后掷一个骰子两次，观察出现的面的点数，记事件A：点数之和等于5，事件B：最大点数为4，试用集合表示事件A，B，，.【答案】，.，.【解析】利用事件的定义直接用列举法写出即可.【详解】根据题意，事件，事件，事件，事件.【点睛】5、互斥事件如果事件与事件的交事件为不可能事件（即），则我们称事件与事件互斥，其含义是：事件与事件在任何一次试验中都不会同时发生.互斥事件的概率加法公式（1）两个互斥事件的概率之和如果事件与事件互斥，那么；（2）有限多个互斥事件的概率之和一般地，如果事件，，…，两两互斥，那么事件“发生”（指事件，，…，中至少有一个发生）的概率等于这个事件分别发生的概率之和，即.【注】上述这两个公式叫作互斥事件的概率加法公式.在运用互斥事件的概率加法公式时，一定要首先确定各事件是否彼此互斥（如果这个条件不满足，则公式不适用），然后求出各事件分别发生的概率，再求和.例2：1．若事件A与B互为互斥事件，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】利用互斥事件概率公式即得.【详解】∵事件A与B互为互斥事件，，∴.故选：D.2．甲、乙两个同学下棋，若甲获胜的概率为0.2，甲、乙下成和棋的概率为0.5，则甲不输的概率为________．【答案】0.7【解析】【分析】利用互斥事件的概率加法公式即可求解.【详解】解：因为甲不输包含两种情况：甲获胜与甲、乙两人下成和棋，且它们是互斥事件，所以根据互斥事件的概率加法公式可得：甲不输的概率P=0.2+0.5=0.7．故答案为：0.7．3．某地区年降水量d（单位：mm）在下列范围内的概率p如下表：dp0.120.260.380.160.08(1)求年降水量在（单位：mm）内的概率；(2)若年降水量（mm）就可能发生涝灾，求该地区发生涝灾的概率．【答案】(1)0.64(2)0.24【解析】【分析】由互斥事件的概率加法公式计算即可得答案(1)解：设事件A={年降水量在[800，1200）内}，则事件A包含两个互斥事件：B={年降水量在[800，1000）内}，C={年降水量在[1000，1200）内}，∴P（A）=P（B）+P（C）=0.26+0.38=0.64，∴年降水量在[800，1200）内的概率为0.64；(2)解：设事件D={年降水量≥1200}，则事件D包含两个互斥事件：E={年降水量在[1200，1400）内}，F={年降水量在[1400，1600）内}，∴P（D）=P（E）+P（F）=0.16+0.08=0.24，∴该地区可能发生涝灾的概率为0.24.举一反三1．甲，乙两人下棋，甲不输的概率是0.8，两人下成平局的概率是0.5，则甲胜的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】甲不输分为甲胜乙和甲乙下成平局两种情况，其中甲胜乙和甲乙下成平局是互斥事件，根据互斥事件的概率加法公式进行求解即可.【详解】甲不输棋的设为事件A，甲胜乙设为事件B，甲乙下成平局设为事件C，则事件A是事件B与事件C的和，显然B、C互斥，所以，而，，所以，所以甲胜的概率是0.3故选:B2.从一批产品中取出三件产品，设事件A为“三件产品全不是次品”，事件B为“三件产品全是次品”，事件C为“三件产品至少有一件是次品”，则下列结论正确的是（）A．B与C互斥 B．任何两个均互斥C．A与C互斥 D．任何两个均不互斥【答案】C【分析】根据互斥事件的定义可判断出结果.【详解】事件包含事件，故、错误；事件与事件没有相同的事件，故正确，错误.故选：.【点睛】本题考查互斥事件的判断，属于基础题.3．甲､乙两人下象棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲输的概率为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】记“两人下成和棋”为事件，“甲获胜”为事件，则互斥，则甲不输即为事件，由互斥事件的概率公式可得：，结合条件，即可求得答案.【详解】记“两人下成和棋”为事件，“甲获胜”为事件，则互斥，则则甲不输即为事件，由互斥事件的概率公式可得，则甲输的概率是故选：A6、对立事件如果事件与事件的交事件为不可能事件（即），而事件与事件的并事件为必然事件（即），则我们称事件与事件互为对立事件，其含义是：事件与事件在任何一次试验中有且仅有一个发生.对立事件的概率加法公式对于对立的两个事件与而言，由于在一次试验中，事件与事件不会同时发生，因此事件与事件互斥，并且，即事件或事件必有一个发生，所以对立事件与的并事件发生的概率等于事件发生的概率与事件发生的概率之和，且和为，即，或.【注】上述这个公式为我们求事件的概率提供了一种方法，当我们直接求有困难时，可以转化为先求其对立事件的概率，再运用公式即可求出所要求的事件的概率.例3：1．某人打靶时连续射击两次，下列事件与事件“至多一次中靶”互为对立的是（

）A．至少一次中靶 B．两次都中靶C．只有一次中靶 D．两次都没有中靶【答案】B【解析】【分析】直接利用对立事件的定义判断即可.【详解】由已知条件得∵事件“至多一次中靶”包含事件两次都未中靶和两次只有一次中靶，∴事件“至多一次中靶”的对立事件为“两次都中靶”，故选：.2．若某群体中的成员不用现金支付的概率为0.4，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则只用现金支付的概率为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】利用对立事件的概率公式求解.【详解】设事件A：只用现金支付；事件B:既用现金支付也用非现金支付；事件C：只用非现金支付，则，又由条件有，所以.故选：C.3．从40张扑克牌(红桃､黑桃､方块､梅花，点数从1~10各1张)中，任取一张.（1）“抽出红桃”与“抽出黑桃”；（2）“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；（3）“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”.判断上面给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由.【答案】（1）是互斥事件，不是对立事件，理由见解析；（2）既是互斥事件，又是对立事件，理由见解析；（3）不是互斥事件，也不是对立事件，理由见解析.【解析】【分析】利用互斥事件和对立事件的定义分别判断即可【详解】解：（1）是互斥事件，不是对立事件.理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件.同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件.（2）既是互斥事件，又是对立事件.理由是：从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”，两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件.（3）不是互斥事件，也不是对立事件.理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得牌点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件.举一反三1．下列几对事件是对立事件的是（

）A．与（） B．与（）C．与（） D．与（）【答案】D【解析】【分析】根据对立事件：“两事件不能同时发生但必发生其一”，即可判断.【详解】本题四个选项都是两个不等式，根据对立事件的定义，将选项的两个不等式看成两个集合，那么两个集合交集是空集，并集是的选项，只有D满足.故选：D.2．在10件产品中有8件一级品，2件二级品，从中任取3件，若记“3件都是一级品”为事件A，则A的对立事件是___________.【答案】3件至多有2件一级品【解析】【分析】根据对立事件的定义即可得到答案.【详解】“3件都是一级品”为事件A，则A的对立事件为“3件不都是一级品”，即为“3件至多有2件一级品”.故答案为：3件至多有2件一级品.3．一只不透明的口袋中装有若干个大小一样的红球、黄球与蓝球，若从中随机摸出一个球，则摸出红球的概率为0.45，摸出黄球的概率为0.33．求：(1)摸出红球或黄球的概率；(2)摸出蓝球的概率．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根据互斥事件的概率加法公式即可求解；（2）由对立事件的概率计算公式即可求解.(1)解：记事件为摸出一个红球，记事件为摸出一个蓝球，事件为摸出一个黄球，因为与是互斥事件，则摸出一个球是红球或黄球的概率；(2)解：事件与事件是对立事件，所以摸到蓝球的概率.4．某连锁火锅城开业之际，为吸引更多的消费者，开展抽奖活动，前20位顾客可参加如下活动：摇动如图所示的游戏转盘(上面扇形的圆心角都相等)，顾客可以免费获得按照指针所指区域的数字10倍金额的店内菜品或饮品，最高120元，每人只能参加一次这个活动．记事件A：“获得不多于30元菜品或饮品”．（1）求事件A包含的基本事件；（2）写出事件A的对立事件，以及一个事件A的互斥事件．【答案】（1）{获得10元菜品或饮品}，{获得20元菜品或饮品}，{获得30元菜品或饮品}；（2）事件A的对立事件是＝“获得多于30元但不多于120元菜品或饮品”，事件A的一个互斥事件为：“获得40元菜品或饮品”(答案不唯一)．【解析】【分析】（1）金额不多于30元的有10元，20元，30元三种；（2）除10元，20元，30元三种外的所有可能放在一起，即金额多于30元且不多于120元，其中任何一个或几个组成的事件都是与事件A互斥．【详解】（1）事件A包含的基本事件有：{获得10元菜品或饮品}，{获得20元菜品或饮品}，{获得30元菜品或饮品}；（2）事件A是获得不多于30元菜品或饮品，它的对立事件获得多于30元但不多于120元的菜品或饮品，即＝“获得多于30元但不多于120元菜品或饮品”，在获利的菜品或饮品不多于120元且多于30元中的任何一个都是与事件A互斥，如事件A的一个互斥事件为：“获得40元菜品或饮品”．【点睛】关键点点睛：本题考查互斥事件作对立事件的定义，掌握它们的定义是解题关键．对立事件是非此即彼的关系，互斥事件是不同发生的事件，但它们都包含在所研究的事件空间中．巩固提升一、单选题1．从，，，这个数中，任取个数求和，那么“这个数的和大于”为事件，“这个数的和为偶数”为事件，则和包含的样本点数分别为（

）A．; B．;C．; D．;【答案】C【解析】【分析】运用列举法进行列举样本点可得选项.【详解】解：从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，则试验的样本空间为Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)}．其中事件A包含的样本点有：(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共4个．事件B包含的样本点有：(1，3)，(2，4)，共2个．所以事件A＋B包含的样本点有：(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共5个；事件AB包含的样本点有：(2，4)，共1个．故选：C.2．某人在打靶中，连续射击3次，至多有一次中靶的互斥不对立事件是（

）A．至少有一次中靶 B．三次都不中靶C．恰有两次中靶 D．至少两次中靶【答案】C【解析】【分析】结合互斥事件，对立事件的概念逐一判断选项.【详解】解：至多一次中靶包含没有中靶和恰有一次中靶，A选项，至少一次中靶，包含恰有一次，两次，三次中靶三种情况，两者都包含了恰有一次中靶，故不是互斥事件，A错误；B选项，三次都不中靶也都包含在两个事件中，故不是互斥事件，B错误；C选项，恰有两次中靶，与题干事件不可能同时发生，也不对立，属于互斥不对立事件，C正确；D选项，为对立事件，故D错误.故选：C3．如果事件A，B互斥，那么（

）A．A∪B是必然事件 B．∪是必然事件C．与一定互斥 D．与一定不互斥【答案】B【解析】【分析】利用集合法判断.【详解】如图所示：因为事件A，B互斥，所以是必然事件，故选：B．4．已知事件A与事件B是互斥事件，则（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】根据互斥事件、对立事件、必然事件的概念可得答案.【详解】因为事件A与事件B是互斥事件，不一定是互斥事件，所以不一定为0，故A错误；因为，所以，而不一定为0，故B错误；因为事件A与事件B是互斥事件，不一定是对立事件，所以C错误；因为事件A与事件B是互斥事件，是必然事件，所以，故D正确.故选：D.5．某产品分为甲、乙、丙三级，其中甲级为正品，乙、丙两级均属次品．从等级分别为甲、乙、丙的三件产品中任取一件，抽到甲、乙、丙三级产品分别为事件A，B，C，则抽得次品为（

）A．A B．C． D．【答案】D【解析】【分析】根据事件的运算逐个判断即可.【详解】事件A为抽到一件正品，故A错误.事件为抽到乙的反面，即抽到正品，故B错误.事件为抽到丙的反面，即抽到正品，故C错误.事件为抽取甲级产品的反面，即抽到次品，故D正确.故选：D.6．抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“向上的点数为”，其中，“向上的点数为偶数”，则下列说法正确的是（

）A． B． C．与互斥 D．与对立【答案】C【解析】【分析】对于选项中的事件，分别写出对应的基本事件构成的集合，依次分析，即可【详解】对于A，，，∴，故A错误；对于B，，故B错误；对于C，与不能同时发生，是互斥事件，故C正确；对于D，，，与是互斥但不对立事件，故D错误；故选：C二、多选题7．从1至9这9个自然数中任取两个，有如下随机事件：A=“恰有一个偶数”，B=“恰有一个奇数”，C=“至少有一个是奇数”，D=“两个数都是偶数”，E=“至多有一个奇数”.下列结论正确的有（

）A． B．C． D．，【答案】ABD【解析】【分析】根据事件的包含关系，互斥事件，对立事件，判断选项.【详解】事件都指的是一奇一偶，故A正确；至少有一个奇数，指两个数是一奇一偶，或是两个奇数，所以，故B正确；至多有一个奇数指一奇一偶，或是两偶，此时事件有公共事件，故C错误；此时是对立事件，所以，.故选：ABD8．一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球，每次摸出一个球，设事件“第一次摸到红球”，“两次都摸到红球”，“两次都摸到绿球”，“两球颜色相同”，“两球颜色不同”，则（

）A． B． C． D．【答案】CD【解析】【分析】利用事件的含义及对立事件的定义，逐一分析各个选项判断作答.【详解】对于A，因“第一次摸到红球”，“两次都摸到红球”，则，A不正确；对于B，“两次都摸到红球”，“两次都摸到绿球”，两个事件没有公共的基本事件，，B不正确；对于C，“两次都摸到红球”，“两次都摸到绿球”，“两球颜色相同”，R或G表示摸的两个球的颜色相同，即，C正确；对于D，“两球颜色相同”，“两球颜色不同”，由对立事件的定义知，D正确.故选：CD三、填空题9．某购物网站开展一种商品的预约购买，规定每个手机号只能预约一次，预约后通过摇号的方式决定能否成功购买到该商品，规则如下：（i）摇号的初始中签率为0.18；（ii）当中签率不超过1时，可借助“好友助力”活动增加中签率，每邀请到一位好友参与“好友助力”活动可使中签率增加0.06．为了使中签率超过0.88，则至少需要邀请______位好友参与到“好友助力”活动．【答案】【解析】【分析】首先理解题目中的规则，然后列出不等式，并解出不