新教材2022版数学湘教版必修第一册提升训练：全书综合测评

全书综合测评

（满分：150分;时间：120分钟）

一、单项选择题（本大题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的）

1.已知集合乂=以|-38<1}”={-3,-2,-1,0,1},则!4（"m=（）

A.{-2,-1,0,1}B.{-3,-2,-1,0}

C.{-2,-1,0}D.{-3,-2,-1}

2.从某企业生产的某种产品中随机抽取10件,测量这些产品的一项质量指标,其频

率分布表如下：

质量指标分组[10,30）[30,50）[50,70）

频率0.10.60.3

则可估计这批产品的质量指标的众数（以中点值代替），中位数分别为（）

A.30,431B.40,43C.40,431D.30,43

3.已知函数f（x）=ta、+?/X4*如果那么实数a的值是（）

（xa+2（x>0）,

A.0B.1

C.2D.3

4.某学校高一年级有1802人,高二年级有1600人，高三年级有1499人,现采用

比例分配的分层抽样方法从中抽取98名学生参加全国中学生禁毒知识竞赛，则在

高一、高二、高三三个年级中抽取的人数分别为（）

A.33,33,30B.36,32,30

C.36,33,29D.35,32,31

5.若函数y=f(x)的定义域是(0,4],则函数g(x)=f(x)+f(x2)的定义域是()

A.（0,2]B.（0,4]

C.（0,16]D.[-16,0）U（0,16]

6.已知a,b是实数，则“a>b〉0且c〈d〈0”是的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

7.小王从甲地到乙地再返回甲地,其往返的时速分别为a和b（a〈b）,其全程的平均

时速为V,则（）

A.a<v<VabB.v=Vab

C.V^b<v<^D.v①

22

8.函数y#的图象与函数y=2s力7"x（-2〈xW4）的图象所有交点的横坐标之和等

1-x

于（）

A.2B.4

C.6D.8

二、多项选择题（本大题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，

有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分）

9.下列命题是真命题的是（）

A.若基函数f（x）=x"的图象过点G，4）,贝Ua=-1

B.3xG（0,1）,Q）X>logix

C.VxE（0,+°°）,logix>logix

23

D.命题a3x^R,sinx+cosx<l"的否定是“VxWR,sinx+cosxNl”

10.已知函数/,(x)=&sin(2%+g,则下列结论正确的是()

A.函数f(x)的最小正周期为“

B.函数f(x)在[0,Ji]上有三个零点

C.当产引寸，函数f{x}取得最大值

D.为了得到函数/'(X)的图象，只需把函数片/sin(%+9图象上所有点的横坐标

变为原来的2倍(纵坐标不变)

11.设0<a<b,护房1,则下列结论正确的是()

A.a+4<bB.a<<32+6

C.a<2ab<-D.-<a+l/<-

242

12.下列判断不正确的是()

A.函数/Xx)」在定义域内是减函数

X

B.若g(x)是奇函数，则一定有g(0)=0

C.已知x>0,y>0,且三+工=1,若x+y〉/+3加恒成立，则实数力的取值范围是(-4,1)

xy

Q%—5(xv1)

q(x〉l)一'在(-8,+8)上是增函数，则a的取值范围是

X

[-3,-1]

三、填空题(本大题共4小题,每小题5分，共20分.将答案填在题中横线上)

13.下列调查的样本不合理的是.(填序号)

①某高中在校内发出一千张印有全校各班级的选票，要求被调查学生在其中一个

班级旁画“，以了解最受欢迎的教师是谁；

②为了解工人们对厂长的信任情况，通过选举从全厂10000多名工人中确定100

名代表,然后投票表决；

③为了解全市老年人的健康状况,到某老年公寓进行调查；

④为了解全班同学每天的睡眠时间,在每个小组中各随机选取3名学生进行调查.

14.已知函数g(x)=f(x)+V是奇函数，当x>0时，函数Ax)的图象与函数片logzx的

图象关于直线片x对称,则g(T)+g(-2)=.

15.若不等式土产Na对X2恒成立,则a的最大值为

16.关于x的方程g(x)=t(t£R)的实数根个数记为f(t).

(1)若g(x)=x+l,贝/■(t)=;

⑵若g(x)=卜；，，，、n(aeR),存在匕使得At+2)>At)成立,则a的取

值范围是.(本小题第一空2分,第二空3分)

四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步

骤)

2

17.(本小题满分10分)⑴计算：(2+知、+21og32-log3g-5iog259；

(2)已知角。的终边经过点加求一sinf-+a)♦cosJ(--a)的值.

cos(n+a)

18.(本小题满分12分)已知全集为R,集合4={久£用端|>0},庐{X£

R|2/-(a+10)户5a<0}.

(1)若住G4求实数a的取值范围.

(2)从下面所给的三个条件中选择一个,说明它是BQQVA的什么条件.

①a®[-7,⑵；②(-7,12];③a£(6,12].

19.(本小题满分12分)已知不等式aV+2ax+120对任意x£R恒成立,解关于x的

不等式*-才-才+水0.

20.（本小题满分12分）2021年4月23日“世界读书日”来临时，某校为了解中学

生课外阅读情况，随机抽取了100名学生，并获得了他们一周课外阅读时间（单位:

小时）的数据，整理得到下表.

组号分组频数频率

1[0,5)50.05

2[5,10)a0.35

3[10,15)30b

4[15,20)200.20

5[20,25]100.10

合计1001

（D求a,6的值,并在下图中作出这些数据的频率分布直方图；（用阴影涂黑）

频率

组距

0.08

U.U/.....

0.06.....

0.05

0.04

0.03.....

0.02.....

0.01一

一—LJ___.

0510152025时间〃、时

（2）根据频率分布直方图估计该组数据的众数及中位数（中位数精确到0.01）;

（3）现从第4、5组中用分层抽样的方法抽取6人参加校中华诗词比赛,经过比赛后,

第4组得分的平均数元=7,方差$2=2,第5组得分的平均数歹=7,方差t2=l,则这6人

得分的平均数值和方差小分别为多少（方差精确到0.01）?

21.(本小题满分12分)已知定义在R上的函数F(x)=2'-a•2」(a£R).

(1)当a〉0时,试判断f(x)在(1,+8)上的单调性,并给予证明；

⑵当a=l时，试求g(x)」吟的最小值.

f{x)

22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=V^sin(2QX+0)+1(3>0,<0<»函

数f(x)的图象经过点(3，1)且广(X)的最小正周期为今

(1)求函数f(x)的解+析式；

(2)将函数片/'(x)图象上所有的点向下平移1个单位长度,再将函数图象上所有点

的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变,然后将图象上所有的点的横坐标不变,纵坐

标变为原来的手倍，得到函数片力(x)的图象，令函数g(x)=〃x)+l,若片g(x)在

[a,6](a,Z?eR且a<t>)上至少有30个零点,求b-a的最小值；

⑶若电+百[/(W)-明+3gcos启0对任意xW[0,2n]恒成立，求实数m

的取值范围.

答案全解全析

一、单项选择题

1.C因为集合沪{x|-3<Kl},沪{-3,-2,-1,0,1},所以"C沪{0,-1,-2},故选C.

2.C根据题中频率分布表可知，频率最大的分组为[30,50),...众数为40.设中位

数为x,则0.1+^X0.6=0,5,解得尸43条即中位数为43.故选C.

0••・函数6m羽'

f(T)=3+1=4,AA-l))=/(4)=4"+2=18,解得a=2.

4.B先将每个年级的人数凑整,得高一年级有1800人,高二年级有1600人,高

三年级有1500人,三个年级的总人数为1800+1600+1500=4900,

则每个年级人数占总人数的比例分别为当多抵

494949

因此,各年级抽取的人数分别为98X*36,98X*32,98xi1=30,故选B.

494949

5.A\•函数f(x)的定义域为(0,4],

•止抬得口胃或―,即。《

则函数g(x)的定义域为(0,2],故选A.

6.Ac<(7<0^-<-<0=>-->-->0,

dcdc

又a>b>0,充分性成立，

dcdc

反过来,不妨取a--l,d=l,b=l,c=2,则白色，但a>b>0且c<<7<0不成立,故必要性不成

dc

立,故选A.

7.A设甲、乙两地相距S,则平均时速胃嗡

.・/,.2ab、2ab

・a<b,・・--?---二a,

a+bb+b

又O6>2V^,

/一r

•••la亦b/福2ab印访

a<XVaF,故选A.

8.D由于函数尸J-与函数产2sin冗x（-2WxW4）的图象均关于点（1,0）成中心

l-x

对称，结合图象可知两函数共有8个交点，则有不+趣=2X

1=2,照+历=2,吊+照=2,I+后=2,所以所有交点的横坐标之和为8.

二、多项选择题

9.BD选项A中，4=（1『=2"=22na=-2,A错误；

选项B中，在同一平面直角坐标系中作出片G）与片log”的图象，设两图象交点

的横坐标为刘,则当的〈水1时，0>logiz,B正确；

选项C中，取x=2,logi2=-l,

2

logi2=-log2>-l,C错误;

33

选项D显然正确.故选BD.

10.AC由左要n知A正确；

令/（A）=V2sin^2x+§=0,即2户：=女口（AGZ）,解得A=^-^（AGZ）,

••"（X）在［0,口］上只有两个零点,B错误;

个上岳in（：+力企,C正确；

将片&sin(x+图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数

j=V2sinQx+：)的图象,D错误.

故选AC.

11.ABC'：Q<a<b,a+Zx=l,.*.0<a<ZKl>

Va+/>2-Z^(l-Z>)2+Z)2-^2Z?2-3Z^l=(2Z^l)(Z^l)<0,

:・M+6(b,A正确;

V^2+Z?2-<3=(l-a)2+a2-a=2<32-35+l=(2<3-l)(5-1)>0,/.a<a2+Z?\B正确；

a次(一)2=；,水2aZ/<aC正确;

•：a+l)>-a+^2-^a+l)<a+b=l,

.小，+次1,D不正确.

12.ABD函数F(x)△在(-8,o)和(o,+8)上都是减函数，但在定义域(-8,0)u

X

(0,+8)上不是减函数,A不正确；

g(x)是奇函数，但g(0)可以无意义,B不正确；

由三+2=1,x>0,y>0,得x+产(工+-)(jr+y)=2+-+-^2+2I-•--4,当且仅当年y时取等

xy\xyjxyyjxy

号，依题意得力,+3派4=-4〈水1,C正确；

在D中，/V)是增函数=Ja<0,=-3<aW-2,D不正确.故选ABD.

l-l-a-5<a

三、填空题

13.答案①③

解+析①在班级旁画“V”与了解最受欢迎的教师没关系，故样本不符合有效性;

②样本合理,属于合理的调查；

③老年公寓中的老年人不能代表全市老年人,故样本缺少代表性；

④在每个小组中各随机选取3名学生进行调查,属于合理的调查.

故调查的样本不合理的是①③.

14.答案-11

解+析•..当x>0时，f(x)的图象与函数片10g2X的图象关于直线片x对称，

...当x〉0时，F(x)=2；

:.当x>0时,g(x)=2,+*,

又g(x)是奇函数，

.•.g(T)+g(-2)=-[g(l)+g(2)]=-(2+l+4+4)=TL

15.答案2

解+析因为K2,所以石尤C+2-x»2I；•(2-%)=2,当且仅当；=2-产1时取

2-X2~X，2-X2-X

等号，所以22a,即a的最大值为2.

16.答案(1)1(2)(1,+8)

解+析(1)若g(x)=x+l,则函数的值域为R,且函数为单调函数,故方程g(x)=C有

且只有一个根,故/(t)=l.

⑵g(x)=『王;、n(aeR)，

当aWO时，如图(1),此时At+2)W/V),不满足题意；

当a>0时，若要满足At+2)>A0,如图(2)所示,只需满足a〉0,g(a)>2,所以a?+a〉2,

解得a〉l或水-2(舍去).

综上可知，aG(1,+8).

四、解答题

_22

17.解+析⑴原式盗尸+21（沱32-21083|-51唯3啕+2-3=-高（5分）

⑵•.•角。的终边经过点欣1,-2）,

,sin.扁T匕分）

.sin售+a）・cos偿-a）

cos（it+a）

cosa•sina.2-/5八\

二-------二一sinCL-——.（10n分）

-cosa5

18.解+析（l）集合#={%GR|整>0}

=（-8,-3）u（6,+8）,（3分）

所以。力=[-3,6].（5分）

集合B={xGR12/-（a+10）A+5aW0}={x£R|（2尸a）（x-5）WO}.

因为医CR4且5®]a[-3,6],

所以只需-3W]<6,（8分）

所以-6WaWl2.（9分）

（2）易知比G0的充要条件是ae[-6,12],

选择①,①是代的既不充分也不必要条件；

选择②,②是代CM的必要不充分条件；

选择③,③是任的充分不必要条件.（12分）

19.解+析ax+2ax+\20对任意xWR恒成立,

.•.当a=0时,120,不等式恒成立；（2分）

当aWO时,由题意得片>?2yl"

U=4az-4a<0,

解得0<aWl.（5分）

综上,a的取值范围是OWaWl.（6分）

由*-六才+水0,得（x-a）[x-（1-a）]<0.（8分）

「OWaWl,.•.①当l-a>a,即OWad时,a<x<l-a;（9分）

2

②当l-a=a,即其时，（%-0〈°，不等式无解；（10分）

③当l~a<a,即时，（11分）

综上，当0Wa0时，原不等式的解集为｛x|a〈水1-目；当犷巳时，原不等式的解集为。;

当gaW1时,原不等式的解集为U|l-a<x<a].（12分）

20.解+析（1）5+a+30+20+10=100,

；.a=35.（1分）

V0.05+0.35+加0.20+0.10=1,

.\ZFO.3O,（2分）

频率分布直方图如下.

（4分）

（2）该组数据众数的估计值为7.50.（5分）

易知中位数应在[10,15）内，设中位数为x,则0.05+0.35+（尸10）X0.06=0.5,解得x

^11.67,故中位数的估计值为11.67.（7分）

（3）因为第4组和第5组的频数之比为2:1,所以从第4组抽取4人，第5组抽取2

人.（8分）

所以这6人得分的平均数

—4xx+2xy4x74-2x7„八八八\

Q7,（10

二——；6——6二一；——二分）

方差《24。2+（元-5）2］+2［"+（歹一五）2］4（2+0）+2（1+0）公］67

66

即这6人得分的平均数为7,方差为1.67.（12分）

21.解+析（l）f（x）在（1,+8）上单调递增，证明如下：

X1X2X2

任取Xi,&W（1,+°°）,且Xi<x2,则/'（为）-f（%）=（2如-a,2~）-（,2-a*2~）

二（2工/2工2）+a”-2』）=（2如-2叼+a•（2工V工?）（1+—（3分）

2X1+X2\2X1+X27

•.•"x<X2,a>0,...2"”2血<0,1+^77〉0,（5分）

.•.（2%-2血）（1+石为）<0,即f（xM/U）<0,.."（x）在区间即,+8）上单调递增.

（6分）

⑵设4）=图则以力=纬

由⑴知，当a=l时,f（x）在（1,+8）上单调递增，.•.当由后2时，回|，外

（9分）

..•广、在区间［|,2］上单调递减,在区间［2,同上单调递增，

二当夕2,即2'-白=2,即下Iog2（&+1）时，g（x）取得最小值，g（x）nin=4.（12分）

22.解+析⑴由题意得箸三解得小2,（1分）

2CO2

将点（T，1）代入f（x）的解+析式可得1=V3sin14x（-5+3卜1，

则_1+0=〃n,AEZ,解得0=K+pA£Z,

又因为-兴0今所以0g（3分）

所以f（x）=V^s