平行四边形-7-9教师版

一第九讲平行四边形

【分析】首先，如果要求剪切后能重新进行拼接，就说明能够在图中找到长度相等的

线段.而由于原四边形是任意四边形，那么就需要构造一些相等的线段.在

本题中，能直观想到的，就是做各边的中点.而考虑到题目要求我们切两刀

拼成一个平行四边形，所以应该连结对边的中点E、F、G、H,如下左图

所示.

之后进行拼接，按照相等的线段拼在一起的原则进行拼接，如下右图所示.

■知识总结

立足中考,剖析统考，明确方向.

中

A要求B要求C要求

考

要会识别平行掌握平行四边形的概念、判定和性质，会会运用平行四边形的知识解

求四边形用平行四边形的性质和判定解决简单问题.决有关问题.

例

题

例1、例2例3、例4、例5、例6、例7

分

配

期

①题量与难度均高于中考要求；

末

②熟练应用平行四边形的性质和判定进行题R的计算与证明；

要

③对构造平行四边形和三角形的中位线定理的应用有较高要求.

求

L做题之前清点解题方法与技巧，就如同上战场之前清点武器一样重要！卜

一、平行四边形定义

平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行

AB//CD}…巾,

四边形（如图），记作“CM5CD”.平行四边形的1=>四边形45co叫

表示一般按一定的方向依次表示各顶点，如右图的二AD//BC]

A

平行四边形不能表示成口2的也不能表示成B做平行四边形

LJADBC.

二、平行四边形的性质

A/——7。四边形池CD为平行四边形

①平行四边形的对边平行且相等//=>AB//CD,AD//BC.

Bc==

A/-----7。四边形池CD为平行四边形

②平行四边形的对角相等；

RZ____/=>ZL4=ZC,NB=ND-

6C

为7°四边形皿CD为平行四边形

③平行四边形的对角线互相平分.

BL^OX/C=>CL4=OC,OB=OD.

④平行四边形是中心对称图形，对称中心就是两

卷2。四边形.D为平行四边形，

条对角线的交点；连接四边上任意一点和平行四边

E、厂为任意两点，

形的对称中心，与另一条边相交于一点，则这两个

Bc^>OE=OF.

点关于平行四边形的对称中心对称.F

0c=S/SDOC=^ADO4

AD/XAOB且△COD

⑤平行四边形中重要结论：/\AOD9KOB

BCAABC色ACDA

三、平行四边形的判定

—D黑♦黑｝n四边形皿8是

①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边

形BL——(平行四边形

人」7。唱〃呼卜四边形血力是

②一组对边平行n相等的四边形是平行四边形B乙Y平行四边形

尸7。%:黑｝n四边形皿CD是

③两组对边分别相等的四边形是平行四边形

BL——'c平行四边形

发二£｝二＞四边形相。是

④两组对角分别相等的四边形是平行四边形~~4平行四边形

OA=OC=-AC

n四边形

⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形

OB=OD=-BD

Be2

池。是平行四〕2形

四、三角形中位线

1.定义：连接三角形两边中点的线段；A

2.定理：三角形中位线平行于三角形的第三边且DE//BC,i\,DE=-BC

2

等于第三边的一半.

BL-------iC

3.三角形中位线里隐含重要性质：

A

EF、GE、GF是&48C的三

①三角形的三条中位线将原三角形分割成四个全

条中位线，则有

等的二角形.

AAEGm八EBFg△CFGgAFGE

g/\/\c

A

EF、GE、GF是&45C的三

②三角形的三条中位线将原二角形划分出三个面A

条中位线，则有

积相等的平行四边形.

SoAEFG=^nEBFG=^EFCG

小ca

EF、GE、GF是A45C的三

A条中位线，则有：

③三角形的三条中位线组成一个三角形，其周长A

为原三角形的周长的一半，其面积为原三角形面积①CAETO=万^/\ABC

的四分之一.

®^/\EFG=_7sc

4A25

c

’题目虽小，陷阱重重，易晕易错，深埋其中.T

【例1】考点突破一角

（1）在平行四边形ABCD中，NA:N8NC:ND的值可能是（）

A.1:2:3:4B.2:2:3:3

C.2:3:2:3D.2:3:3:2

考点突破一边

（2）4B、C、。在同一平面内，从①AB〃C£）；②AB=CD；③BC=AD；®BC//AD,

这四个条件中任选两个，能使四边形ABC。是平行四边形的选法有（）

A.3种B.4种C.5种D.6种

考点突破——对角线

⑶下面给定的条件中，能画出平行四边形的是（）

A.以60cm为一对角线，8cm、10cm为两边邻边；

B.以6cm、10cm为对角线，8cm为一边；

C.以60cm为一对角线，20cm、34cm为两条邻边；

D.以20cm、36cm为对角线，22cm为一边.

考点突破——计算

⑷ABCD的周长是120cm,对角线AC,5。相交于点。，5OC比AOB的周长小10cm,则

AB=,BC=.

考点突破——构造

⑸已知三角形ABC,若存在点。使得以A,8,C,O为顶点的四边形是平行四边形，则这样的点。

有个.若已知ABC的周长为3则以所有。点围成的多边形周长为一.

考点突破——面积

（6）如图，平行四边形A6CD中,P是形内任意一点，AABP,ABCP,ACDP,4ADP的面积分

别为力邑,邑,54则一定成立的是（）D

k

A.S]+S2>S3+S4B.S]+S2=S3+S4

C.S]+S2Vs3+S4D.S]+S3=S2+4AB

考点突破——应用

⑺如图，四边形ACED为平行四边形，DF垂直平分BE,甲乙两虫同

时从A点开始爬行到F点，甲虫沿着A-D-E-F的路线爬行

A-C-B-F的路线爬行，若它们的爬行速度相同，则（）

A.甲虫先到B.乙虫先到

C.两虫同时到D.无法确定

/心--------------JR

【解析】(1)C(2)B(3)D(4)AB=35cm,BC=25cm,(5)3,6(6)D⑺C

【教师备选】已知:如图，A45c中，,AB=8,DE//AC,DF//AB,

)RDE+DF=____.

【解析】8,提示：DE=BE,DF=AE,nDE+DF=AB=8.

【教师备选】已知：如图：AB//CD,AD//BC,AD=5,3E=8,AZ)C£■的面积为6,则四边形加CD

的面积为.

【解析】20

［教师备选】如图DABCD中点E在边加上，以BE为折痕,将44BE

向上翻折，点一4正好落在。上的点尸，若八3的周

长为8,△打》的周长为22,则尸C的长为____.

【解析】7提示：由BF=AB,EF=AE,则nNEUZ周长为

22+8=3,得BC+BF=BC+AB=15,所以

FC=22-15=7.

【教师备选】对于下列说法，正确的请给出证明，错误的请举出反例.

(1)一飒边平行,一组解相等的皿形是平行四边形.

(2)一飒边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形.

⑶一组对边相等,一组雌相等的形是平行四边形.

(4)一组对边相等,一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形.

(5)一飒边平行,一条抽线平分另T随哪四边形是平行随形

(6)一组对角相等,一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形.

⑺对角线四等分四边形的面积，则这个四边形是平行四边形.

【解析】⑴正确；⑵错误(提示：等腰梯形)

⑶错误.加图所示，在四边形二88中，AB=CD,/B=ND,

但四边形"CD不是平行四边形.(构造办法：作和

AADC,便.4B=CD,AC=AC,ZB=ZD，BCAD.然

后将边/C重合，则可得到四边形皿CD)

(4)错误.如图所示，在四边形/BCD中，4D=3C,AO=OC,

但四边形4BCD不是平行四边形.(构造办法：作平行四边

形AB'CD,在DB'上取悬B或延长D&至点B,使

BC=RC,连接皿即得)

⑸正确.如图所示，在四边形45CD中，AB//CD,4C平

分BD于O(即OB=OD).在△。①和中，因为

AB//CD,贝4ZzlBOtNCZ,Z£AO=ZDCO,而

OB=O.,故AQ4B9国CD,从而OA=OC,故四边形

MCD是平行四边形.

(6)错误.如图所示，ZABC=ZADC,OB=OD,但四边

形ABCD不是平行四边形.

正琳Si-SQOB_OD\^(根据对角线互相

⑺nABCD

Si=s4nOA=ocJ

平分)

【例2】已知：如图平行四边形ABC。,E、F是直线3。上两点，且

DE=BF.求在：AE=CF.（呈少用2种方法胡答）

【解析】方法一

•••四边形ABCD是平行四边形，

/.AD=BC,AD/7CB.

•\ZADB=ZCBD,

.\ZADE=ZCBF.

VDE=BF.

.,.AAZ)E^ACBF(SAS),

AE=CF.

方法二：•••四边形ABC。为平行四边形,

AB=DC,AB//DC

：.ZABD=ZCDB

又,：DE=BF

：.DE+BD=BF+BD

即EB=FD

：.AABE^/\CDF(SAS)

AE=CF

方法三：

•/四边形ABCD是平行四边形，

连结AC交3。于O,

贝UOA=OC,0B=OD.

•:DE=BF,

：.OD+DE=OB+BF,

即：OE=OF.

•：NAOE=ZCOF,

.,.AAO£^ACOF(SAS),

AE=CF.

方法四：连结AC交于O,

分别连结AF、EC.

•.•四边形ABCD是平行四边形，

OA=OC,OB=OD.

:•DE=BF,

：.OD+DE=OB+BF,

即：OE=OF.

四边形AECF为平行四边形，

AE=CF.

【点评】已知平行四边形求线段相等的问题，往往是利用已知平行四边形的性质，证三角形全等

或构建新的平行四边形，得证线段相等.此题可用多种方法解答，充分复习了平行四边形的性质及

判定的重要性质.

【建议】前三种方法实质为同一种方法一证全等，重点讲解方法四，传递一种新的思维方式：

证明等量关系时，不再以全等三角形方法为首选，也可尝试构造平行四边形的方法.

以不变应万变，寻找题目灵魂.

9

会大技巧：i.构造平行四边形

2.三角形中位线定理的应用.

技巧1：构造平行四边形开拓一种新的思维习惯，它可以解决有关线段或角关系的问题.其作

用为：将离散的线段或角集中，其本质为：线段的平移.

（教师备选、例3、铺垫及拓展为集中线段的题，例4为集中角的题，例5及拓展为新

课标主流的题）

2：遇到中点问题，联想中位线.

【教师备选】如图所示，为等边三角形，尸是内任一点，

PD//AB,PE//BC,DF//AC,若△48C的周长为12,

贝！17Y）+依+母'等于多少？

【分析】方法1：构造要求的三条线段各自分离，可通过，构造平行四边形,

把离散的线段转到一边.方法很多，以下列出两种，答案为4.

移到23上移到5c上

方法2:极限法，把尸放在月点处，F,E与A重合,D与B重合,AB为所示.

【铺垫】（09西城教研组精编）初二上一经典题目：在等腰中，。为.州上一点，E为/C延

长线上一点，目BD=CE,DE交BC于F.求证：DF=EF.

【分析】八上很多辅导书上都有此题，方法都是构造“8”字形,证明全等三角形.如图1,过Z）点作

C£1的平行线，交BC于G,证△I*G冬NFC.我们“旧题新解”，联想到平行四边形的对

角线互相平分，于是构造平行线证线段相等，出以点为对角线的平行四边形.在图1的基

础上连结刀C和EG得图2,证四边形DGEC为平行四边形.我们还可以过H作石G〃48交

延长线于G,连结DG、族得图3,下面给出详解.再次体验由全等三角形到平行四边

形的过渡.

【解析】证明：过E作EG〃48交5。延长线于G,连结Z»G、BE.

ZABC=ACGE

VAB=AC

：.ZABC=ZACB

：.ZABC=AGCE

：.ACGE=AGCE

：.CE=GE

VBD=CE

：.BD=GE

：.BD//GE

：.四边形BDGE为平行四边形.

ADF=FE.

【例3】已知，在等腰AABC中，D为AB上一点，E为AC延长线上一点，且BD=EC,连结DE.

求证:DE>B

【分析】结合铺垫题目及解答，很快得到解法一.

【解析】解法一：

过E作EG//AB交BC延长线于G,连结DG,BE.过D作

ENLBC于N.

ZABC=ZCGE

•/AB=AC

/.ZABC=ZACB

ZABC=ZGCEE

：.ZCGE=ZGCE

/.CE=GE

VEN±CG

/.CN=GN

BD=CE

BD=GE

ABD//GE

四边形BDGE为平行四边形

A,DF=EF,BF=FG

易证△DFMgZkEFN

；.FM=FN

；.BM=GN

.♦.BM=CN

；.BC=MN=2FM

VDF>FM

.*.DE>BC

解法二

思路：也可以平移线段DE或BC,造平行四边形，同时将BD、CE转移到同一三角形中.

证明：过B作BG〃DE,连结CG、GE,GE交BC延长线于

Ho

四边形BDEG为平行四边形

BD=GE

ZABC=ZCHE

•/AB=AC

ZABC=ZACB

/.ZABC=ZHCE

ZECH=ZCHE

•/CE=BD

/.CE=GE

ZCGE=ZGCE

在AGCH中，ZCGH+ZCHG+ZGCH=180

ZGCE+ZHCE+ZGCH=90

BC±CG

/.BG>BC

/.DE>BC

【点评】方法一本质是构造了以DE为对角线的平行四边形，实现将线段DE转移到线段BC所

在直线上。

【例4】如图，在四边形ABCD中，AB/7CD,AB+BC=AD+CD.求证：四边形ABCD为平行四边形

【分析】从已知条件出发，重点考虑AB+BC=AD+CD的应用.结

合所要证明的结论，我们只需证明

AB=CD.先将AB+CD,AD+CD分别并为一条线段，所

以我们分另!J延长AB、CD,使BE=BC,DF=AD,得AE=CF.已

知AB〃CD,贝U.AE//CF

【解析】证明：如图，延长AB至E,使BE=BC,连结CE.延长CD至E使DF=AD,连结

AFo

,/AB+BC=AD+CD

AB+BE=CD+DF

即AE=CF

VAB/7CD

.,.AE//CF

四边形AECF为平行四边形

；.AF=CE,ZE=ZF

AD=DF,BC=BE

NFAD=NF,NBCE=NE,

：.ZF=ZFAD=ZBCE=ZE

在AADF和ACBE中

ZF=ZE

AF=CE

ZFAD=ZBCE

AAADF^ACBE

/.AD=BC

AB=CD

/.AB//CD

四边形ABCD为平行四边形。

【例5】在4ABC中,AB=AC,D、E分别为人86(2上任意两点,满足8口=人£.求

证：DE>-BCo

2

【分析】本题形式简洁，条件少而分散，结论也不简单.我们还是从结论

突破，由问题将已知条件串起来.

思路一：联想两点之间线段最短，构造三角形，证明DE+DE2BC,如

图(1)；

思路二：利用垂线段最短，造直角三角形，先需构造出工BC的线段，如

2

图(2).

【解析】方法一：证明：如图(1),过B作BF幺DE,连结EF、CF。

四边形BDEF为平行四边形

ABD^EF

/.ZFEC=ZA

AB=AC,BD=AE

/.AD=CE

EF=AE

DAE^ACEF(SAS)

/.DE=CF

BF=FC

根据两点之间线段最短：BF+FC>BC

2DE>BC,-DE>BC

2

方法二：证明：如图（2）,取AB、AC中点M、N,连结MN.过D作DF〃MN,交AC于F,

过N作NG/7AB交DF于G.

；.MN〃BC,MN=-BC

2

四边形DMNG为平行四边形

；.DM=GN,DG=ZNGF=ZADF

VAB=AC

1/B=/

・・・AM=BM=AN=CN

•・・DB=AE

・・・AD=CE,

・・・AD-AM=CE—CN

即DM=EN

・・・EN=GN

J/GEN=ZNGE

VDF/7MN,MN〃BC

・・・DF〃AB

・・・/ADF=/B,/AFD=/C

・•・/ADF=ZAFD

J/NGF=ZNFG

在4EGF中，ZGEF+ZEFG+ZEGF=180

・・・NEGF=90

AEGIDG

根据垂线段最短

.\DE>DG

.,.DE>MN,DE>-BC

2

【拓展】（2008海淀二模）在△ZBC中，AB>AC,D,E分别为4B,/C上两点且助;位.求

证：DE<BC.

【分析】此题思路与例4一致，通过平移线段出平行四边形，将DE、3c集中到一起.难点为怎样证

明与平移后线段的大小关系？解决问题关键是怎样处理BZ）=C£■即EC=EF?联想等腰

三角形的轴对称性，作NCE尸的平分线EG,即为CF的垂直平分线.

【解析】证明：过3作昉缙出，连结EF,作NCZ》的角平分线，交3c于G.

四边形8DEF为平行四边形.

：.DE=BF,BD=EF

VBD=CE

：.CE=EF

VACEG=AFEG

：.ACEG色AFEG

：.FG=GC

在尸G中，BG+FG>BF

:.BG+CG>BF

：.BC>DE.

【点评】此题虽然是证两条线段的不等关系，但实际上是利用将长的线段分成两部分放在同一三角形

中，用三角形三边关系解决.注意，此题不是用三角形中“大角对大边”解决.

【例6】（中考题）阅读下列材料：

小明遇到一个问题：5个同样大小的正方形纸片排列形式如图1所示，将它们分割后拼接成一个

新的正方形.

他的做法是：按图2所示的方法分割后，将三角形纸片①绕AB的中点O旋转至三角形纸片②处,

依此方法继续操作，即可拼接成一个新的正方形DEFG.

请你参考小明的做法解决下列问题：

⑴现有5个形状、大小相同的矩形纸片，排列形式如图3所示.请将其分割后拼接成一个平行

四边形.要求：在图3中画出并指明拼接成的平行四边形（画出一个符合条件的平行四边形即可）；

（2）如图4,在面积为2的平行四边形ABCD中，点E、F、、G、H分别是边AB、BC、CD、DA

的中点，分别连结AF、BG、CH、DE得到一个新的平行四边形MNPQ.请在图4中探究平行四

边形MNPQ面积的大小（画图并直接写出结果）.

图3图4

【分析】依葫芦画瓢，照猫画虎.

【解析】

⑴拼接成的平行四边形是平行四边形ABCD（如图3）。

2

⑵正确画出图形（如图4）.平行四边形MNPQ的面积为不。

【拓展】（2008山东潍坊）在平行四边形ABCD中，点&、4、4、

4和q、c八G、q分别4B和CD的五等分点，点为、

星和2、3分别是8C和。4的三等分点，已知四边形

AB2C4D2的积为1,则平行四边形488面积为

【解析】|

【教师备选】已知：如图所示，在四边形4BCD中，E、尸分别为.45、CD的中点.

求证：EF<^AC+BD）.

【分析】利用中位线构造出长为的线段并将线段集中.

22

【解析】证明：取皿的中点连结和EA/.

•:E、F是AB、CD中点，

：.EM=^BD,FM=^AC.

^'：EF<EM+FM,

：.EF<-（AC+BD）.//\\

B（

【点评】此题还可以求证EF<1（.4D+BC）,方法是取或8Z）的中

点・

C

【铺垫】如图，在四边形」38中，“、N分别为.切、3C的中点，片7\

A

BD=AC,助和.4。相交于点O,分别与.4C、3。相交v/2^--\

于E、F,求证：OE=OF.I/E八7

【分析】此题为09年秋季精英班第十二讲习题6,思路同上一题（教师A

备选题）.心"

【解析】取且8中点尸，连结MP、NP.大/\

利用中位线可得

MP=-BD=NP=-AC,

A1

22P

：.ZPMN=ZPNM

'：MP//BD,NP//AC

：.Z.OFE=乙OEF

：.OE=OF

【例7】已知：如图所示，在AABC中,D、G分别为AB、AC上的点，且BD=CGM、N分别是BG、CD

的中点，过MN的直线交AB于点P,交AC于点Q,求证：AP=AQ.

【分析】不难发现，若连结DG则与铺垫题一样.

【解析】连DG,找DG的中点E,连ME、NE,

：M、N分别是BG与CD的中点。

；.ME〃AB,ME=-BD,

2

NE/7AC,NE=-GC.

2

，NAPQ=NEMN,ZAQP=ZENM.

VBD=GC,

；.EM=EN,

/.ZEMN=ZENM，

ZAPQ=ZAQP,

AP=AQ.

【点评】还可以取BC的中点.方法总结：已知四边形对角线中点,

位线.

好题恒久远，一道永流传，精彩不容错过！b

to

【例8】(中考题改编)实验与探究

(1)在图1,2,3中，给出平行四边形ABCD的顶点A,B,D的坐标(如图所示)，写出图1,2,

3中的顶点的坐标，它们分别是(5,2),,；

(2)在图4中，给出平行四边形ABCD的顶点A,B,D的坐标(如图所示)，求出顶点C的坐标

(点C坐标用含a,b,c,d,e,f的代数式表示)；

归纳与发现

(3)通过对图1,2,3,4的观察和顶点C的坐标的探究，你会发现：无论平行四边形ABCD处于

直角坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为A(ab),B(cd),C(mn),D(ef)(如图4)时，则四个顶点的横坐

标a,c,m,e之间的等量关系为；纵坐标b,d,n,f之间的等量关系为(不必证明)；

运用与推广

⑷在同一直角坐标系中有三个点G(-51，n5，S(51，p9,"(2,0).请求出所有使得以GS,H,P为顶点

的四边形是平行四边形的点P坐标.

【解析】(D(e+c,d),(c+e-a,d)

(2)分别过点A,B,C,D作x轴的垂线，垂足分别为》与£,2,分别过A,D作AE，BB1

于E,DFLCC］于点F.

在平行四边形ABCD中，CD=BA,又：BB/ZCCj。y木

ZEBA+ZABC+ZBCF=ZABC+ZBCF+ZFCD=180

ZEBA=ZFCD

又：ZBEA=ZCFD=90------1«--!_!--->X

o|5dqz

ABEA^ACFD.

/.AF=DF=a-c,BE=CF=d-b,

设C(x,y),由e-x=a-c得*=6+<2也ss

由y-f=d-b,得y=f+d-b.C(e+c-a,f+d-b)。

(此问解法多种，如利用对角线互相平分，利用坐标中点公式)

(3)m=c+e-a,n=d+f-b,或m+a=c+e,n+b=d+f。

⑷若为平行四边形的对角线，由⑶可得《(-2,7)。

若SH为平行四边形的对角线，由⑶可得P?(3,2)。

若GH为平行四边形的对角线，由⑶可得P3(l,-2).

综上所述，符合条件的点有耳(-2,7),P2(3,2),P3(l,-2).

快.总.结」

1.对角线互相平分的四边形是平行四边形(J)

2.对角线相等的四边形是平行四边形(义)

3.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边行(X)

4.平行四边形为中心对称图形(J)

5.平行四边形为轴对称图形.(X)

6.三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半.(J)

7.经过平行四边形中心的直线，把平行四边形分成的两个四边形面积相等(J)

【建议】1.教师可通过以上几题或自行补充，对平行四边形性质、判定及三角形中位线知识进行总结；

2.该部分题型以口述为主，并让学生感受到收获知识的喜悦.

*IR固精炼

学而时习之，不亦乐乎……

同学们最后一个环节啦，流血流汗不流泪，掉皮掉肉不掉队…

1.如图，在AABC中，EF为AABC的中位线，D为BC边上一点（不与B、C重合），AD与EF交于

点O,连接DE、DFo要使四边形AEDF为平行四边形，需要添加条件_________________.（只添加

一个条件）

【解析】BD=CD,OE=OF,DE〃AC等

2.平行四边形的一边的长为10cm,则这个平行四边形的两条对角线

的长可以是（）.

A.4cm,6cmB.6cm,8cm

C.8cm,10cmD.10cm,12cm

【解析】D

3.已知四边形ABCD中，AC交BD于点0,如果只给出条件“AB〃CD”

那么还不能判定四边形ABCD为平行四边形，给出以下四种说法：

①如果再加上条件"BC=AD"，那么四边形ABCD一定是平行四边形.

②如果再加上条件“NBAD=NBCD"，那么四边形ABCD一定是平行四边形.

③如果再加上条件"AO=OC"，那么四边形ABCD一定是平行四边形.

④如果再加上条件“NDBA=NCAB"，那么平行四边形ABCD一定是平行四边形.

其中正确的说法是（）

A.①和②B.①、③和④C.②和③D.②、③和④

【解析】C

4.如图，平行四边形ABCD的周长为16cm,AC,BD相交于点0,

OE±AC于0,则4DCE的周长为.

【解析】8cm

5.如图，E,F是平行四边形ABCD的对角线AC上的点，B

CE=AF.请你猜想：BE与DF有怎样的位置关系和数量关系？

并对你的猜想加以证明.

【解析】猜想：BE〃DF,BE=DF.

证法一：：四边形ABCD是平行四边形，

BC=AD,Z1=Z2.

又：CE=AF,AABCE^ADAF,

BE=DF,Z3=Z4.

；.BE〃DF.

证法二：连接BD,交AC于点O,连结DE,BF.

四边形ABCD是平行四边形，...BO=OD,AO=CO.

又：AF=CE,；.AE=CF,，EO=FO,四边形BEDF是平行四边形.

.,.BE^DFMBE=DF.

6.已知：如图所示，在AABC中，AB>AC,AD平分NBAC,BE垂直AD延长线于E,M是BC中点.

求证：EM=1(AB-AC)

【解析】延长BE交AC的延长线于G,易证.AABE^AAGE

ABE=GE,AB=AG.

又：BM=CM,

ME=1CG=1(AG-AC)=1(AB-AC).

【习题编辑思路】有效复习平行四边形性质、判定及中位线应用.

小故事♦

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