高中数学学案1：高中数学人教A版2019必修 第二册 向量的数乘运算

第6章6.2.3向量的数乘运算

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【课标要求】

课程标准：1.通过实例分析,掌握平面向量数乘运算规则，理解其几何意义.2.理解两个平面向量共线的含义.

教学重点：向量数乘运算的意义、运算律，向量共线定理.

教学难点：向量共线定理的探究及其应用.

【知识导学】

知识点一向量的数乘

结果皿向量

定义实数A与向量a的积

记作画M

长度|Afl|=BI|A||a|

当入＞0时的方向与。的方向回相同

方向当入＜0时，碗的方向与a的方向圆相反

当A=0时.初=肘0

总结向量的加、减、数乘运算统称为向量的物线性运算

知识点二实数与向量的积的运算律

设储幺为实数，那么

(l)A(/za)=[5TI(入〃)a

运算律

(2)(入+〃)。=阚入a+/加

(3)A(fl+fr)=[03]Afl+Afe

(-A)a=—(Aa)=A(-a)；

特别情况

A(a-h)=Aa一入b

对于任意向量a".以及任意实数人%，小，

推广形式

怛有a±〃26)=初入〃1。土入〃2b

知识点三共线向量定理

向量a（aWO）与6共线的充要条件是：存在唯一一个实数入，使6=4a

【新知拓展】

1.对4a的理解

⑴可以将a的长度扩大（|川〉1时），也可以缩小（|儿|＜1时）；同时可以不改变

a的方向（儿＞0时），也可以改变a的方向（儿＜0时），与a的方向相反.

⑵当4=0时，Aa=O,而当4W0时，若a=0,也有4a=0.

⑶实数与向量可以求积，结果仍是一个向量，它可以看成实数与实数的积的定

义的推广，但不能进行加减运算，如：4+a,4一？无意义.

2.对两向量共线的条件的理解

（1）判断两向量共线，其实就是找一个实数，使得它与一个向量的积等于另一个

向量.可以用来证明几何中的三点共线及两直线平行的问题.

（2）为何规定“非零向量a”这一条件？若a=0,b"0时，不存在实数才使得b

=4a；若a=0,b=0,则存在不唯一的实数满足等式.

（3）若a,8不共线，且存在实数4,〃，使或〃a+4b=0）,则必有

U,

〃=4=0.因为a,b不共线，则a,6必为非零向量，若4#0,则6=丁Aa,若

A,

则a=}b,无论哪种情况都有a,8共线与已知矛盾，故必有儿=〃=

0.

⑷两向量共线的一般形式：若存在不全为0的一对实数力，〃使〃a+H6=0,

则a与力共线.

【评价自测】

1.判一判（正确的打"J"，错误的打"X"）

(1)4a的方向与a的方向一致.()

⑵共线向量定理中，条件aWO可以去掉.()

(3)若a=4e,b=~8e,则a=-2b.()

2.做一做

(1)下列各式中不表示向量的是()

A.0,aB.a+36C.13a|D.一■-e(x,y

x—y

eR,且xWy)

⑵下列各式计算正确的有()

①(-7)6a=-42a；②7(a+2>)—8，=7a+156；

③a—2，+a+2b=2a；④4(2a+b)=8a+48.

A.1个B.2个C.3个D.4个

(3)已知向量a,b不共线，c=4a+b(%eR),d=a—b,如果c〃&那么()

A.4=1且c与d同向

B.k=\且c与d反向

C.左=—1且c与d同向

D.4=-1且c与d反向

(4)已知向量a=2e,b=~e,则a与b(填“共线”或“不共线”).

【题型探究】

题型一向量的数乘运算

例1化简下列各式:

(l)3(6a+Z>)-9

⑵((3a+2Z>)一

(3)2(5a—4b+c)—3(a—38+c)—7a.

［规律方法］向量数乘运算的方法

(1)向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算.例如实数运算中的去括号、移

项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在

这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数.

(2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用代数方程的方法

求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算.

［跟踪训练1］

(1)设向量a=3f+2J,b=2i-j,求十(2力一a)；

(2)已知向量为a,b,未知向量为£,y,向量a,b,x,y满足关系式3x—2y=

a,—4x+3y=b,求向量x,y.

题型二向量的线性运算的应用

例2如图，四边形4%刀是一个梯形，AB//CDS.\AB\=2\CD\,M,N分别是DC,

—►-A

46的中点，已知AD=e„试用a，包表示下列向量.

⑴〃=

(2)助V=.

―►―►-►

［互动探究］在本例中，若条件改为8C=e”AD=a,试用e,&表示向量掰V

［规律方法］用已知向量表示其他向量的两种方法

(1)直接法

(2)方程法

当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所

求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程.

[跟踪训练2]

如图所示，已知口力比力的边3C,切上的中点分别为L,且/仁良，4=&,试

-A-►

用e”会表示BC,CD.

题型三共线向量定理的应用

例3已知非零向量e不共线.

-A-A-►

⑴如果+8c=2a+8ez，券=3(@—6),求证：A,B,〃三点共线;

(2)欲使ket+和e+共线，试确定实数A的值.

［变式探究］本例条件不变，将⑵改为：欲使4a+2&和2©+4以共线，试确

定A的值.

［规律方法］用向量共线的条件证明两条直线平行或重合的思路

(1)若b=/la(aWO),且b与a所在的直线无公共点，则这两条直线平行.

⑵若力=/la(aWO),且6与a所在的直线有公共点，则这两条直线重合.例如，

—►—►―►―►—►—►

若向量四="4则阴4供线，又力8与力甫公共点/,从而/,B,。三点共线，

这是证明三点共线的重要方法.

［跟踪训练3］

—►—►-►

(1)已知6,,会是两个不共线的向量，若45=2良一88，CB=el+3e>,CD=2ex—

金，求证：A,B,〃三点共线;

(2)已知凡B,尸三点共线，。为直线外任意一点，若OP=xOA+yOB,求x+y的

值.

【随堂达标】

1.已知勿，〃是实数，a,入是向量，则下列命题中正确的为()

①m(a-6)=ma—mb；®{m—n)a=ma—na\

③若ma=mb,则a=6；④若ma=na,则R=〃.

A.①④B.①②C.①③D.③④

2.对于向量a,b有下列表示：

①a=2e,b=-2e；②a=e一牡，6=—2良+2自；

21_

(3)a=4ei--&1，b=e,——e；®a=e-\-e>,6=2®—2%

□1U2x

其中，向量a,b一定共线的是()

A.①②③B.②③④C.①③④D.①②③④

3.已知x,y是实数，向量a,b不共线，若(x+y—l)a+(x—y)8=0,则x=

，y=.

—►—►-►

4.如图所示，在口48。•中，AB=a,AD=b,AN=3NC,"为8。的中点，则助\三

(用a,6表示).

5.如图，在四边形/颇中，E,F,G,〃分别为劭，AB,47和5的中点，求

证：四边形以砌为平行四边形.

第6章6.2.3向量的数乘运算【参考答案】

【评价自测】

1.答案⑴X(2)X(3)X2.答案(DC(2)C(3)D(4)共线

【题型探究】

题型一向量的数乘运算

例1［解］⑴原式=18a+36—9a—3b=9a.

(2)原式=*2a+,J-a-a-：6=0.

(3)原式=10a—86+2c—3a+98—3c—1a=b—c.

［跟踪训练1］

12

解(1)原式=^a—b—a+wb+2b—a

oo

=i3-1-1Ja+r1+3+2p

RRR5

=—'-a+-b=—'~(^>i+2j)+-(2i—J)

10、

=15+%+才5/=-京5-5/

T-

3x—2y=a,①

(2)<

1—4x+3y=b,②

①义3+②X2,得x=3a+2Z>,再代入①，得y=4a+38.

题型二向量的线性运算的应用

―►—►―►―►―►―►—►-►

例2［解析］⑴因为血〃勿，\AB\=2\CD\,所以48=2%,DC=；AB.

―►―►—►

AC=AD+DC=桂.

—►—►—►—►—►—►―►

(2)MN=MD+DA+AJV=—力〃—^e,——电

［答案］(1)段(2)；良一侥

［互动探究］

-A-►-A—►-A—►-A-►

解因为MN=MD+DA+AN,MN=MC+CB+BN,

-A-A-A-A—A—►—►

所以2MN={MD+MC)+DA+CB+(AN+BN).

又因为乱N分别是力3的中点,

所以/跖+加'=0,AN+BN=Q,所以2/人力+",

所以协制（―AD—BC）=—.

[跟踪训练2]

—►-►

解解法一：设BC=x,则

―►—►—►-►

,111

AB=AK+KB=e\一酒DL=~^e\一产

—►—►—►-►

又AD=x,由/〃+〃£=/£,得x+y下=比

乙q

42-42

解方程得x=w0一鼻8,即比三遍一鼻8.

oooo

—►―►—►-►

[42

由勿=—AB=e—^x,得一.ei+w&.

t乙oo

-A-A-A-A

解法二：设BC=x,CD=y,则打仁^X，DL=-1

’1

-►-►-►-►-►-►2*e“CID

由力3+册=/4,AD+DL=AL,得＜1

x-]尸a.②

12

—2义②+①，得5*一2x=e—2侥,,*=鼻（2比一©）.

乙O

2f42f42

同理得7=可（一2@十包），即/7=鼻快一.e,CD=--ei+-e2.

ooooo

解法三：如图所示，延长a1与4的延长线交于点幺则△龙J四

3

从而4£=24£,CE=AD,KE=-Ba

乙

3

由KE=AE-AK,得万6。=2包一e,

242

即仇=鼻(22-a)=可包一鼻a.

oOo

242

同理可得。1=1(-2ei+ez)=一鼻8+-e..

,jOO

题型三共线向量定理的应用

例3［解］（D证明：•・38=6+纵

BD=BC-\-CD=z2e\-\-3e>+?>e\—'ie'=^{ei+e^=54笈

：.AB,友英线，且有公共点8,，4B,〃三点共线.

⑵:〃勘+鱼和e+Aa共线,

...存在实数力，使4©+&=4（e+如），即（左一儿）e=（44—1）e.

k—4=0,

•；ei与日不共线，.：4A-l=0.解得仁士1.

［变式探究］

解•.Ze+2e和26+e共线，

.•.存在实数4使e+22=A(2e+3),

即(A—24)良=(4A—2)&,

7-2A=0,

e,,@不共线，二彳一解得4=±2.

.Ak=2,

［跟踪训练3］

-A-A

解⑴证明：•.•％=©+3色，CD=2e、一0,

―►-A-A

BD=CD—CB=e-4侥.

-A

又力夕=2台-8a=2(e］一4eJ,

­►—►—►-►

：.AB=2BD,：.AB//BD.

•：AB与BD有公共点、B,：.A,B,〃三点共线.

―►-►

(2)由于4B,尸三点共线，所以向量/6,加在同一直线上,

-A-A

由向量共线定理可知，必定存在实