中百备战中考专题（动手操作型专题）

中考百分百——备战2008中考专题（动手操作型专题）知识网络梳理在近几年的中考试题中，为了体现教育部关于中考命题改革的精神，出现了动手操作题．动手操作题是让学生在通过实际操作的基础上设计有关的问题．这类题对学生的能力有更高的要求，有利于培养学生的创新能力和实践能力，体现新课程理念．操作型问题是指通过动手测量、作图（象）、取值、计算等实验，猜想获得数学结论的探索研究性活动，这类活动完全模拟以动手为基础的手脑结合的科学研究形式，需要动手操作、合情猜想和验证，不但有助于实践能力和创新能力的培养，更有助于养成实验研究的习惯，符合新课程标准特别强调的发现式学习、探究式学习和研究式学习，鼓励学生进行“微科研”活动，提倡要积极引导学生从事实验活动和实践活动，培养学生乐于动手、勤于实践的意识和习惯，切实提高学生的动手能力、实践能力的指导思想．因此．实验操作问题将成为今后中考的热点题型．题型1动手问题此类题目考查学生动手操作能力，它包括裁剪、折叠、拼图，它既考查学生的动手能力，又考查学生的想象能力，往往与面积、对称性质联系在一起．题型2证明问题

动手操作的证明问题，既体现此类题型的动手能力，又能利用几何图形的性质进行全等、相似等证明．题型3探索性问题此类题目常涉及到画图、测量、猜想证明、归纳等问题，它与初中代数、几何均有联系．此类题目对于考查学生注重知识形成的过程，领会研究问题的方法有一定的作用，也符合新课改的教育理念．二、知识运用举例（一）动手问题例1．将正方形纸片两次对折，并剪出一个菱形小洞后展开铺平，得到的图形是（C）(第1题)(第2题)例2．把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠，EM、FM为折痕，折叠后的C点落在B′M或B′M的延长线上，那么∠EMF的度数是（B）A．85°B．90°C．95°D．100°例3．（2006年广州市）如图（1），将一块正方形木板用虚线划分成36个全等的小正方形，然后，按其中的实线切成七块形状不完全相同的小木片，制成一副七巧板．用这副七巧板拼成图（2）的图案，则图（2）中阴影部分的面积是整个图案面积的（D）A．B．C．D．(第3题)(第4题)例4．（2006年河南省）如图（1）所示，用形状相同、大小不等的三块直角三角形木板，恰好能拼成如图（2）所示的四边形ABCD，若AE＝4，CE＝3BF，那么这个四边形的面积是___________．16（二）证明问题例5．（07浙江省）如图1，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图2），量得他们的斜边长为10cm，较小锐角为30°，再将这两张三角纸片摆成如图3的形状，但点B、C、F、D在同一条直线上，且点C与点F重合（在图3至图6中统一用F表示）（图1）（图2）（图3）小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决．（1）将图3中的△ABF沿BD向右平移到图4的位置，使点B与点F重合，请你求出平移的距离；（2）将图3中的△ABF绕点F顺时针方向旋转30°到图5的位置，A1F交DE于点G，请你求出线段FG的长度；（3）将图3中的△ABF沿直线AF翻折到图6的位置，AB1交DE于点H，请证明：AH﹦DH（图4）（图5）（图6）解：（1）图形平移的距离就是线段BC的长（2分）又∵在Rt△ABC中，斜边长为10cm，∠BAC＝30，∴BC＝5cm，∴平移的距离为5cm．（2分）（2）∵∠，∴∠，∠D＝30°．∴∠．（1分）在RtEFD中，ED＝10cm，∵FD＝，（1分）∵cm．（2分）（3）△AHE与△中，∵，（1分）∵，，∴，即．（1分）又∵，∴△≌△（AAS）（1分）．∴．（1分）（三）探索性问题例6．（07青岛）提出问题：如图①，在四边形ABCD中，P是AD边上任意一点，△PBC与△ABC和△DBC的面积之间有什么关系？探究发现：为了解决这个问题，我们可以先从一些简单的、特殊的情形入手：（1）当AP＝AD时（如图②）：∵AP＝AD，△ABP和△ABD的高相等，∴S△ABP＝S△ABD．∵PD＝AD－AP＝AD，△CDP和△CDA的高相等，∴S△CDP＝S△CDA．∴S△PBC＝S四边形ABCD－S△ABP－S△CDP＝S四边形ABCD－S△ABD－S△CDA＝S四边形ABCD－(S四边形ABCD－S△DBC)－(S四边形ABCD－S△ABC)＝S△DBC＋S△ABC．（2）当AP＝AD时，探求S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系，写出求解过程；（3）当AP＝AD时，S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系式为：________________；（4）一般地，当AP＝AD（n表示正整数）时，探求S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系，写出求解过程；问题解决：当AP＝AD（0≤≤1）时，S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系式为：___________．解：⑵∵AP＝AD，△ABP和△ABD的高相等，∴S△ABP＝S△ABD．又∵PD＝AD－AP＝AD，△CDP和△CDA的高相等，∴S△CDP＝S△CDA．∴S△PBC＝S四边形ABCD－S△ABP－S△CDP＝S四边形ABCD－S△ABD－S△CDA＝S四边形ABCD－(S四边形ABCD－S△DBC)－(S四边形ABCD－S△ABC)＝S△DBC＋S△ABC．∴S△PBC＝S△DBC＋S△ABC．⑶S△PBC＝S△DBC＋S△ABC；⑷S△PBC＝S△DBC＋S△ABC；∵AP＝AD，△ABP和△ABD的高相等，∴S△ABP＝S△ABD．又∵PD＝AD－AP＝AD，△CDP和△CDA的高相等，∴S△CDP＝S△CDA．∴S△PBC＝S四边形ABCD－S△ABP－S△CDP＝S四边形ABCD－S△ABD－S△CDA＝S四边形ABCD－(S四边形ABCD－S△DBC)－(S四边形ABCD－S△ABC)＝S△DBC＋S△ABC．∴S△PBC＝S△DBC＋S△ABC．问题解决：S△PBC＝S△DBC＋S△ABC．例7．（07孝感）在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，其具体操作过程是：第一步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开（如图1）；第二步：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN（如图2）．（图1）（图2）请解答以下问题：（1）如图2，若延长MN交BC于P，△BMP是什么三角形？请证明你的结论．（2）在图2中，若AB＝a，BC＝b，a、b满足什么关系，才能在矩形纸片ABCD上剪出符合（1）中结论的三角形纸片BMP？（3）设矩形ABCD的边AB＝2，BC＝4，并建立如图3所示的直角坐标系.设直线为，当＝60°时，求k的值.此时，将△ABM′沿BM′折叠，点A是否落在EF上（E、F分别为AB、CD中点）？为什么？（图3）解：（1）△BMP是等边三角形．证明：连结AN∵EF垂直平分AB∴AN＝BN由折叠知AB＝BN∴AN＝AB＝BN∴△ABN为等边三角形∴∠ABN＝60°∴∠PBN＝30°又∵∠ABM＝∠NBM＝30°，∠BNM＝∠A＝90°∴∠BPN＝60°∠MBP＝∠MBN＋∠PBN＝60°∴∠BMP＝60°∴∠MBP＝∠BMP＝∠BPM＝60°∴△BMP为等边三角形．（2）要在矩形纸片ABCD上剪出等边△BMP，则BC≥BP在Rt△BNP中，BN＝BA＝a，∠PBN＝30°∴BP＝∴b≥∴a≤b．∴当a≤b时，在矩形上能剪出这样的等边△BMP．（3）∵∠M′BC＝60°∴∠ABM′＝90°－60°＝30°在Rt△ABM′中，tan∠ABM′＝∴tan30°＝∴AM′＝∴M′(，2).代入y＝kx中，得k＝＝设△ABM′沿BM′折叠后，点A落在矩形ABCD内的点为过作HBC交BC于H．∵△BM′≌△ABM′∴＝＝30°，B＝AB＝2∴－＝30°．在Rt△BH中，H＝B＝1，BH＝∴∴落在EF上.(图2)(图3)三、知识巩固训练1．在△ABC中，AB＞BC＞AC，D是AC的中点，过点D作直线z，使截得的三角形与原三角形相似，这样的直线L有_______条．2．（2006年东营）如图，将网格中的三条线段沿网格线平移后组成一个首尾相接的三角形，至少需要移动______________格．3．（2006年台州）小敏中午放学回家自己煮面条吃．有下面几道工序：①洗锅盛水2分钟；②洗菜3分钟；③准备面条及佐料2分钟；④用锅把水烧开7分钟；⑤用烧开的水煮面条和菜要3分钟．以上各道工序，除④外，一次只能进行一道工序．小敏要将面条煮好，最少用_______________分钟．4．(2006年湖南省郴州)如图，将一副七巧板拼成一只小动物，则____________．AOAOB5．(2005年北京海淀)印刷一本书，为了使装订成书后页码恰好为连续的自然数，可按如下方法操作：先将一张整版的纸，对折一次为4页，再对折一次为8页，连续对折三次为16页，……；然后再排页码.如果想设计一本16页的毕业纪念册，请你按图1、图2、图3（图中的1，16表示页码）的方法折叠，在图4中填上按这种折叠方法得到的各页在该面相应位置上的页码．6．（2006年湖南湘西）在一块平地上，张大爷家屋前9米远处有一棵大树．在一次强风中，这棵大树从离地面6米处折断倒下，量得倒下部分的长是10米．出门在外的张大爷担心自己的房子被倒下的大树砸到．大树倒下时能砸到张大爷的房子吗？请你通过计算、分析后给出正确的回答．___________________7．（2006年荆州）如图的梯形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，且AD＝AB，∠C＝45°．将它分割成4个大小一样，都与原梯形相似的梯形．（在图形中直接画分割线，不需要说明）AABDC8．（2006年咸宁）在一张长为9cm，宽为8cm的矩形纸片上裁取一个与该矩形三边都相切的圆片后，余下的部分中能裁取的最大圆片的半径为________cm．9．（2005年佛山市）如图，是用形状、大小完全相同的等腰提梯形密铺成的图案，则这个图案中的等腰梯形的底角（指锐角）是_________度．10．（2006年枣庄）右图是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小等边三角形的边长是a，则六边形的周长是______________．11．（2005年福州）如图，小亮拿一张矩形纸图（1），沿虚线对折一次得图（2），下将对角两顶点重合折叠得图（3）．按图（4）沿折痕中点与重合顶点的连线剪开，得到三个图形，这三个图形分别是（）A．都是等腰梯形B．都是等边三角形C．两个直角三角形，一个等腰三角形D．两个直角三角形，一个等腰梯形12．（2006年浙江）Rt△ABC中，斜边AB＝4，∠B＝60º，将△ABC绕点B旋转60º，顶点C运动的路线长是（）A．B．C．D．13．(2006年天门)如下图a，边长为a的大正方形中一个边长为b的小正方形，小明将图a的阴影部分拼成了一个矩形，如图b．这一过程可以验证（）A、a2＋b2－2ab＝(a－b)2B、a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2C、2a2－3ab＋b2＝(2a－b)(a－b)D、a2－b2＝(a＋b)(a－b)aaabb图a图b14．（2006年广安）用一把带有刻度尺的直角尺，①可以画出两条平行的直线a和b，如图（1）；②可以画出∠AOB的平分线OP，如图（2）；③可以检验工件的凹面是否为半圆，如图（3）；④可以量出一个圆的半径，如图（4）.这四种说法正确的有（）图（1）图（2）图（3）图（4）A.4个 B.3个 C.2个 D.1个15．（2006年嘉兴）如图，8×8方格纸上的两条对称轴EF、MN相交于中心点O，对△ABC分别作下列变换：①先以点A为中心顺时针旋转90°，再向右平移4格、向上平移4格；②先以点O为中心作中心对称图形，再以点A的对应点为中心逆时针旋转90°；③先以直线MN为轴作轴对称图形，再向上平移4格，再以点A的对应点为中心顺时针旋转90°．其中，能将△ABC变换成△PQR的是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③16．（2006年泰州）在物理实验课上，小明用弹簧称将铁块A悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧称的读数y（单位N）与铁块被提起的高度x（单位cm）之间的函数关系的大致图象是（）A第16题图D（N）(cm)A（N）(cm)B（N）(cm)C（N）(cm)17．如图，将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°A第16题图D（N）(cm)A（N）(cm)B（N）(cm)C（N）(cm)A．50°B．60°C．70°D．80°① ② ③ ④ ⑤18．（2006年吉林）如图，把边长为的正方形的局部进行图①① ② ③ ④ ⑤A．B．C．D．0号2号4号1号3号19．（2006年舟山）假定有一排蜂房，形状如图，一只蜜蜂在左下角，由于受了点伤，只能爬行，不能飞，而且始终向右方（包括右上、右下）爬行，从一间蜂房爬到右边相邻的蜂房中去.例如，密封爬到1号蜂房的爬法有：蜜蜂→1号；蜜蜂0号2号4号1号3号A.7B.8C.9D.1020．（2006年晋江）如图，将n个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，点A1、A2、…、An分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分的面积和为（）（第18题）（第18题）A1A2A3A4A．cm2B．cm2C．cm2D．cm221．（07云南省）小华将一条直角边长为1的一个等腰直角三角形纸片（如图1），沿它的对称轴折叠1次后得到一个等腰直角三角形（如图2），再将图2的等腰直角三角形沿它的对称轴折叠后得到一个等腰直角三角形（如图3），则图3中的等腰直角三角形的一条腰长为_____________；同上操作，若小华连续将图1的等腰直角三角形折叠次后所得到的等腰直角三角形（如图n＋1）的一条腰长为_______________________．22（07绵阳市）当身边没有量角器时，怎样得到一些特定度数的角呢？动手操作有时可以解“燃眉之急”．如图，已知矩形ABCD，我们按如下步骤操作可以得到一个特定的角：（1）以点A所在直线为折痕，折叠纸片，使点B落在AD上，折痕与BC交于E；（2）将纸片展平后，再一次折叠纸片，以E所在直线为折痕，使点A落在BC上，折痕EF交AD于F．则∠AFE＝（）A．60BC．72D．75ABABCD图（3）A．图（3）A．B．C．D．24．（1）如图（1），有两个正方形花坛，准备把每个花坛分成形状相同的四块，种不同的花草，图中左边的两个图是设计示例，请你在右边的两个正方形中再设计两个不同的图案．（2）在下面的图形中，用两种不同的设计方案，将正方形八等分，画出图案．图（2）25．（2006年浙江省）现有一张长和宽之比为2：1的长方形纸片．将它折两次（第一次折后也可以打开铺平再折第二次）．使得折痕将纸片分为面积相等且不重叠的四个部分（称为一个操作），如图甲（虚线表示折痕）．除图甲外，请你再给出三个不同的操作，分别将折痕画在图①至图③中（规定：一个操作得到的四个图形，和另一个操作得到的四个图形，如果能够“配对”得到四组全等的图形，那么就认为是相同的操作．如图乙和图甲是相同的操作）．①②③26．（2006年鸡西市）已知∠AOB＝90°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与OA、OB（或它们的反向延长线）相交于点D、E．当三角板绕点C旋转到CD到OA垂直时（如图1），易证：OD＋OE＝OC．当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，在图2、图3这两种情况下，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段OD、OE、OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．27．操作，在△ABC中，AC＝AB＝2，∠C＝90°，将一块三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC，射线CB于D，E两点，图①、②、③是旋转三角板得到的图形中的其中三种．探究：（1）三角板绕P点旋转，观察线段PD与PE之间有什么大小关系？它们的关系为_________，并以图②为例，加以证明．（2）三角板绕P点旋转，△PBE能否成为等腰三角形，若能指出所有的情况（即求出△PBE为等腰三角形时的CE的长）；若不能，说明理由．（3）若将三角板直角顶点，放在斜边AB的M处，且AM：MB＝1：3和前面一样操作，试问线段MD和ME之间又有什么关系？直接写出结论，不必证明．（图④供操作，实验用）结论为__________________．28．（2006年广州市）在△ABC中，AB＝BC，将△ABC绕点A沿顺时针方向旋转得到△AB1C1，使点C1落在直线BC上（点C1与点C不重合）．（1）如图①，当∠C＞60°时，写出边AB1与边CB的位置关系，并加以证明；（2）当∠C＝60°时，写出边AB1与边CB的位置关系（不要求证明）；（3）当∠C＜60°时，请你在图②中用尺规作图法作出△AB1C1（保留作图痕迹，不写作法），再猜想你在（1）、（2）中得出的结论是否还成立？并说明理由．29．（2006年南京市）已知矩形纸片ABCD，AB＝2，AD＝1，将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合．（1）如果折痕FG分别与AD、AB交与点F、G（如图①），AF＝，求DE的长；（2）如果折痕FG分别与CD、AB交与点F、G（如图②），△AED的外接圆与直线BC相切，求折痕FG的长．30（07辽宁旅顺口）如图a，∠EBF＝90°，请按下列要求准确画图：在射线BE、BF上分别取点A、C，使BC＜AB＜2BC，连接AC得直角△ABC；在AB边上取一点M，使AM＝BC，在射线CB边上取一点N，使CN＝BM，直线AN、CM相交于点P．（1）请用量角器度量∠APM的度数为_____________（精确到1°）；（2）请用说理的方法求出∠APM的度数；（3）若将①中的条件“BC＜AB＜2BC”改为“AB＞2BC”，其他条件不变，你能自己在图b中画出图形，求出∠APM的度数吗？31（07江西省）实验与探究（1）在图1，2，3中，给出平行四边形的顶点的坐标（如图所示），写出图1，2，3中的顶点的坐标，它们分别是，________，_________；图1图1图2图3（2）在图4中，给出平行四边形的顶点的坐标（如图所示），求出顶点的坐标（点坐标用含的代数式表示）；图4图4归纳与发现（3）通过对图1，2，3，4的观察和顶点的坐标的探究，你会发现：无论平行四边形处于直角坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为（如图4）时，则四个顶点的横坐标之间的等量关系为___________；纵坐标之间的等量关系为___________（不必证明）；运用与推广（4）在同一直角坐标系中有抛物线和三个点，（其中）．问当为何值时，该抛物线上存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？并求出所有符合条件的点坐标．32（07无锡）（1）已知中，，，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形．（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来．只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）AABC备用图①ABC备用图②ABC备用图③（2）已知中，是其最小的内角，过顶点的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求与之间的关系．33（07连云港市）如图1，点将线段分成两部分，如果，那么称点为线段的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线将一个面积为的图形分成两部分，这两部分的面积分别为，，如果，那么称直线为该图形的黄金分割线．（1）研究小组猜想：在中，若点为边上的黄金分割点（如图2），则直线是的黄金分割线．你认为对吗？为什么？（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？（3）研究小组在进一步探究中发现：过点任作一条直线交于点，再过点作直线，交于点，连接（如图3），则直线也是的黄金分割线．请你说明理由．（4）如图4，点是的边的黄金分割点，过点作，交于点，显然直线是的黄金分割线．请你画一条的黄金分割线，使它不经过各边黄金分割点．AAＣＢ图1ADB图2CADB图3CFEFCBDEA图4（第27题图）34（07河北省）在图14－1—14－5中，正方形ABCD的边长为a，等腰直角三角形FAE的斜边AE＝2b，且边AD和AE在同一直线上．操作示例当2b＜a时，F图14-1ABCEDHG（2b＜a）如图14－1，在BA上选取点G，使BG＝b，连结FG和CG，裁掉△F图14-1ABCEDHG（2b＜a）思考发现小明在操作后发现：该剪拼方法就是先将△FAG绕点F逆时针，由剪拼方法可得DH＝BG，故△CHD≌△CGB，从而又可将△CGB绕点C顺时针旋转90°到△CHD的位置．这样，对于剪拼得到的四实践探究（1）正方形FGCH的面积是__________；（用含a，b的式子表示）图14-3FAB图14-3FABCDE图14-4FABCDE图14-2FABC(E)D（2b＝a）（a＜2b＜2a）（b＝a）F图14-5F图14-5ABCED（b＞a）小明通过探究后发现：当b≤a时，此类图形都能剪拼成正方形，且所选取的点G的位置在BA方向上随着b的增大不断上移．当b＞a时，如图14－5的图形能否剪拼成一个正方形？若能，请你在图中画出剪拼的示意图；若不能，简要说明理由．35（07宁德）已知：矩形纸片中，厘米，厘米，点在上，且厘米，点是边上一动点．按如下操作：步骤一，折叠纸片，使点与点重合，展开纸片得折痕（如图1所示）；步骤二，过点作，交所在的直线于点，连接（如图2所示）（1）无论点在边上任何位置，都有_________（填“”、“”、“”号）；（2）如图3所示，将纸片放在直角坐标系中，按上述步骤一、二进行操作：①当点在点时，与交于点点的坐标是（_______，_________）；②当厘米时，与交于点点的坐标是（_______，_________）；③当厘米时，在图3中画出（不要求写画法），并求出与的交点的坐标；（3）点在运动过程，与形成一系列的交点观察、猜想：众多的交点形成的图象是什么？并直接写出该图象的函数表达式．AAPBCMD(P)EBC图10(A)BCDE6121824xy61218图3ANPBCMDEQT图2参考答案：1．2条2．9格3．124．135°5．891615121346．若房子高度高于（6－）米，就会被砸中7．图略8．1；9．60°；10．30a11．C12．B13．D14．A15．D16．C17．B18．B19．B20．C21．、；22.B；23.C24．略25．26．解：图2结论：OD＋OE＝OC，证明：过C分别作OA，OB的垂线，垂足分别为P，Q，CPD≌△CQE，DP＝EQ，OP＝OD＋DP，DQ＝OE－EQ，又OP＋OQ＝OC，即OD＋DP＋OE－EQ＝OC，∴OD＋DE＝OC．图3结论：OE－OD＝OC27．略28．（1）AB1∥CB，证略（2）AB1与CB平行（3）图略，（1）（2）中的结论仍然成立29．解：（1）在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，AF＝，∠D＝90°根据轴对称的性质，得EF＝AF＝，∴DF＝AD－AF＝，在Rt△DEF中，DE＝＝（2）设AE与FG的交点为O，根据轴对称的性质，得AO＝EO，取AD的中点M，连接MO，则MO＝DE，MO∥DC，设DE＝x，则MO＝x，在矩形ABCD中，∠C＝∠D＝90°，∴AE为△AED的外接圆的直径，O为圆心．延长MO交BC于点N，则ON∥CD，∴∠DNM＝180°－∠C＝90°，∴ON⊥BC，四边形MNCD是矩形，∴MN＝CD＝AB＝2，∴ON＝MN－MO＝2－x，∵△AED的外接圆与BC相切，∴ON是△AED的外接圆的半径，∴OE＝ON＝2－x，AE＝2ON＝4－x．在Rt△AED中，AD2＋DE2＝AE2，∴12＋x2＝（4－x）2．解这个方程，得x＝，∴DE＝，OE＝2－x＝．根据轴对称的性质，得AE⊥FG，∴∠FOE＝∠D＝90°．又∵∠FEO＝∠AED，∴△FEO∽△AED，∴·AD．可得FO＝，又AB∥CD，∴∠EFO＝∠AGO，∠FEO＝∠GAO，∴△FEO≌△GAO，∴FO＝GO，∴FG＝2FO＝，∴折痕FG的长是．30证明：（1）45°（2）过点A作，且，连接CK、MK∴四边形ANCK是平行四边形∵CN＝MB，∴AK＝MB∵AM＝CB，∠B＝∠KAM∴△AKM≌△BMC∴∠AKM＝∠BMC，KM＝MC∵∠AKM＋∠AMK＝90°∴∠BMC＋∠AMK＝90°∴∠KMC＝90°∴△KMC是等腰直角三角形∴∠MCK＝45°∵CK∥AN∴∠APM＝∠MCK＝45°（3）过点A作，且，连接CK、MK∴四边形ANCK是平行四边形∵CN＝MB，∴AK＝MB∵AM＝CB，