8.6.2直线与平面垂直(第1课时)课件高一下学期数学人教A版

8.6空间直线、平面的垂直

8.6.2直线与平面垂直第1课时

直线与平面垂直的定义和判定

引入上一节我们研究了直线与直线的垂直，接下来我们就自然应该研究直线与平面的垂直.

在日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识,比如都给我们以直线与平面垂直的形象．旗杆与地面的位置关系大桥的桥柱与水面的位置关系教室里相邻墙面的交线与地面的位置关系

思考1：类比于直线与平面平行的研究,对于直线与平面垂直，你认为要研究哪一些内容？按怎样的路径进行研究？研究的方法又是怎样的？研究的主要内容：直线与平面平行的定义，判定，性质.研究的大致路径：

给出定义→

利用定义，结合实物模型进行直观感知→

归纳猜想出判定定理，性质定理→

适当证明→进行应用.研究的基本方法：空间问题平面化：将线面垂直关系转化线线垂直.

思考2：若两条直线所成的角为90°，我们就说这两条直线相互垂直。按照这个思路，我们首先就应该定义直线与平面所成的角，你认为应如何定义？知识探究(一)

思考3：根据以上分析，你认为我们能够直接利用“直线与平面所成的角为90°”来定义直线与平面垂直吗？为什么？不能.

因为要得到直线与平面所成的角，首先要得到直线在平面的正投影.

而要得到直线在平面的正投影，首先又要定义直线与平面垂直.因此，得用其它方式来定义直线与平面垂直.

思考4：如图，在阳光下观察直立于地面的旗杆AB及它在地面影子BC．

(1)随着时间的变化，影子BC

的位置在不断的变化，旗杆所在直线AB与其影子BC所在直线是否保持垂直？(2)对于地面上任意一条不过B的直线，旗杆AB所在的直线还与它垂直吗？为什么？

不管影子BC

的位置如何变化，旗杆AB与影子BC始终垂直.即

旗杆AB所在的直线与地面过B点的任意直线都是垂直的.

对于地面上不过点B的任意一条直线B′C'，总能在地面上找到过点B

的一条直线与之平行.

根据异面直线垂直的定义，可知旗杆AB

所在直线与直线B′C'

也垂直.(3)我们知道，旗杆AB所在的直线与地面是垂直的，而由(1)(2)又知，旗杆AB所在的直线与地面上的任意直线也都是垂直的，由此，你能得出直线与平面垂直的定义吗？直线与平面垂直的定义

一般地，如果直线

l

与平面

α

内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α垂足平面α

的垂线直线l的垂面能将“任意一条直线”改成“无数条直线”吗?

其中直线l

叫做平面α

的垂线，

平面α

叫做直线l

的垂面．

直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P

叫做垂足.

注：

画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直．

思考5：若直线

l垂直于平面α，则直线

l与平面内α

的任意直线c

的位置有何关系？

若直线

l垂直于平面α，根据线面垂直的定义，则有

l与平面内

α

的任意直线c

都垂直.结论

若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于平面内

的任意直线.即

线面垂直的本质是线线垂直，即一条直线若与组成一个平面的所有直线都垂直，则这条直线就自然垂直这个平面.简称：

思考6：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条？为什么？过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条.返回

思考7：在平面几何中，我们在得出“平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”后，就定义了点到直线的距离.类似地，现在我们有了“过一点有且只有一条直线与已知平面垂直”这一结论，你能得出什么定义？点到平面的距离

过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离.

如上图，PP′⊥平面α，P′为垂足，线段PP′的长度即为点P到平面α

的距离.返回练习判断下列说法是否正确：(1)如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线与这个平面内的无数条直线都垂直.()(2)如果一条直线与一个平面内的无数条直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直.()(3)如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线与这个平面内的任意一条直线都垂直.()(4)如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直.()(6)如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都不垂直，那么这条直线与这个平面不垂直.()(5)如果一条直线与一个平面不垂直，那么这条直线与这个平面内的任意一条直线都不垂直.()√×√√×√知识探究(二)

问题：按空间图形位置关系的研究路径，接下来就该研究直线与平面垂直的判定，即探究直线与平面垂直的充分条件．

很显然，根据定义可以进行判断，但无法验证一条直线与一个平面内的所有直线都垂直．那么，能不能通过直线与平面内的有限条直线垂直来判定呢?

思考(1):

如图，准备一块三角形的纸片ABC，过∆ABC

的顶点A翻折纸片，得到折痕

AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD，DC与桌面接触)

①折痕AD与桌面垂直吗？

②如何翻折才能使折痕AD与桌面垂直？

当且仅当AD⟂BC时，即图按图(1)中的折痕翻折纸片时，AD才与桌面垂直．图(1)┐图(2)

思考(2):

图(2)中的AD为什么与平面α垂直,你能给出解释吗?图(1)┐图(2)

在BD与CD不重合,AD⟂BD,AD⟂CD的条件下,固定∆ABD,让∆ACD绕AD旋转,这样,无论CD在平面α

内的什么位置,AD都与CD垂直

,即AD垂直于α

内过点D的所有直线

,从而可以得出AD⟂α.

思考(3):

根据以上操作，再联系确定平面的条件，你能得出直线与平面垂直的一种判定方法吗？

由以上操作可知,只要AD与平面α内的两条相交直线BD，CD都垂直，就能保证AD与α垂直.联系到基本事实的推论，平面α显然可以看成是由两条相交直线BD，CD所确定的.于是我们可以得出：

若一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直.

一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．即简述：

直线与平面垂直的判定定理线不在多，相交则行1.内容：nmlαP2.作用：判定直线与平面垂直。

定理在本质上体现了可将线面垂直的问题转化为线线垂直的问题，即将高维问题转化为低维问题，将一条直线与任意直线垂直的问题转化为了与两条相交直线垂直的问题，即将一个复杂问题转化为了一个简单问题.返回

思考(5):

为什么直线垂直于平面内两条相交直线时可以判定直线垂直平面，直线垂直于平面内两条平行线却不能得出直线垂直平面，你能从向量的角度解释一下吗？思考(4):

你能找到这样的实例吗？

如图，一本书打开的书立在桌子上，若书的脊线与封面和封底的下边垂直，而（封面和封底的下边相交），则书的脊线垂直于桌面.nmlαPnmlα

因为直线垂直等价于两个方向垂直，由于两条平行线的方向向量是平行的，因此两条平行直线都垂直于一条直线实际上于等价于一条直线垂直于另一条直线，而两条相交直线的方向向量不共线，它们可以表示平面内的任意向量，因此两条相交直线都垂直于某一条直线实际上等价于平面任意一条直线垂直于该直线.

例1.求证：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.∵m

,

n

在平面α

内是相交，证明：为什么？例析在平面α内作两条相交直线m，n.思考(6):

你能用前面那个实例来说明吗？

一本打开直立在桌子的书，书脊线桌面垂直，每一页外侧边缘与书脊平行，因此每一页的外侧边缘垂直于桌面.结论

如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.1.如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，

求证：AC⊥平面SDB.证明：练习SABCD2.如图，在直四棱柱A′B′C′D′—ABCD中，当底面四边形ABCD满

足什么条件时，A′C⊥B′D′?AC⟂BD.简析:（教材P152练习第2，3题）知识探究(三)

思考(1):

直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊的情况，

若一条直线与平面相交但不垂直（这种情况我们一般称为斜交，直线称为平面的斜线），它们的不同情况又如何区别呢？

用不同的倾斜程度来区分.

而直线与平面的倾斜程度又可以用直线与平面所成的角来表示.

思考(2):

：我们刚才已经涉及到直线与平面所成角的概念，你能再说说什么是直线与平面所成的角吗？斜线斜足垂足斜线的射影直线与平面所成的角

平面的斜线和它在平面内的射影所成的角,叫这条直线与平面所成的角.1.定义：

并规定：

垂线与平面所成的角为90

.斜线斜足垂足斜线的射影直线与平面所成的角

平面的斜线和它在平面内的射影所成的角,叫这条直线与平面所成的角.1.定义：并规定：平面的垂线与平面所成的角为90

；平面的平行直线或在平面内的直线与平面所成的角为0

.2.范围：[0

,90

]3.性质：

一条直线与平面与所成的角是这条直线与平面内直线所成角中的最小角.如图，∠AOA′≤∠AOB返回

例2.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1DCB1所成的角.例析D1BADA1C1CB1

思考(1):

大家还能想起求异面直线所成角的过程吗？一作(找)→二证→三计算

思考(2):

按照这个过程，你认为如何才能作出或找到直线A1B和平面A1DCB1所成的角呢？

作出或找到直线A1B在平面A1DCB1上的射影.

而要得到这个射影，就需要作出或找到平面A1DCB1的垂线，且这条垂线过直线A1B上某一点.

思考(3):结合本题的已知条件，如何才能作出或找到这条垂线，从而得出A1B在平面A1DCB1上的射影呢？D1BADA1C1CB1

例2.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1DCB1所成的角.一作二证三计算课堂小结1.本节课是按怎样的路径展开对直线与平面垂直进行研究的？背景→定义→判定→.