2020-2021学年新教材高中数学数列5.4数列的应用课时素养检测含解析

十一数列的应用(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.某工厂购买一台机器价格为a万元,实行分期付款,每期付款b万元,每期为一月,共付12次,若按月利率5‰,每月复利一次,则a,b满足 ()A.b=QUOTE B.b=QUOTEC.b=QUOTE D.QUOTE<b<QUOTE【解析】QUOTE+QUOTE+…+QUOTE=a,所以12b<a(1+0.005)12,所以b<QUOTE.又显然12b>a,所以b>QUOTE.2.《周髀算经》中有这样一个问题:从冬至日起,依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气,其日影长依次成等差数列,冬至、立春、春分日影长之和为尺,前九个节气日影长之和为尺,则立夏日影长为 ()尺 尺尺 尺【解析】选D.设数列为{an},公差为d,a1+a4+a7=3a1+9d=31.5,S9=9a1+36d=85.5,解得a1=13.5,d=-1,所以立夏日影长为a10.3.现存入银行10000元钱,年利率是3.60%,那么按照复利,第5年末的本利和是()3 45 6【解析】选C.由题意得S=10000×(1+3.60%)5=10000×5.4.某采摘园的樱桃前n年的总产量Sn与n之间的关系如图所示,从图中记录的结果看,前x年的平均产量最高,第y年的年产量最高,则x和y的值分别为()和4 和8和4 和10【解析】n与n在图中对应PQUOTE点,则前n年的年平均产量为直线OP的斜率,由题干图易知当n=7时,直线OP的斜率最大,即前7年的年平均产量最高,x=7;又an=Sn-Sn-1,所以变化量最大的是第4年,即y=4.5.某钢厂的年产值由2000年的40万吨,增加到2010年的50万吨,经历了10年的时间,如果按此年增长率计算,该钢厂2020年的年产值将接近 ()万吨 万吨万吨 万吨【解析】选C.设年增长率为x,则2010年为:40(1+x)10=50,则(1+x)10=QUOTE.2020年为:40(1+x)20=40×[(1+x)10]2=40×QUOTE×QUOTE≈63(万吨).6.某林厂现在的森林木材存量是1800万立方米,木材以每年25%的增长率生长,而每年要砍伐固定的木材量为x万立方米,为达到经两次砍伐后木材存量增加50%的目标,则x的值是 () B.45 【解析】选C.经过一次砍伐后,木材存量为1800(1+25%)-x=2250-x;经过两次砍伐后,木材存量为(2250-x)×(1+25%)-x=2812.5-2.25x.由题意应有2812.5-2.25x=1800×(1+50%),解得x=50.二、填空题(每小题5分,共10分)7.一件家用电器,现价2000元,实行分期付款,一年后还清,购买后一个月第一次付款,以后每月付款一次,每次付款数相同,共付12次,月利率为0.8%,并按复利计息,那么每期应付款________元.

(参考数据11≈12≈11≈12≈2.518)【解析】设每期应付款x元,第n期付款后欠款An元,则A1=2000(1+0.008)-x=2000×1.008-x,A2=(2000×08-x)×1.008-x=2000×2-1.008x-x,…A12=2000×121110+…+1)x,因为A12=0,所以2000×121110+…+1)x=0,解得x=QUOTE=QUOTE≈176.即每期应付款176元.答案:1768.某人买了一辆价值10万元的新车,专家预测这种车每年按10%的速度折旧,n年后这辆车的价值为an元,则an=______,若他打算用满4年时卖掉这辆车,他大约能得到______元.

【解析】n年后这辆车的价值构成等比数列{an},其中,a1=100000×(1-10%),q=1-10%,所以an=100000×(1-10%)n,所以a4=100000×(1-10%)4=65610(元).答案:100000×(1-10%)n65610三、解答题(每小题10分,共20分)9.某种汽车,购车费用是10万元,第一年维修费用是万元,以后逐年递增万元,且每年的保险费、养路费、汽油费等约为万元.(1)设这种汽车使用x年(x∈N*)的维修费用的和为gQUOTE万元,求gQUOTE的表达式;(2)这种汽车使用多少年时,它的年平均费用最小?【解析】(1)由题意,维修费是以0.2为首项,0.2为公差的等差数列,则汽车使用x年的维修费用的和为g(x)=0.2x+QUOTE×2+0.1x,x∈N*.2+0.1x,x∈N*;(2)设汽车使用x年年平均费用为f(x),则f(x)=QUOTE=0.1x+QUOTE+1,因为0.1x+QUOTE≥2,当且仅当0.1x=QUOTE,即x=10时,f(x)最小.所以这种汽车使用10年时,它的年平均费用最小.10.在中国绿化基金会的支持下,库布齐沙漠得到有效治理.2017年底沙漠的绿化率已达30%,从2018年开始,每年将出现这样的情况:上一年底沙漠面积的16%被栽上树改造为绿洲,而同时,上一年底绿洲面积的4%又被侵蚀,变为沙漠.(1)设库布齐沙漠面积为1,由绿洲面积和沙漠面积构成.2017年底绿洲面积为a1=0.3,经过1年绿洲面积为a2,经过n年绿洲面积为an+1,试用an表示an+1;(2)问至少需要经过多少年的努力才能使库布齐沙漠的绿洲面积超过60%(年数取整数).【解析】(1)第n+1年绿洲面积由上一年即第n年绿洲面积、增加上一年底沙漠面积的16%以及减少上一年底绿洲面积的4%这三部分构成,即an+1=an+0.16(1-annn+0.16;(2)因为an+1n+0.16,所以an+1-0.8=0.8(an-0.8),所以数列{an-0.8}构成以a1-0.8=-0.5为首项,0.8为公比的等比数列,因此an×n-1,所以an×n-1,由an×n-1>0.6,得n-1<0.4,所以n≥6,因此至少需要经过6-1=5年的努力才能使库布齐沙漠的绿洲面积超过60%.(35分钟70分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.某学校餐厅每天供应500名学生用餐,每星期一有A,B两种菜可供选择,调查资料表明,凡是在星期一选A种菜的学生,下星期一会有20%改选B种菜;而选B种菜的学生,下星期一会有30%改选A种菜.用an,bn分别表示在第n个星期的星期一选A种菜和选B种菜的学生人数,则an+1与an的关系可以表示为 ()n+1=QUOTEan+150 n+1=QUOTEan+200n+1=QUOTEan+300 n+1=QUOTEan+180【解析】QUOTE消去bn,得an+1=QUOTEan+150.2.某公司今年获利5000万元,如果以后每年的利润都比上一年增加10%,那么总利润达3亿元时大约还需要 ()(参考数据≈≈≈≈0.20)年 年 年 年【解析】选A.根据题意,每年的利润构成一个等比数列{an},其中首项a1=5000,公比q=1+10%=1.1,SnQUOTEn=1.6,两边取对数,得nlg1.1=lg1.6,解得n=QUOTE≈5,故还需要4年.3.某纯净水厂在净化过程中,每增加一次过滤可减少水中杂质的20%,要使水中杂质减少到原来的5%以下,则至少需过滤的次数为(lg2≈0) () B.10 【解析】选C.设原杂质数为1,由题意,得各次过滤杂质数成等比数列,且a1=1,公比q=1-20%,故an+1=(1-20%)n.由题意可知(1-20%)nn<0.05.两边取对数,得nlg0.8<lg0.05,因为lg0.8<0,所以n>QUOTE,即n>QUOTE=QUOTE=QUOTE≈QUOTE≈13.41,故取n=14.4.根据市场调查结果,预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量Sn(万件)近似地满足Sn=QUOTE(21n-n2-5)(n=1,2,…,12).按此预测,在本年度内,需求量超过万件的月份是 ()月、6月 月、7月月、8月 月、9月【解析】n-Sn-1=QUOTE(21n-n2-5)-QUOTE[21(n-1)-(n-1)2-5]=QUOTE;令QUOTE>1.5,即n2-15n+54<0,解得6<n<9.二、填空题(每小题5分,共20分)5.已知某火箭在点火第一秒通过的路程为2km,以后每秒通过的路程都增加2km,在达到离地面240km的高度时,火箭与飞船分离,【解析】设每一秒通过的路程依次为a1,a2,a3,…,an,则数列{an}是首项a1=2,公差d=2的等差数列.由求和公式得na1+QUOTE=240,即2n+n(n-1)=240,解得n=15.答案:156.甲、乙两人于同一天分别携款1万元到银行储蓄,甲存5年定期储蓄,年利率为2.88%,乙存一年定期储蓄,年利率为2.25%,并在每年到期时将本息续存一年期定期储蓄,按规定每次计息时,储户须交纳利息的20%作为利息税.若存满五年后两人同时从银行中取出存款,则甲、乙所得利息之差为__________元.

【解析】由已知甲所得本息和a=10000+10000×2.88%×5×80%,而乙实际上的年利率在去掉利息税后为QUOTE×2.25%,故乙所得本息和b=10000×QUOTE,经计算a-b≈219.01(元).答案:7.有n台型号相同的联合收割机,现收割一片土地上的小麦,若同时投入工作,则收割完毕需要24小时.现在这些收割机每隔相同的时间依次投入工作,每一台投入工作后都一直工作到小麦收割完毕.如果第一台收割机工作的时间是最后一台的5倍,则用这种方法收割完这片土地上的小麦需要________小时.

【解析】设这n台收割机工作的时间(单位:小时)依次为a1,a2,…,an,依题意,{an}是一个等差数列,且QUOTE,由②得QUOTE=24n,所以a1+an=48③.将①③联立,解得a1=40.故用这种方法收割完这片土地上的小麦需要40小时.答案:408.小明用数列{an}记录某地区2019年12月份31天中每天是否下过雨,方法为:当第k天下过雨时,记ak=1,当第k天没下过雨时,记ak=-1(1≤k≤31);他用数列{bn}记录该地区该月每天气象台预报是否有雨,方法为:当预报第k天有雨时,记bk=1,当预报第k天没有雨时,记bk=-1(1≤k≤31);记录完毕后,小明计算出a1b1+a2b2+…+a31b31=25,那么该月气象台预报准确的总天数为______;若a1b1+a2b2+…+akbk=m,则气象台预报准确的天数为________(用m,k表示).

【解析】依题意,若akbk=1(1≤k≤31),则表示第k天预报正确;若akbk=-1(1≤k≤31),则表示第k天预报错误,当a1b1+a2b2+…+akbk=m时,假设其中有x天预报正确,即等式的左边有x个1,QUOTE个-1,则x-QUOTE=m,解得x=QUOTE,即气象台预报准确的天数为QUOTE;于是当a1b1+a2b2+…+a31b31=25时,则气象台预报准确的天数为QUOTE=28.答案:28QUOTE三、解答题(每小题10分,共30分)9.某公司进行共享单车的投放与损耗统计,到去年2016年底单车的市场保有量(已投入市场且能正常使用的单车数量)为10000辆,预计今后每年新增单车1000辆,随着单车的频繁使用,估计每年将有200辆车的损耗,并且今后若干年内,年平均损耗在上一年损耗基础上增加10%.(1)预计2019年底单车的市场保有量是多少?(2)到哪一年底,市场的单车保有量达到最多?该年的单车保有量是多少辆(最后结果精确到整数)?【解析】(1)2019年底单车的市场保有量是10000+1000×3-200-200××2=12338.(2)到2016+n年底,市场的单车保有量为an=10000+1000×n-200-200××2-…-200×n-1=10000+1000n-200×QUOTE=12000+1000n-2000×n,因为an+1-an=1000-200×nn),所以n≤16,an+1>an;n≥17,an+1<an;即n=17,an取最大值18891,此时为2033年底;即到2033年底,市场的单车保有量达到最多,为18891辆.10.甲、乙两超市同时开业,第一年的全年销售额均为a万元,由于经营方式不同,甲超市前n年的总销售额为QUOTE(n2-n+2)万元,乙超市第n年的销售额比前一年的销售额多aQUOTE万元.(1)求甲、乙两超市第n年销售额的表达式;(2)若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%,则该超市将被另一超市收购,判断哪一超市有可能被收购?如果有这种情况,将会出现在第几年?【解析】(1)设甲、乙两超市第n年的销售额分别为an,bn.则有a1=a,当n≥2时,an=QUOTE(n2-n+2)-QUOTE[(n-1)2-(n-1)+2]=(n-1)a,所以an=QUOTEbn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+…+(bn-bn-1)=QUOTEa(n∈N+).(2)易知bn<3a,所以乙超市将被甲超市收购,由bn<QUOTEan,得QUOTEa<QUOTE(n-1)a.所以n+4×QUOTE>7,所以n≥7,即第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半,乙超市将被