【高中数学同步讲义】人教A版2019必修第二册频率与概率（同步知识梳理+考点精讲精练）

10.3频率与概率

【知识点梳理】

1.频率的稳定性

一般地，随着试验次数〃的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率

启A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，

我们可以用频率人(A)估计概率P(A).

2.概率与频率的区别与联系

频率概率

频率反映了一个随机事件发生的频繁概率是一个确定的值，它反映随机事件发生

区别

程度，是随机的的可能性的大小

联系频率是概率的估计值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率

3.随机模拟

我们知道，利用计算器或计算机软件可以产生随机数.实际上，我们也可以根据不同的

随机试验构建相应的随机数模拟实验，这样就可以快速地进行大量重复试验了，这么随机模

拟方式叫做随机模拟.

我们称利用随机模拟解决问题地方法为蒙特卡洛(MonteCarlo)方法.

【典型例题】

题型一概率的稳定性

(多选题)例1.(2022•云南玉溪•高二期末)下列说法正确的有()

A.某市大中小型超市分别有20家、40家、140家，现用分层抽样的方法从该市大中小型超

市中抽取一个容量为10的样本进行研究，应抽取中型超市2家

B.在一次试验中，随机事件可能发生也可能不发生，所以事件发生的概率是0.5

C.一组数据的标准差越小，该组数据离散程度越小，稳定性越好

D.在抛币试验中，试验次数从1增加到10的过程中，随机事件发生的频率越来越接近其

概率

【答案】AC

【解析】

【分析】

利用分层抽样性质求选项A.利用概率的基本性质判断选项B,利用标准差的特点判断选项

C,利用频率和概率的关系判断选项D.

【详解】

对于选项A,现用分层抽样的方法从该市大中小型超市中抽取一个容量为10的样本进行研

40

究，应抽取中型超市的数量为一-八二2,则选项A正确；

对于选项B,随机事件发生的概率为0〈尸＜1,即事件发生的概率不一定为0.5,则选项B不正

确；

对于选项C,一组数据的标准差越小，方差就越小，该组数据离散程度越小，稳定性越好，

则选项C正确；

对于选项D,当试验的次数很大时，随机事件的频率接近其概率，试验次数从1增加到10的

过程中，试验的次数太少，随机事件发生的频率不会接近其概率，则选项D不正确.

故选：AC.

解题技巧（利用概率的稳定性解题的注意事项）

（1）概率是随机事件发生可能性大小的度量，是随机事件A的本质属性，随机事件A发

生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的近似值.

（2）正确理解概率的意义，要清楚概率与频率的区别与联系.对具体的问题要从全局和

整体上去看待，而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件.

（多选题）例2.（2022・湖北・恩施土家族苗族高中高三期末）利用计算机模拟掷两枚硬币的

试验，在重复试验次数为20,100,500时各做5组试验，得到事件4=“一个正面朝上，一

个反面朝上发生的频数和频率表如下：

71=2072=100n=500

序号

频数频率频数频率频数频率

1120.6560.562610.522

290.45500.552410.482

3130.65480.482500.5

470.35550.552580.516

5120.6520.522530.506

根据以上信息，下面说法正确的有（）

A.试验次数相同时，频率可能不同，说明随机事件发生的频率具有随机性

B.试验次数较小时，频率波动较大；试验次数较大时，频率波动较小，所以试验次数越少

越好；

C.随机事件发生的频率会随着试验次数增加而逐渐稳定在一个固定值附近

D.我们要得到某事件发生的概率时，只需要做一次随机试验，得到事件发生的频率即为概

率

【答案】AC

【解析】

【分析】

根据频率和概率的关系判断

【详解】

A选项，验次数相同时，频率可能不同，说明随机事件发生的频率具有随机性，故正确；

试验次数较小时，频率波动较大；试验次数较大时，频率波动较小，所以试验次数越多越好：

B错误；

随机事件发生的频率会随着试验次数增加而逐渐稳定在一个固定值附近,此固定值就是概率,

C正确；

我们要得到某事件发生的概率时，需要进行多次试验才能得到概率的估计值，故D错误.

故选：AC

例3.(2022.湖南•高一课时练习)某文具厂打算生产一种中学生使用的笔袋，但无法确定各

种颜色的产量，于是该文具厂就笔袋的颜色随机调查了5000名中学生，并在调查到1000

名，2000名，3000名，4000名，5000名时分别计算了各种颜色的频率，绘制的折线图如下：

(1)随着调查次数的增加，红色的频率如何变化？

(2)你能估计中学生选取红色的概率是多少吗？

(3)若你是该厂的负责人，你将如何安排生产各种颜色笔袋的产量？

【答案】(1)红色的频率越来越稳定在0.2

⑵0.2

(3)可安排生产蓝色、红色、绿色、紫色、及其它颜色的笔袋产量的比例大约为4:2:2:12:0.8

(合理即可)

【解析】

【分析】

(I)根据折线图分析即可；

(2)根据频率和概率的关系判断即可；

(3)根据折线图可得中学生选取蓝色、红色、绿色、紫色、及其它颜色的概率，即可按比

例安排生产；

⑴

解：根据折线图可知随着调查次数的增加，红色的频率越来越稳定在02；

（2）

解：由图可知，红色的频率基本在0.2附近浮动，所以中学生选取红色的概率是0.2；

（3）

解：由图可知，中学生选取蓝色、红色、绿色、紫色、及其它颜色的概率分别是0.4、0.2、

0.2,0.15、0.1,故可安排生产蓝色、红色、绿色、紫色、及其它颜色的笔袋产量的比例大

约为4:2:2:1.2:08（合理即可）;

例4.（2022•湖南•高一课时练习）某射击运动员脱靶的概率是0.01%,如果他独立重复射击

下去，必有一次脱靶发生.（利用频率和概率的关系说明）

【答案】答案见解析

【解析】

【分析】

根据频率与概率的关系说明即可；

【详解】

解：频率一般是大概统计数据经验值，频率稳定于概率，概率为准确值，依题意，已知射击

运动员脱靶的概率是0.01%,这是由多次实验得出的数据，如果设运动员射击〃次，至少脱

靶一次的概率P=1-（1-0.0001）"=1-0.9999",从函数的角度分析可知当〃非常大时尸会趋

近于1,也就是说由概率的意义可知，该射击运动员在10000次射击中，可能有1次脱靶，

即他独立重复射击下去，必有一次脱靶发生.

题型二概率的应用

例5.（2021.江西吉安.高一期末）（1）用掷两枚质地均匀的硬币做胜负游戏，规定：两枚硬

币同时出现正面或同时出现反面算甲胜，一个正面、一个反面算乙胜.这个游戏是否公平？

请通过计算说明.

（2）若投掷质地均匀的三枚硬币，规定：三枚硬币同时出现正面或同时出现反面算甲胜，

其他情况算乙胜.这个游戏是否公平？请通过计算说明.

【答案】（1）这个游戏公平的；答案见解析；（2）这个游戏不公平；答案见解析.

【解析】

【分析】

利用列举法结合古典概型的概率公式求解即可，若概率相同，则游戏公平，否则不公平

【详解】

（1）抛掷两枚质地均匀的硬币，所有情况有：｛（正正），（正反），（反正），（反反）｝.

记事件A,8分别为“甲胜”，“乙胜”，则P（A）=P（8）=；,

这个游戏公平的.

（2）抛掷三枚质地均匀的硬币，所以有情况有：｛（正正正），（正正反），（正反正），（正反

反），（反正正），（反正反），（反反正），（反反反））.

记事件A,8分别为“甲胜”，“乙胜”，

213

则尸⑷入丁,=这个游戏不公平.

解题技巧（游戏公平性的标准及判断方法）

（1）游戏规则是否公平，要看对游戏的双方来说，获胜的可能性或概率是否相同.若相

同，则规则公平，否则就是不公平的.

（2）具体判断时，可以按所给规则，求出双方的获胜概率，再进行比较.

例6.（2021・全国•高一课时练习）有一个转盘游戏，转盘被平均分成10等份（如图所示），转动

转盘,当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字.游戏规则如下:两个人参加，先确定猜数

方案，甲转动转盘，乙猜，若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符，则乙获胜,否则甲

获胜.猜数方案从以下三种方案中选一种：

A.猜“是奇数”或“是偶数”

B.猜“是4的整数倍数”或“不是4的整数倍数”

C.猜“是大于4的数”或“不是大于4的数”

请回答下列问题：

（1）如果你是乙，为了尽可能获胜，你将选择哪种猜数方案,并且怎样猜?为什么？

（2）为了保证游戏的公平性，你认为应制定哪种猜数方案?为什么？

（3）请你设计一种其他的猜数方案，并保证游戏的公平性.

【答案】⑴应选方案B，猜“不是4的整数倍数”;（2）应当选择方案A;

（3）可以设计为:猜”是大于5的数”或“不是大于5的数”

【解析】

【详解】

试题分析：（1）方案A中“是奇数”或“是偶数”的概率均为得=0.5,案B中“不是4的整数倍

数''的概率为1=0.8,“是4的整数倍数”的概率为记=0.2,方案C中“是大于4的数”的概

率为义6=0.6,“不是大于4的数”的概率为启4=04,乙为了尽可能获胜，应选方案B,猜“不是

4的整数倍数（2）为了保证游戏的公平性,应当选择方案A“是奇数”或“是偶数”的概率均

为得=0.5(3)“是大于5的数”或“不是大于5的数”发生的概率是一样的，也可以保证游戏的

公平性

试题解析：

⑴如题图，方案A中“是奇数”或“是偶数”的概率均为亘-0.5;方案B中“不是4的整数倍数”

10

的概率为且=0.8,“是4的整数倍数”的概率为二=0.2;方案C中“是大于4的数”的概率为巨

101010

=0.6,“不是大于4的数''的概率为$0.4.乙为了尽可能获胜，应选方案B,猜“不是4的整数倍

数”.

(2)为了保证游戏的公平性,应当选择方案A因为方案A猜“是奇数”或“是偶数”的概率均为

0.5,从而保证J'该游戏是公平的.

(3)可以设计为:猜“是大于5的数”或“不是大于5的数”,此方案也可以保证游戏的公平性.

点睛：本题主要考查游戏的公平性，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就

公平，否则就不公平，此外本题还考查了对于事件发生的可能性的计算.用到的知识点为：

概率=所求情况数与总情况数之比.

例7.(2020•全国•高一课时练习)小陈以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校足球

队.游戏规则：从A，4,4,4,4,A(如图)这6个点中任取2个点，记选取的在y轴上的

点的个数为X.若X=0就参加学校合唱团，否则就参加学校足球队.

4(0,1)

4(一1，°)4(1,0)_

01X

4。-1)

—1

4(3)

(1)请写出中任取2个点的样本空间；

(2)求小陈不参加学校合唱团的概率.

【答案】(I)样本空间。={A4，AA，AA4，AA，A，4A3,

3

44,4A，4A,AA’4A，AA}12)~

【解析】

(1)直接用枚举法表示样本空间即可；

(2)根据X=0就参加学校合唱团，则可先确定X=0时的样本点个数，再根据古典概型概率计

算公式求出参加学校合唱团的概率，从而得到不参加学校合唱团的概率.

【详解】

(1)从4，4，43,44，4，4中任取2个点的样本空间如下：

c={A4'A4‘AA'A,A2A,AA,4A,A2A,AA，A,A，A3A,4A,AA，AA},

一共有15个样本点；

(2)当X=0时,所取的2个点均不在y轴上，

即从A，4,a，4中任取2个点，

()共6个样本点，

所以小陈参加学校合唱团的概率为卷=|,

小陈不参加学校合唱团的概率p=1-,=：

【点睛】

本题主要考查古典概型的概率求法，难度不大.

题型三利用随机模拟实验求概率

例8.(2022•重庆市育才中学模拟预测)某种心脏手术，成功率为0.6,现采用随机模拟方法

估计“3例心脏手术全部成功”的概率：先利用计算器或计算机产生0~9之间取整数值的随机

数，由于成功率是0.6,我们用0,1,2,3表示手术不成功，4,5,6,7,8,9表示手术

成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果，经随机模拟产生如下10组随机数：

812,832,569,683,271,989,730,537,925,907

由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为()

A.0.2B.0.3C.0.4D,0.5

【答案】A

【解析】

【分析】

由题可知10组随机数中表示“3例心脏手术全部成功”的有2组，即求.

【详解】

解：由题意，10组随机数：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907,表示“3例心脏手术全

部成功”的有：569,989,故2个，

故估计“3例心脏手术全部成功”的概率为/=0.2.

故选：A.

解题技巧（利用随机模拟实验求概率）

用随机模拟来估计概率，一般有如下特点的事件可以用这种方法来估计：（1）对于满足

“有限性”但不满足"等可能性”的概率问题，我们可采取随机模拟方法来估计概率.（2）对于一

些基本事件的总数比较大而导致很难把它列举得不重复、不遗漏的概率问题或对于基本事件

的等可能性难于验证的概率问题，可用随机模拟方法来估计概率.

例9.（2022.湖南•高一课时练习）下表是用计算机模拟的抛掷一枚质地均匀的骰子的试验数

据.其中〃是试验的次数，表中的百分数是频率.

点数/?=102n=103九=5000n=104M=105n=10fi

117.00%16.50%16.28%16.61%16.72%16.69%

215.00%15.50%17.12%16.62%16.44%16.62%

318.00%17.10%16.78%16.94%16.84%16.69%

418.00%16.00%16.68%16.97%16.76%16.64%

513.00%16.60%15.50%15.94%16.69%16.64%

619.00%18.30%17.64%16.92%16.55%16.72%

借助表格说明：当试验的次数逐步增加时，每个点数出现的频率有哪些变化？

【答案】见解析

【解析】

【分析】

根据表中的数据可得每个点出现的频率稳定在某常数的附近.

【详解】

由表中数据可得每个出现的频率随着试验的次数逐步增加稳定在0.166附近.

例10.（2021.全国•高一课时练习）某射击运动员每次击中目标的概率都是80%.若该运动

员连续射击10次，用随机模拟方法估计其恰好有5次击中目标的概率.

【答案】答案见解析.

【解析】

【分析】

用1,2,3,4,5,6,7,8表示击中目标，用9,0表示未击中目标，利用计算机或计算器产生0到9

之间的整数随机数，每10个作为一-组，统计组数小统计这〃组数中恰有5个数在1,2,3,4,

5,6,7,8中的组数"?，根据古典概型可得答案.

【详解】

解：步骤：

（I）用1,2,3,4,5,6,7,8表示击中目标，用9,（）表示未击中目标，这样可以体现击中的概率为

80%；

（2）利用计算机或计算器产生0到9之间的整数随机数，每10个作为一-组，统计组数小

（3）统计这〃组数中恰有5个数在1,2,3,4,5,6,7,8中的组数〃?；

（4）则连续射击10次恰有5次击中目标的概率的近似值为生.

【同步练习】

一、单选题

1.（2022・湖南•高一课时练习）一个容量为20的样本数据，分组与频数如下表:

分组[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70]

频数234542

则样本在［10,50）内的频率为（）

A.0.5B.0.24C.0.6D.0.7

【答案】D

【解析】

【分析】

根据频数分布表可得正确的选项.

【详解】

因为样本在［10,50）内的频数为2+3+4+5=14,样本容量为20,

所以在［10,50）内的频率为弟07

故选：D.

2.（2022.河南.高三阶段练习（文））某机构对某银行窗口服务进行了一次调查，得到如下数

据：

等待时间

[0,5)[5,10)[10,15)[15,20)[20,25]

（分钟）

人数48742

则估计顾客的等待时间少于15分钟的频率是（）

A.0.19B.0.24C.0.38D.0.76

【答案】D

【解析】

【分析】

根据表中的数据直接求解

【详解】

由题意可得顾客的等待时间少于15分钟的频率是，::=弓=0.76.

4+8+7+4+225

故选：D

3.（2022•江西鹰潭•高二期末（理））中国农历的二十四节气是中华民族的智慧与传统文化的

结晶，二十四节气歌是以春、夏、秋、冬开始的四句诗.在国际气象界，二十四节气被誉为“中

国的第五大发明”.2016年11月30日，二十四节气被正式列入联合国教科文组织人类非物质

文化遗产代表作名录.某小学三年级共有学生600名，随机抽查100名学生并提问二十四节

气歌，只能说出一句的有45人，能说出两句及以上的有38人，据此估计该校三年级的600

名学生中，对二十四节气歌一句也说不出的有（）

A.17人B.83人C.102人D.115人

【答案】C

【解析】

【分析】

根据频率计算出正确答案.

【详解】

一句也说不出的学生频率为"需一汽=017,

所以估计600名学生中，一句也说不出的有600x0.17=102人.

故选：C

4.（2022•山东潍坊•高二期末）如图，某系统由4,B,C,。四个零件组成，若每个零件是

否正常工作互不影响，且零件A,B,C,£）正常工作的概率都为P（O<P<1）,则该系统正

常工作的概率为（）

A.[l-(l-p)p[pB.[l-p(l-p2)]p

C.[1-(1D.

【答案】C

【解析】

【分析】

要使系统正常工作，则A、8要都正常或者C正常，。必须正常，然后利用独立事件，对立

事件概率公式计算.

【详解】

记零件或系统X能正常工作的概率为P(X),

该系统正常工作的概率为:「{[(AB)uC]cD}=尸[(48)=C]P(。)

=[I-P(7^)P©]P(O)=(I-P("B)P©)P(O)

=[I-(I-P(AB))(I-P(C))]P(D)=[I-(I-P2)(I-P)＞，

故选：c.

5.(2022•北京丰台•高二期末)抛掷一枚质地均匀的硬币，设事件A="正面向上”，则下列

说法正确的是()

A.抛掷硬币10次，事件4必发生5次

B.抛掷硬币100次，事件4不可能发生50次

C.抛掷硬币1000次，事件A发生的频率一定等于0.5

D.随着抛掷硬币次数的增多，事件A发生的频率在0.5附近波动的幅度较大的可能性小

【答案】D

【解析】

【分析】

根据频率与概率的关系可得答案.

【详解】

不管抛掷硬币多少次，事件4发生的次数是随机事件，故ABC错误；

随着抛掷硬币次数的增多，事件A发生的频率在0.5附近波动的幅度较大的可能性小：

故选：D

6.(2021・全国•高一课时练习)池州九华山是著名的旅游胜地.天气预报8月1日后连续四

天，每天下雨的概率为0.6,现用随机模拟的方法估计四天中恰有三天下雨的概率：在0~9

十个整数值中，假定0,1,2,3,4,5表示当天下雨，6,7,8,9表示当天不下雨.在随

机数表中从某位置按从左到右的顺序读取如下20组四位随机数：

95339522001874720018387958693281

78902692828084253990846079802436

5987388207538935

据此估计四天中恰有三天下雨的概率为()

【答案】B

【解析】

【分析】

求出表中数据四天中恰有三天下雨的情况即可得出概率.

【详解】

由表中数据可得四天中恰有三天下雨的有9533,9522,0018,0018,3281,8425,2436,

0753,共8组,

QO

所以估计四天中恰有三天下雨的概率为4=£

故选：B.

7.（2021.全国•高一课时练习）在进行〃次反复试验中，事件4发生的频率为巴，当〃很大

n

时，事件A发生的概率P（A）与丝的关系是（）

n

A.P（A）«-B.P（A）＜-

nn

C.P（A）＞-D.P（A）=-

nn

【答案】A

【解析】

【分析】

当〃很大时，频率是概率的近似值，从而可得答案

【详解】

在进行〃次反复试验中，事件A发生的频率为竺，当〃很大时，画越来越接近于P（A）,

nn

所以可以用丝近似的代替尸（A）,即P（A卜生，

nn

故选：A

8.（2021・上海•格致中学高二阶段练习）独立地重复一个随机试验次，设随

机事件A发生的频率为了（〃），随机事件A发生的概率为P,有如下两个判断：①如果

"21｝是单元素集，则P=l；②集合｛/（〃）|〃eV,〃21｝不可能只含有两个元

素，其中（）

A.①正确，②正确B.①错误，②正确

C.①正确，②错误D.①错误，②错误

【答案】B

【解析】

【分析】

对于①，举反例可判断①的正误；对于②，利用频率与概率的关系可判断②正误，即可得出

结论.

【详解】

对于①，比如定义随机试验：从10个红球中任意抽取3个球，

定义随机事件A：三个球中有一个白球，则P=0,且{/5）|〃eN,,〃21}={0},①错；

对于②，频率会随着试验的变化而变化，是一个变化的值，但随着试验次数的增加，频率会

接近于概率，

因此，{/（，7）|〃€汽*.21}不可能只含有两个元素，②对.

故选：B.

二、多选题

9.（2022・湖南•高一课时练习）（多选）甲、乙两人做游戏，下列游戏中公平的是（）

A.抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜

B.同时抛两枚相同的骰子，向上的点数之和大于7则甲胜，否则乙胜

C.从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜

D.甲、乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜

【答案】ACD

【解析】

【分析】

求出每一个选项的情况下，甲胜和乙胜的概率即可判断得解.

【详解】

31

解：对于选项A,甲胜和乙胜的概率都是工=彳，所以游戏是公平的；

62

对于选项B,点数之和大于7和点数之和小于7的概率相等，但点数等于7时乙胜，所以甲

胜的概率小，所以游戏不公平；

对于选项C,甲胜和乙胜的概率都是||=g,所以游戏是公平的；

对于选项D,甲胜的概率是义,乙胜的概率是3，所以游戏是公平的.

故选：ACD

10.（2021・湖北十堰•高二期中）下列说法不合理的是（）

A.抛掷一枚质地均匀的骰子，点数为6的概率是，，意即每掷6次就有一次掷得点数6.

O

B.抛掷一枚硬币，试验200次出现正面的频率不一定比100次得到的频率更接近概率.

C.某地气象局预报说，明天本地下雨的概率为80%,是指明天本地有80%的区域下雨.

D.随机事件A,8中至少有一个发生的概率一定比A,B中恰有一个发生的概率大.

【答案】ACD

【解析】

【分析】

在A中，意即每掷6次就可能有一次掷得点数6,故A错误；

在B中，试验200次出现正面的频率不一定比100次得到的频率更接近概率，故B正确；

在C中，是指明天本地有80%的可能性会下雨，故C错误：

在D中，可以举例说明D错误.

【详解】

解：在A中，抛掷一枚质地均匀的骰子，点数为6的概率是意即每掷6次就可能有一

次掷得点数6,故A错误；

在B中，抛掷一枚硬币，由概率的定义得：试验200次出现正面的频率不一定比100次得

到的频率更接近概率，故B正确；

在C中，某地气象局预报说，明天本地下雨的概率为80%,是指明天本地有80%的可能性

会下雨，故C错误；

在D中，随机事件A,B中至少有一个发生的概率不一定比A,B中恰有一个发生的概率

大，如A=掷一枚骰子一次，向上的点数是偶数，8=掷一枚骰子一次，向上的点数是奇数，

则A,8中至少有一个发生的概率的概率是1,A,8中恰有一个发生的概率也是1,故D错

、口

氏

故选：ACD.

11.（2021.全国•高一课时练习）对下面的描述：①频率是反映事件发生的频繁程度，概率是

反映事件发生的可能性的大小；②做〃次随机试验，事件A发生机次，则事件A发生的频

率就是事件A发生的概率；③频率是不能脱离具体的〃次试验的试验值，而概率是具有确

定性的不依赖于试验次数的理论值；④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值.其中正

确的说法有（）

A.①B.②C.③D.④

【答案】ACD

【解析】

【分析】

根据频率和概率的关系可判断.

【详解】

由频率和概率的意义知，频率是反映事件发生的频繁程度，概率是反映事件发生的可能性的

大小，故①正确；

由频率和概率的关系知，频率是概率的近似值，是通过大量试验得到的，而概率是频率的稳

定值，是确定的理论值，故②错误，③④正确.

故选：ACD.

12.(2021•浙江・三门启超中学高二期末)某篮球运动员在最近几次参加的比赛中的投篮情况

如下表：

投篮次数投中两分球的次数投中三分球的次数

1005518

记该篮球运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A,投中三分球为事件B,没投中为事件

C,用频率估计概率的方法，得到的下述结论中，正确的是()A.P(A)=0.55

B.P(B)=0.18

C.P(C)=0.27D.P(3+C)=0.55

【答案】ABC

【解析】

【分析】

求出事件A,8的频率即得对应概率，再用互斥事件的加法公式计算，然后逐一判断得解.

【详解】

CC1Q

依题意，P(A)=-=0.55,P(B)=—=0.18,

100100

显然事件A,8互斥，P(C)=1-P(A+B)=l-P(4)-P(B)=0.27,

事件8,C互斥，则P(8+C)=P(B)+P(C)=0.45,

于是得选项A,B,C都正确，选项D不正确.

故选：ABC

三、填空题

13.(2021.贵州毕节.高二期中)一个口袋中装有若干个除颜色不同外其他都完全相同的红球

和黑球，某同学每次随机取出一个球，观察颜色后放回，连续取了10次，发现取出红球3

次，则估计红球在口袋中的占比为.

3

【答案】—##0.3

【解析】

【分析】

根据已知条件求出摸出红球的频率，进而估计红球在口袋中的占比.

【详解】

3

取球10次，取出红球3次，取出红球的频率为6，

故估计红球在口袋中的占比为5

3

故答案为：—

14.（2022•浙江宁波•高二期末）在下列三个问题中：

①甲乙二人玩胜负游戏：每人一次抛掷两枚质地均匀的硬币，如果规定：同时出现正面或

反面算甲胜，一个正面、一个反面算乙胜，那么这个游戏是公平的；

②掷一枚骰子，估计事件“出现三点''的概率，当抛掷次数很大时，此事件发生的频率接近

其概率；

③如果气象预报1日—30日的下雨概率是：，那么1日一30日中就有6天是下雨的；

其中，正确的是.（用序号表示）

【答案】①②

【解析】

【分析】

以甲乙获胜概率是否均为:来判断游戏是否公平，并以此来判断①的正确性；以频率和概

率的关系来判断②③的正确性.

【详解】

①中：甲乙二人玩胜负游戏：每人一次抛掷两枚质地均匀的硬币，

可得4种可能的结果：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）

则“同时出现正面或反面''的概率为3，“一个正面、一个反面''的概率为3

即甲乙二人获胜的概率均为g,那么这个游戏是公平的.判断正确；

②中：“掷一枚骰子出现三点”是一个随机事件，当抛掷次数很大时，此事件发生的频率会

稳定于其概率值，故此事件发生的频率接近其概率.判断正确；

③中：气象预报”1—30II的下雨概率是g,那么1日一30II每天下雨的概率均是（，每

天都有可能下雨也可能不下雨，故1日一30H中出现下雨的天数是随机的，可能是0天，

也可能是1天、2天、3天....不一定是6天.判断错误.

故答案为：①②

15.（2022•全国•高一课时练习）天气预报说，在接下来的一个星期里，每天涨潮的概率为

20%,设计一个符合要求的模拟试验：利用计算机产生0~9之间取整数值的随机数，用1,

2表示涨潮，用其他数字表示不涨潮，这样体现了涨潮的概率是20%,因为时间是一周，所

以每7个随机数作为一组，假设产生20组随机数是：

7032563256458631424865677851

7782684612256952414788971568

3215687642445863258746894331

5789614568943215478633569841

2589634125869765478232274168

则下个星期恰有2天涨潮的概率为.

【答案】

【解析】

【分析】

由题意可知，恰有2天涨潮就是在这组数中，恰有两个是1或2,从这20组数找出恰有两

个是1或2的个数，然后利用古典概型的概率公式求解即可

【详解】

产生20组随机数相当于做了20次试验，在这组数中，如果恰有两个是1或2,就表示恰有

两天涨潮，它们分别是3142486,5241478,3215687,1258697,共有4组数，于是一周内

41

恰有两天涨潮的概率近似值为三=-，

故答案为：—

16.（2021・天津・紫云中学高二期中）有三台车床加工同一型号的零件，第一台加工的次品率

为0.06,第二三台加工的次品率均为0.05,加工出来的零件混放在一起.已知第一，二，三

台车床加工的零件数分别占总数的0.25,0.3,0.45,任取一个零件，求它是次品的概率.

【答案】0.0525

【解析】

【分析】

利用三台车床的次品率和零件数占比求得正确结论.

【详解】

依题意，任取一个零件，求它是次品的概率为

0.25x0.06+0.3x0.05+0.45x0.05=0.0525.

故答案为：0.0525

四、解答题

17.（2022•湖南•高一课时练习）某商场设立了一个可以自由转动的转盘（如图所示），并做

如下规定：顾客购物80元以上就获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一

区域就可以获得相应的奖品.

下表是活动进行中的一组统计数据:

转动转盘的次数m1001502005008001000

落在区域“1”的频数n13192462100120

m

落在区域“「的频率》

(1)计算并完成表格.

(2)当n很大时，落在区域“1”的频率将会接近多少？

(3)你获得区域力”相应奖品的概率大约为多少？

【答案】(1)答案见解析

(2)0.12

(3)0.12

【解析】

【分析】

(1)根据表中的数据直接计算出频率；

(2)根据频率稳定值可得答案；

(3)根据频率与概率的有关系可得答案.

(1)

落在区域“1”的频率如下表：

转动转盘的次数切1001502005008001000

落在区域“1”的频数n13192462100120

m

0.130.130.120.120.130.12

落在区域“1”的频率〃

(2)

由(I)中计算的频率，可判断当〃很大时，落在区域力”的频率将会接近0.12.

(3)

由(1),(2)及频率与概率的关系可知获得区域“1”相应奖品的概率大约为0.12.

18.(2022.湖南•高一课时练习)有三张除字母外完全相同的纸牌，字母分别是K,K,Q.进

行有放回的抽样，每次试验抽出一张纸牌，经过多次试验后结果汇总如下表：

试验总次数1020501002003004005001000

抽出K的频数71332136198270660

抽出K的频率65%67%

(1)将上述表格补充完整；

(2)观察表格，计算摸到K的频率为多少；

(3)估计摸到K的概率.

【答案】(1)见解析

(2)约为66%.

(3)摸到K的概率约为66%,事实上摸到K的概率为：.

【解析】

(1)

完善后表格如下表所示：

试验总次数1020501002003004005001000

抽出K的频数7133265136198270335660

抽出K的频率70%65%64%65%68%66%67.5%67%66%

(2)

由(1)可得计算摸到K的频率约为66%.

(3)

由频率与概率的关系可得摸到K的概率约为66%,事实上摸到K的概率为;.

19.(2022•广东揭阳.高二期末)为弘扬中华优秀传统文化，鼓励全民阅读经典书籍，某市举

行阅读月活动，现统计某街道约10000人在该活动月每人每日平均阅读时间(分钟)的频率

分布直方图如图：

(1)求x的值；

(2)从该街道任选1人，则估计这个人的每日平均阅读时间超过60分钟的概率.

【答案】(l)x=0.0175

(2)0.7

【解析】

【分析】

(1)利用概率和为I计算可得x的值；(2)求频率分布直方图中每人每日平均阅读时间超

过60分钟的概率即为这个人阅读时间超过60分钟的概率.

(1)

由1-(0.005+0.010+0.0125+0.005)x20=20x

得x=0.0175.

(2)

(0.0175+0.0125+0.005)x20=0.7,

估计这个人的每日平均阅读时间超过60分钟的概率为0.7.

20.(2021•全国•高一课时练习)某人有5把钥匙，其中2把能打开门，现随机地取1把钥匙

试着开门，不能开门就扔掉，问第三次才打开门的概率是多少？如果试过的钥匙不扔掉，这

个概率又是多少？设计一个试验，随机模拟估计上述概率.

【答案】答案见解析.

【解析】

【分析】

第三次才打开门的概率3是2如2果试过的钥匙不扔掉，这个概率是3=x3=2

543555

用计算器或计算机产生1到5之间的取整数值的随机数，1,2表示能打开门，3,4,5表示打

不开门.可由此随机模拟估计上述概率.

【详解】

3221

解：现随机地取1把钥匙试着开门，不能开门就扔掉，第三次才打开门的概率是=

5435

如果试过的钥匙不扔掉，这个概率是3x1x2=痣，

555125

用计算器或计算机产生1到5之间的取整数值的随机数，1,2表示能打开门，3,4,5表示打

不开门.

(1)三个一组(每组数字不重复)，统计总组数N及前两个大于2,第三个是1或2的组数M,则当

N

即为不能，打开门即扔掉，第三次才打开门的概率的近似值.

(2)三个一组，统计总组数M及前两个大于2,第三个为1或2的组数M/,则如即为试过的

M

钥匙不扔掉，第三次才打开门的概率的近似值.

21.(2021•宁夏・银川一中高三阶段练习(文))某中学有初中学生1800人，高中学生1200

人，为了解全校学生本学期开学以来(60天)的课外阅读时间，学校采用分层抽样方法，

从中抽取了100名学生进行同卷调查.将样本中的“初中学生”和"高中学生”按学生的课外阅

读时间(单位，小时)各分为5组[0,10),[10,20),[20,30),[30,40),[40,50],得其频率分布直

初中生组高中生组

(1)估计全校学生中课外阅读时间在[30,40)小时内的总人数是多少；

(2)从课外阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，求至少有2个初中生的概率；

(3)国家规定，初中学生平均每人每天课外阅读时间不小于半小时.若该校初中学生调外阅读

时间小于国