《复变函数》作业集

《复变函数》作业集

西安交通大学网络教育学院

冯复科编

目录

第一章复数与复变函数

第二章解析函数

第三章复变函数的积分

第四章级数

第五章留数

模拟试题一

模拟试题二

参考答案

第一章复数与复变函数

本章要点：

1.复数的概念

2.复数的四则运算

3.复数的模与辐角

4.复数的乘幕与方根

5.复变函数的概念

6.复变函数的极限

7.复变函数的连续性

本章目标：

1.了解复数的概念

2.掌握复数的代数运算

3.掌握复数的乘塞与方根

4.理解复变函数的概念

5.掌握复变函数的极限及其连续性

本章重点：

1.复数的代数运算

2.复数的模与辐角

3.复数的乘幕与方根

4.单连通区域与多连通区域

5.复变函数与映像

6.复变函数的极限与连续性

本章难点：

1.复数的代数运算及几何表示

2.复数的乘幕与方根

3.曲线及区域的复数表示

4.复变函数的极限与连续性

（1）

一、填空题

1.复数比的实部、虚部分别为:

万一1

2.复数」一的模与辐角分别为;

2+3z

3.yf-1=.

4.(l-z)9=______________________.

5.1-V3Z的三角表达式为.

x=xcona-y,sina

6.旋转公式111的复数形式为_________________.

y=%]sina+yxcona

五的指数形式

7.设a-gz2=V3-z,则ZjZ2的指数形式为

为.

二、单项选择题

1.Im[(l+07+(l-07]=()

(A)0(B)2V2(C)-2A/2(D)-V2.

2.若/(2)=彳，贝ijlim/(z)=()

z+i5

(A)i(B)2i(C)-i(D)-2i.

3.下列方程所表示的曲线是椭圆的为()

z—1

(A)lz—2l+lz+2l=5(B)I--I

z+1

(C)IzI+Rez=1(D)Rez2=2.

4.函数/(Z)=M(X,y)+iv(x,y)在点z()=%+认处连续的充要条件是()

(A)M(x,y)在(%,%)处连续(B)v(x,y)在(%,为)处连续

(C)M(X,y)和v(x,y)在(x。,右)处连续(D)“(苍》)+丫(%,〉)在(工0，%)处连续.

z2-zz-l-z

5.lim二()

z->l+zZ2-2Z

3-i3+z1-3/l+3z

(A)(C)­

~4~(B)丁

(2)

6./(z)=一、的连续点集合为()

i+r

(A)单连通区域(B)多连通区域

(C)开集、非区域(D)闭集.

三、求下列复数的辐角的主值argz

1.z=—J12—2z；2.z—sin—I-icos一；

55

3.z=—3+4i；4.z=1-cos0+isin^(0<3<7i).

四、选取适当的参数，将满足下列条件的曲线用复数形式的方程表示出来

1.起点为Z1,终点为Z2的有向线段;

2.过点&=-2+3z・和点Z2=2+z•的直线;

(3)

3.过点z=l+i且平行于虚轴的直线;

4.坐标原点到点z=l+z'的直线段;

五、求满足下列式子的点Z的轨迹，并作图.

1.|z+z|=|z-2i|；

2.|z+3|+|z+l|=4；

3.Re(反)=4;

(4)

4.arg(z-z)=—;

4

六、描出下列不等式所确定的区域或闭区域,并指明是有界域还是无界域，单连通域还是多连

通域：

1.Im(z)>0；2.0<Re(z)<1；

3.0<|z-1|<4；4.一1<argz<-1+".

七、如果z=e",证明zn-=2zsin(nf).

(5)

八、证明：忆+22『+匕-22|2=2(卜］『+卜2「)并说明其几何意义.

九、证明：如果多项式p(z)=旬+。化+。222+-,+a“z"的系数是实数，则pQ)=p(z).

十、设函数/(z)=m(z0O),试证z-»0时,/(z)的极限不存在.

Z

(6)

十一、设复数。+活是实系数方程4z"+aiZ"T+…%=0的根，证明。一活也是

方程的根.

十二、当x,y等于什么实数时，等式X+1+；(y-3)=l+/成立?

5+3z

(7)

第二章解析函数

本章要点:

1.复变函数的导数的概念

2.解析函数的概念

3.函数解析的充要条件：C-R方程

4.初等函数：指数函数、对数函数、塞函数、三角函数与双曲函数、反三角函数与反双曲

函数

本章目标：

1.理解解析函数的概念

2.掌握判断函数解析的充要条件：C-R方程

3.掌握指数函数，对数函数，幕函数，三角函数与双曲函数，反三角函数与反双曲函数

的定义、性质及其解析性

本章重点：

1.复变函数的导数

2.函数解析性的判定及解析性性区域的确定

3.指数函数，对数函数，募函数，三角函数与双曲函数，反三角函数与反双曲函数

的定义、性质及其解析性

本章难点：

1.函数解析性的判定

2.方程根的确定

3.解析函数的性质

一、填空题

1./(Z)在点连续是/(Z)在点可导的条件.

2.7(Z)在区域。内可导是/(Z)在区域。内解析的条件.

3.于(z)=M(X,y)+iv(x,y)在z=x+iy点可导的充分必要条件是.

4.若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在z=x+iy可导，则/'(z)=.

(8)

5.若/(z)=(>2—/+。％+/?>)+1(。孙+3%+2〉)处处解析，贝Ij(a,b,c)=.

二、单项选择题

1.函数>v=/(z)在Z。点可导是可微的()

(A)必要但非充分条件(B)充分但非必要条件

(C)充分必要条件①)即非充分条件，也非必要条件.

2./(Z)在点Z()=%+现)可导的充分必要条件是()

。)在点(%,%)可导，且满足C-R条件，即半=*,2=—出在(%,%)成立

oxdydyox

(B)/(z)在(无。,先)点的一个邻域内可导

(C)在(玉),%)点〃,v可微，且满足C-R条件

(D)在(%,%)点具有连续的偏导数，且满足C-R条件.

3.若/(z)=/-3盯2+7(3%2〉一/2),则()

(A)处处解析(B)仅在实轴上可导

22

(C)仅在直线y=-上可导(D)仅在直线y=§或y=0上可导.

4.设/(z)=4z—3,并且/(l+i)=—3"则/⑵=()

(A)2Z2-3Z-Z(B)2Z2-3Z+3Z

(C)2Z2+3Z-3+4Z(D)2Z2-3Z+3-4Z

5.函数vv=/(z)="+iv在点z()处解析，则命题()不成立.

(A)仅在点z()处可微且满足C-R条件；

(B)存在点z0的某邻域U(Z°)；"，丫在UQo)内满足C-R条件；

(C)〃，丫在U(z())内可微；(D)B与C同时成立。

6.下面论断中正确的是()

(A)对于任意的复数z(wO,8),L〃lzl=lnlzl；

(B)对于任意的复数z(H8),|coszl<l；

(9)

(C)对于任意的复数z(。8),e">0；

(D)当c为整数时，有

7.Ln(-l)和它的主值分别是()

(A)L〃(-1)=伏+g)；ri,(左为整数)主值ln(-l)=0

(B)Ln(-1)=(2左—1)加，(k为整数)主值In(-1)=m；

(C)Ln(-l)=Qk-1)加，(Z为整数)主值ln(-l)=-7ii；

(D)Ln(-l)=In1+i-Arg(-l)=i(2m+X)7i,主值ln(-l)=;ri

8.若/(z)在区域G内解析，则对于命题

(1)若/(z)恒取实数值，则/(Z)是常数；

(2)若了而在G内解析，则/(z)是常数；

(3)若"(z)l在G内是常数,则/⑶是常数；

(4)若/⑵=0,则/(Z)是常数。

正确的有()

(A)4个(B)3个(C)2个(D)1个.

三、下列函数何处可导?何处解析？

1./(z)=2x2+6y3z2./(z)=sinxchy+icosxshy

3./(z)=x2-z>4./(Z)=2X3+3Z>3

(10)

5./(z)=excosy+iexsiny6./(z)=x2-y-x+z(2xy-y2)

四、证明:若/(z)=〃+而在区域。内解析，且满足下列条件之一，则/(z)在。内恒为常

数。

2

1.U—V

2./(Z)的模为常数.即，储+丫2=左常数

(11)

3.au+bv=c,其中a力与c为不全为零的实常数。

五、求出下列方程的全部解

1.1—，=0

2.sinz+cosz=0

3.sinz+icosz=4i

六、求Lz(—3z),L〃(—9+12i)的值和它们的主值

(12)

七、求exp[(l—zR/4],2\(l+i/i和(-2)行的值.

八、设/(z)=%3+〃%、+，(屋一3孙2)为解析函数，试确定根,”,/的值.

九、证明函数卬=犬-寸-y+i(2xy+x)在z平面上解析，并求其导函数.

(13)

第三章复变函数的积分

本章要点:

1.复变函数积分的概念

2.积分存在的条件及积分的计算方法

3.柯西-古萨基本定理

4.闭路变形原理与复合闭路定理

5.原函数与不定积分

6.柯西积分公式与高阶导数公式

7.解析函数与调和函数的关系

本章目标：

1.理解复变函数积分的概念，积分存在的条件及积分的计算方法

2.掌握柯西-古萨基本定理，闭路变形原理，复合闭路定理

3.会应用柯西积分公式、高阶导数公式计算复变函数沿闭路的积分

4.理解原函数与不定积分的概念

5.理解解析函数与调和函数的关系，会由已知调和函数构造解析函数

本章重点：

1.复变函数积分的概念，积分的计算方法

2.柯西-古萨基本定理，闭路变形原理，复合闭路定理

3.柯西积分公式与高阶导数公式

4.解析函数与调和函数的关系

本章难点：

1.复变函数积分的计算

2.沿闭路或复合闭路对不同形式复变函数积分的计算

3.由已知调和函数u(x,y)(或v(x,y))构造解析函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)

一、填空题

1.设C:z=e6,-71<6<71，则^Re(z)dz=

(14)

2.设。为z=e"，£从一生至生的一段，贝U；[zdz_______________

22上

3.设。为z=0至ijz=i再至Uz=2+2'的折线段，贝2dz；

4.设。为Z=(1T»,/从1到0的一段，则[元々=

5.设。为z=0到z=l+i的直线段，=；

6.f二—；

+2z+2

7.设。是沿抛物线y=_?一1,从(—1,0)至()(1,0)的弧段，则[sin(l+z)dz=

(-e"/

8•I3-5'"z=______;

GZ2+3Z+2

「1

10.I3z--______•

Jldi(z2+3z+2)3

二、单项选择题

1.设/(z)在单连通区域3内解析，。为3内任一闭路，则必有()

(A)fIm[/(z)]Jz=0(B)/Re"(z)]dz=0

(C)L"(z)0z=O(D)£/(z)(/z=0.

2.函数/(z)在单连通区域3内解析是/(z)沿3内任一闭路c的积分f/(z)dz=o的

JC

()

(A)充分条件(B)必要条件

(C)充要条件(D)既非充分也非必要条件.

3.设/(Z)在闭路C上及其内部解析，Z。在。的内部，则有()

//(Z)

(A)f/⑶dz=1(z0)f—Lydz(B)f/⑶2dz=fdz

Jc(Z-Z0)2Jc(Z-Z0)2Jc(Z-Z0)2Jc(Z-Zo)

dz(D)J/⑶2dz=J幺辿/z.

©£T^?Jjc——-——dzJcJc

(z-z0)(z-z0)Z-Zo

4.设。是单位圆Iz1=1的上半部分逆时针方向，贝Ij1(z-l)dz=()

(15)

(A)2i(B)2(C)-2i(D)-2.

dz

5.设C:lz—11=1,则L)

(Z-l)3(Z+l)3

3兀,3兀.3万.3兀,

(A)—i(B)—i(C)——i(D)一--i

o844

rsinz

6.设C：lzl=l,则/z=()

c(zg

(A)-m(B)m(C)0(D)一2兀i.

7.设C：lz—11=工，则

)

2

(A)(B)0(C)7ii(D)1.

sh/rz,

8.—；——az=)

Jflzl=2z2+l

(A)0(B)-z(D)It.

rcos〃z,,

9.3—;---------dz=(

Jia=5z-Z-2)

224.

(A)0(B)-7T(C)--(D)—7tl.

3

cosz,

10.----------rdz=)

a一兀)

(A)0(B)-m(C)m(D)2组.

计算证明题

i.证明：।1（X2+》2）公|《万，。为z=〃,e从o至万的半圆弧.

2

2.计算，1=•^z(z-l)-dz，其中「是圆环域：-<lzl<2的边界.

2

(16)

3.求积分［—-~-dz,其中C分别为:

JcZ(Z-1)2

(1)Izl=—(2)Iz-ll=—(3)Iz1=2.

22

4.计算：设G与02为不经过9的两条互不包含也互不相交的闭路，求

2

1rrz,,rsinz

---［------dz+-------dz］的值。

Jc

2兀i>z-z0JQz-z0

5.计算：［—e—^dz,其中C为不经过点。和1的闭路.

Jcz(l-z)3

(17)

6.设/(z)在lzl<l内解析，在IzlMl上连续，/(0)=1,证明:

7.已知/⑶人+黄》是解析函数’且"2)=°’求“Z).

8.设/(z)=〃+iv是右半平面的解析函数，v=arctan—(x>0),求/(Z).

x

(18)

9.设/(z)=〃+iv解析，且〃-v=(x-y)(x2+4xy+y2),求/(z).

10.]lm/(z)dz与Im[1/(z)dz]相等吗？说明理由

(19)

第四章级数

本章要点：

1.复数项级数的概念

2.幕级数的概念，收敛圆与收敛半径

3.募级数的运算与性质

4.泰勒级数

5.洛朗级数

本章目标：

1.理解复数项级数的概念

2.掌握判定复数项级数收敛性的方法

3.理解幕级数概念，掌握阿贝尔定理，会球塞级数收敛半径

4.理解泰勒展开定理，会将解析函数展开成塞级数

5.理解洛朗展开定理，会将圆环域内的解析函数展开成洛朗级数

本章重点：

1.复数项级数收敛性的判定

2.幕级数收敛半径的求法

3.嘉级数的运算与性质

4.解析函数的泰勒展开

5.圆环域内的解析函数展开成洛朗级数

本章难点：

1.复数项级数收敛性的判定

2.第级数收敛半径的求法

3.把解析函数展开成泰勒级数，泰勒级数收敛半径的确定

4.把在圆环域内解析的函数展开成洛朗级数

一"、基本概念

1.复数列{d,}={%+ibn］收敛的充分必要条件是什么?

(20)

2.复数项级数X（4+也,）收敛的充分必要条件是什么

3.复数项级数+次,）绝对收敛的充分必要条件是什么

4.幕级数收敛域有何特征？洛朗级数收敛域有何特征？

二、填空题

1.设有复数列①%=（1—9一向与②B“=e-,则发散数列是；收敛数

列是，其极限是.

81•8•8/•\2

2.设有复数项级数①£上（1-上），②③£必匕，则绝对收敛级数是

n=l几几n=21口儿”=1〃!

OOOOOO/1\2

3.设有复数项级数Z（l+i）"z〃，Z（二1）"，它们的收敛半径分别为

n=in=iInin«=1〃

,及.

OO1OO/1、〃-1

4.洛朗级数£（—1）"—二+（3-z）"的收敛域为______.

n=1（z-3）""=i3

ez~3cosz

5.设------------------,则收敛半径R,故事级数

(z-l)(z-z)ln(2-z)

在_______绝对收敛。

6.洛朗级数£—二+£（-1）"（1-三）的收敛域为,和函数为

(21)

7.函数=^在Z=0处泰勒展开式中Q项的系数为_______.

z2+z

oon+1

8.级数£（-1）用'的收敛半径与和函数为.

n=l〃

三、判断题（对的打J,错的打X）

1.募级数的和函数在收敛圆内解析.[]

2.洛朗级数在其收敛圆环内可以逐项求导数与逐项积分.L]

3.若函数/（Z）在点Z。解析，则/（Z）在Z。的某个邻域内必能展开成泰勒级数.[】

4.如果累级数£q,z"在收敛圆周C：lzl=R上一点Zo处绝对收敛，则其在闭域

n=0

上绝对收敛.[]

5.如果极限lim9包存在（#8）,则三个幕级数VCnZ\£>%Z'T,有相

…„=i„=i„=in+1

同的收敛半径.[]

四、设级数收敛，而发散，证明幕级数的收敛半径R=L

n=0n=0n=0

五、把下列函数展开成Z的幕级数，并指出收敛半径.

1

1.---(a,b为复数,且6。0)；2.-----7T

az+b(1+z2)2

(22)

1

3.sinhz；4.-------

(1-z)3

5.cos2z；6.arctanz.

六、求下列函数在指定点Z0处的泰勒展开式，并指出它们的收敛半径.

Z_1cZ

1.,,2.,z,)=2

z+2(z+D(z+2)

17-1.71

3.T^o-I，4.tanz,z0=—;

Z

17=1

5.

Z2(Z+1)'"°

(23)

七、把下列函数在指定圆环域内展开成洛朗级数.

z?—2z+51[1c

1.-----------；——,l<lzl<22.：+1—,1<1Z1<+0°

(z-2)(z2+l)五一1)

1一*

3.---,0<lz1<+°°4.:一,0<lz-il<l

Z

1

5.(z9+l)sin—,0<lz1<+©06.---,0<lz-zl<l

zz(i-z)

(24)

第五章留数

本章要点：

1.孤立奇点的概念

2.孤立奇点的分类

2.函数的零点与极点的关系

3.留数定义与留数定理

4.留数的计算规则

本章目标：

1.理解孤立奇点的概念

2.掌握孤立奇点的分类

3.理解留数定义

4.掌握留数定理

5.掌握留数的计算规则，会利用留数计算闭路积分

本章重点：

1.孤立奇点及其分类

2.函数的零点与极点的关系

3.留数定理

4.留数计算规则

5.复变函数沿闭路的积分

本章难点：

1.奇点的分类

2.有限奇点级的确定

3.函数在有限奇点处留数的计算

4.利用留数计算沿闭路的积分

一、下列函数有什么奇点?若是极点,指出它的级.

119

■#2+1)2-Z3

(25)

11

3.ez~l

?(^-D

ln(z+l)

z-icosz

-*、求下列函数在有限奇点处的留数.

sinz1-*

1./(z)=2./(Z)=

2?-zz3

1z

A7、一

3./(z)=〜J⑷

zsinzcosz

21

5./⑵:=(z+1)sin-6.f(Z)

zz(e'l)

(26)

3z+2

7.f(z)=cot2z8./(z)=

z2(z+2)

三、利用留数，计算下列正向圆周上的积分

re2z

2.--——^dz

加|=34丁'总z(zT)

3-14.f史■法

△cosz

r2ez+z,r1

5.\----------dz6.--------az

z

上smzlzlJ=le匕—1

(27)

.1

7.[zsin—^—dz8.J(z+l)ezdz

J=iz-1

lzl=l

四、证明：若Zo是/(Z)的m(m>1)级极点，则z0是/'(z)的m+1级极点.

设Zo是函数/(z)的，〃级零点，求Res[E3,ZoL

五、

/(z)

设z0是函数/(z)的"级极点，求Res[13,Zo].

六、

/(z)

(28)

复变函数模拟试题(一)

一、选择题(每小题4分，共20分)

1.若Z?=^,则必有().

(A)z=0；(B)Re(z)=0；(C)Im(z)=0；(D)Re(z)Im(z)=0.

ooH+l

2.级数£(-1)向二的收敛半径与和函数为().

n=l"

(A)ln(l-=1：(B)ln(l+=1：

(C)zln(l-=1；(D)zln(l+z),R=l.

z

3.2=1是函数6~的().

(A)本性奇点；(B)一级极点；(C)可去极点；(D)二级极点.

4.函数/(Z)在Z点可导是/(Z)在Z点解析的()

(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件

(C)充分不必要条件(D)既非充分亦非必要条件

5.若/«)=彳,则().

(A)处处不可导；(B)在原点可导；(C)处处解析；(D)仅在虚轴上可导.

二、填空题(每小题4分，共20分)

1.设C是z=0到z=1+i的直线段，则\^dz=.

2.方程1+e-z=0的全部解是；

3.幕级数的收敛半径是;

n=l

4.函数f(z)=-一的全部奇点是____________________.

z2(eJ-l)

三、证明：若/(Z)=〃+小在区域D内解析，并且〃=/,则/(Z)在D内为常数.(8分)

(29)

四、已知调和函数a(x,y)=(x+l)y,求解析函数/(z)=〃+M,且满足条件/⑴=0.(8

分)

五、求函数/(z)=一——在Z。=2处的泰勒展开式，并指出它的收敛半径.(10分)

z+3z+2

六、将函数〃z)=(J尸在圆环域：0<|z—1]<1内展开成洛朗级数.(10分)

七、计算下列各积分.(圆周均取正向)(每小题6分，共24分)

rcos3z,

(1)b(z—2产(2)——-------dz

L(Z-1)(Z+2)

2z3

(3))dz;C4)f上「dz

z+4i

(30)

复变函数模拟试题(二)

、选择题(每小题4分，共20分)

1.设=-1+V3Z,Z2=-1+Z,则argZiZ2=[]

/A、77c/c、77U77c_777c,

(A)—；(B)---；(C)---F2左兀；(D)---Fku

12121212

]_/z

2.设/(Z)=——,则Z=0是函数的[]

z

(A)可去奇点；(B)三级极点；(C)二级极点；(D)解析点.

3.乘暴(1一，尸的值为[]

(A)6(汽一8无兀"21112(B)/兀+队兀)..21n2(C)尹-8%汽)e21n2(D)*一诙兀)6-21112

4.下列级数中，绝对收敛的级数是[]

OO1,oo；n

yJ_

(A)(B);

1i

(o£(-1)—+一

n=l_n2〃

5.设/(z)=—1—,则正确论断是[]

3x-3iy

(A)/(z)在z平面处处解析;(B)/(z)在z平面处处不解析;

(C)/(z)在z平面除z=0外处处解析；(D)/(z)仅在z=0解析.

二、填空题(每小题4分，共20分)

1.方程shz=i的全部解为.

2.密级数£(1+2i)"z"的收敛半径R=.

n=0

3.积分fsin2zdz-.

J-ni

4.设/(z)在单连通域3内处处解析且不为零，。为3内任一简单闭曲线，则积分

(31)

1

5.Res(z29+1)sin—,0=.

_z_

三、证明：如果函数/(z)=M+iv在区域D内解析，且其模为常数，即J?+丫2=3则/⑶

在D内为常数(8分)

四、已知调和函数v=arctan工(x>0),求解析函数/(z)=〃+iv,且满足条件/(I)=1

(10分)

五、将/(z)=—1—展成Z-1的幕级数，并求它的收敛半径(10分)

z(l+z)

六、将函数/(z)=-----------在圆环域0<lz-31<2内展成罗朗级数(8分)

(z-l)(z-3)

七、计算下列积分(圆周均取正向X每小题4分洪24分)

1fZeA2・导

1.总-^Z5——2—1dz

lzl=l4

3

Qf2z+z+L

3.-------4.

总Z（Z—1）z2-az

\z\J=247

re2z-1

5.f-----dz6.fC--dzlalol

上cosz』（z-a）

（32）

第一章参考答案

_1_7J133

、1•,2.]3—arctan5+2左乃(左=0,±1,…)；

55

3.cos史里…n"

(%=0,1,2,3)；

44

4.1672(1-i)；5.2cos(-y)+isin(-y)；

LB因

12e12

6.z=(%j+iyx)(cosa+isina)；7.V2e,~^~；

二、1.A；2.B；3.A；4.C.5.A6.B

一534兀一6

二、1.—7t；2.—71；3.—arctg—I-7T；4.-------.

61032

四、1.z=Zi+f(%F)(0<r<1)；

2.z=(4/—2)+(3—2t»(t为实数);

3.z=l+ti(/为任意实数)；

4.Z=(1+i)t,(0<Z<1)；

3

五、1.直线Im(z)=5；

2.以(-3,0),(-1,0)为焦点，长半轴为2,短半轴为囱的椭圆：.+2)-+21=1；

43

3.直线y=4；4.以i为起点的射线y—x-l=0(x>0)；

六、1.上半平面，无界单通区域；

2.由直线x=0及x=l所构成的带形区域(不含两直线)，无界单连通区域；

3.以Z=1为圆心，以4为半径的圆的内部(不含圆心)，有界多连通区域；

4.由射线argz=-l逆时针旋转到射线argz=-l+乃构成的半平面，无界单连通区域.

七、证明：zn———=emt—e~int=(cosnt+isinnt)—(cosnt—isinnt)=2isinnt

zn

八、由忖2=z£即可证明。几何意义：平行四边形两对角线的平方和等于两邻边平方和的

两倍。

(33)

九、多项式p(z)=a()+aiZ+a2z2+…+%z"的系数是实数，ak=ak,k=O,l,---,n故

n

p(z)=a0+alz+---+anz

n

=a0+alz+---+anz

n

=〃o---FClnZ

=P(z)

十、当z沿实轴趋于。时，4=1-极限值为i；

Z

当Z沿虚轴趋于。时，i=-i,极限值为-I

Z

7

故当Z-0时，/(z)=；的极限不存在.

Z

4■、证明：令p(z)=a()z'+aiZ"T+…+%_/+%

则p(z)=p(z)

又因。+活是实系数方程的根，那么p(a+活)=0

于是p(z)=p(a-ib)=p(a+ib)=0

所以。-活于是方程的根.

十二、x=1,y=11.

第二章参考答案

一、1.充分条件2.充分必要条件

..3MSV3M3V.,,小卡一

3.i)〃,丫在2=%+方处可微;n)—=-k=一＜在z=x+zy处成"

axayoyox

3M(X,y),3v(x,y)_3M(X,y)，:3v(x,y)

I-II

idydydxdx

5.(2,-3,2)

、1.C2.C3.D4.D5.A6.D7.D8.A

(34)

三、1.解：—=4x-=18y2

3xdy

电=02=0

dydx

故/(z)在2x=9y2上可导，没有解析点.

左力7dv7

2.解：一=cosxcny—=cosxcny

dxdy

du.,dv.

——=smxsny—=-sinxshy

dydx

故/(z)在全平面内可导，在全平面内解析.

…dududvdv

3.解：一=2x——=0—=0—=-1

dxdydxdy

仅当x=-工时，C-R条件成立，故此函数在直线％=-工上处处可导，而在复平面上

22

处处不解析.

左力/2八a?八3v„

4.解：一=6x2—=0—=0—=9y2

dxdydxdy

因此仅在两相交直线2/=3V上处处可导，在平面处处不解析.

__dudu.dv.dv

5.解：一=xecosy—=-xesiny—=xsiny—=xecosy

dxdydxdy

C-R条件处处成立，且偏导数处处连续，因而处处可微，即/（Z）处处解析.

6.解：令〃=42-y-x,v=2孙一/，则〃加在Z平面上处处可微且

半=21电=-1如=2y如=2x-2y

dxdy3xdy

从而要使三=三,三=