2021年人教版八年级数学下勾股定理

勾股定理

【总结解题方法提升解题能力】

【知识汇总】

1.勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么/+〃=。2.

（这是直角三角形的性质）

2.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长为a,b,c满足/+〃=c2,那么这个三角形是直角三角形.

（这是直角三角形的判定）

3.勾股数：构成Rt△的3个正整数.

4.勾股定理的应用：①求直角边或斜边；②生活中的实际应用.

5.技巧归纳：①关于45°Rt△的运算技巧：.

②关于30。Rt△的运算技巧：.

【基础夯实】

考点一：利用勾股定理求边长或其他

1.已知直角三角形三边长分别为3,4,m,则m=.

2.直角三角形两直角边长度为5,12,则斜边上的高.

3.如图，AABC的顶点4,B,C在边长为1的正方形网格的格点上，于点。，则80的长为

4.如图所示，△ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，8OLAC于点。，则8。的长为

5ZABC中，AB=AC=5,BC=8,点P是BC边上的动点，过点P作PD_LAB于点D,PE_LAC于点E,则PD+PE

的长是.

6.如图，数轴上点4对应的数是1,点8对应的数是2,BCLAB,垂足为B,且BC=1,

以A为圆心，AC为半径画弧，交数轴于点Q,则点。表示的数为.

7.如图，数轴上的点4所表示的数为x,则x的值为

8.已知RsABC中，ZC=90°,若a+8=14c”?,c=10cw,则RsABC的面积是

9.如图，将两个大小、形状完全相同的aABC和△4夕。拼在一起，其中点4与点A重合，点（7落在边AB上，连

接夕C.若NACB=N4CB，=90。，AC=BC=3,则朋C的长为

10.如图，在△ABC中，有一点P在直线AC上移动，若AB=AC=5,BC=6,

则BP的最小值为_________________

11.把两个同样大小的含45。角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重

合于点A,且另三个锐角顶点B,C,。在同一直线上.若AB=®,则CO=.

12.如图，在中，NACB=90。，BC=3,AC=4,在直线BC上找一点尸，使得AAB尸为以AB为腰的等腰

三角形，则PC的长度为

13.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A。平分NO4B,DB1AB,8C〃OA,点。的坐标为。（0,、石），点、B

的横坐标为1,则点C的坐标是

14.在△ABC中，AB=10,AC=2A/10-BC边上的高AD=6,则另一边BC等于

15.（2015•遵义）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图（1））.图

（2）由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT

的面积分别为Si、S2、S3.若正方形EFGH的边长为2,则Si+S2+S3=.

16.如图，在△ABC中，ZACB=90°,分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于^AB）为半径作弧，两弧相

2

交于点M和点N,作直线MN交AB于点D,交BC于点E.若AC=3,AB=5,则DE等于（）

17.如图，RIAABC中，NABC=9（T,DE垂直平分AC,垂足为O,AD〃BC,且AB=3,BC=4,则AD的长为

18.如图，在RtAABC中,ZC=90°,AC=10,BC=8,AB的垂直平分线分别交AC、AB于点D、E.则AD的长

度为________________.

k

19.如图，以直角三角形a、b、c为边向外作等边三角形，半圆，等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积

关系满足S|+S2=S3图形个数有______

/©g

考点二：勾股定理的应用

1.如图，一架梯子斜靠在一面墙上，梯子顶端离地面8米，底端距墙面6米，当梯子滑动到与地面成30。角时，梯

子的顶端向下水平滑动了米.

2.如图，小巷左右两侧是竖直的墙.一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙角的距离为0.7如顶端距离地面24”.若

梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2〃?，则小巷的宽度为.m.

3.如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B,然后把中点C向上拉升3cm到则橡皮筋被拉长了

cm.

4.如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5,高是12,上底面中心有一个小圆孔，已知一条到达底部的直吸管在罐

内部分的长度为“，若直吸管在罐外部分还剩余3,则吸管的总长度6（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）

范围是（）

5.如图，在一个高（BC）为6%,长（AC）为10m,宽为2.5〃?的楼梯表面铺地毯，若每平方米地毯50元，总共需

要元.

6.如图，一圆柱高8cm,底面直径是4cm,一只蚂蚁在圆柱表面从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程（取兀=3）

是•

7.如图，底面半径为1,高为2的圆柱，有A点有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱4（^三三

由A点爬到B点，问蚂蚁爬行的最短距离是.

【能力拓展】

8.如图：△ABC中，AC=6,NBAC=22.5。，点M、N分别是射线AB和AC上动点，则CM+MN的最小值是

9.如图，在AABC中，动点P在NABC的平分线B力上，动点M在BC边上，若4C=3,N8AC=45。，则PM+PC

的最小值是.

10.已知：如图，RtAABC中，ZC=90°,AC=6,4B=10.

(1)求BC的长;

(2)有一动点P从点C开始沿CTB—A方向以IcWs的速度运动到点4后停止运动，设运动时间为，秒；求:

①当1为几秒时，AP平分/C48；

②当，为几秒时，AACP是等腰三角形(直接写答案).

【课后巩固】

1.如图，在四边形ABCQ中，AB=AD,NA=90。，ZCBD=30°,/C=45。，如果AB=、历，求CO的长.

2.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）.图2由弦图变

化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成.记图中正方形ABCD,正方形EFGH,正方形MNKT的面积分

别为S”S2，S3,若Si+S2+S3=10,则S2的值是.比

置

3.如图，台风中心位于点0处，并沿东北方向（北偏东45。），以40千米/小时的速度匀速移动，在距离台风中心

50千米的区域内会受到台风的影响，在点O的正东方向，距离60亚千米的地方有--城市A.