2024年广东省河源市中考数学二模试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024年广东省河源市中考数学二模试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.实数0，−4，5，3中，最大的数是(

)A.0 B.−4 C.5 D.2.2024年2月15日24时，第二十五届哈尔滨冰雪大世界正式闭园，该届冰雪大世界共计运营61天，累计接待游客2710000人次，为海内外游客展示了中国东北地区的冰雪魅力.将“2710000”用科学记数法表示为(

)A.2.71×105 B.27.1×105 C.3.下列交通标志中，属于轴对称图形的是(

)A. B. C. D.4.如果等腰三角形的一个底角为70°，那么另外两个角的度数分别为(

)A.50°和70° B.40°和70° C.55°和55° D.55°和70°5.若x=2是关于x的方程kx−1=3的解，则k−2的值是(

)A.−1 B.2 C.1 D.06.如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且互相平分，添加下列条件，仍不能判定四边形ABCD为菱形的是(

)A.BC=CD B.AB=AC

C.AC⊥BD D.∠ABD=∠CBD7.如图，PA，PB分别与⊙O相切A，B点，C为⊙O上一点，∠P=66°，则∠C=(

)

A.57° B.60° C.63° D.66°8.点O、A、B、C在数轴上的位置如图所示，点O为原点，AO=1，CO=2AB，若点B所表示的数为b，则点C所表示的数为(

)

A.−2b+2 B.−2b−2 C.2b−2 D.2b+29.已知一次函数y1=x+2和反比例函数y2=3x，当yA.−3<x<0或x>1 B.−3<x<1

C.x<−3或0<x<1 D.x>110.我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.若大正方形面积为136，小正方形面积为16，则tanθ的值为(

)

A.53 B.35 C.43二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。11.因式分解：9a2−1=

12.在平面直角坐标系中，点M(2m,m+1)在y轴上，则m=______．13.罗浮山、丹霞山、西樵山和鼎湖山是广东四大名山，游客甲和游客乙都计划从这四大名山中任选一座进行游玩，则他们选择游玩同一座山的概率为______．14.如图所示，四边形ABCD为长方形，AE⊥EG，已知∠1=25°，则∠2=______．

15.如图，△OAD、△ABE、△BCF均为等边三角形，点O、A、B、C在同一条直线上，OA=1，OB=3，OC=6，则S△BEF−S△ADE

三、解答题：本题共9小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题5分)

计算：(−1)2024−17.(本小题5分)

如图，点D在△ABC的边AC上，请用尺规作图法在边AB上作一点E，连接DE，使得BE=DE.(不写作法，保留作图痕迹)18.(本小题7分)

已知a>0，b>0，且a4a+b=ba+4b，求证：19.(本小题7分)

第19届亚运会在杭州举行，亚运会上的志愿者们被称为“小青荷”，“青荷”的谐音是亲和，彰显志愿者的热情和友好.某场馆比赛结束后，为了选出一位“最佳志愿者”，分别从责任心、亲和力、热情度三个方面对其中三位“小青荷”A、B、C的服务情况进行了评价，统计如表：小青荷责任心亲和力热情度A919695B979194C929892(1)你能根据三项评价分数的平均分确定人选，选出“最佳志愿者”吗？为什么？

(2)“小青荷”的责任心、亲和力、热情度缺一不可，请你按3：2：1的权重计算加权平均数，从中选出“最佳志愿者”.(结果保留一位小数)20.(本小题9分)

如图，在四边形ABCD中，∠CAD=90°，∠B=30°，∠D=60°且AC=BC．

(1)求证：AB/​/CD．

(2)若AD=1，求四边形ABCD的面积．21.(本小题9分)

某店在批发中心选购鸡仔饼和杏仁饼.鸡仔饼每盒进价比杏仁饼每盒进价多5元，用300元购进鸡仔饼的盒数是用100元购进杏仁饼的盒数的2倍．

(1)鸡仔饼、杏仁饼的进价各是多少元/盒？

(2)该店计划购进鸡仔饼、杏仁饼共60盒，其中鸡仔饼每盒售价28元，杏仁饼每盒售价18元.若鸡仔饼、杏仁饼全部售出时，总获利超过680元，则至少购进鸡仔饼多少盒？22.(本小题9分)

综合与实践

中式建筑中的窗户将对称美发挥得淋漓尽致.小明在旅游中看到了如图(1)所示的八边形窗户，发现它既是轴对称图形又是中心对称图形，这个八边形窗户各个角都相等.图(2)是从图(1)中抽象出来的几何图，其中AB=CD=EF=GH，BC=FG，AH=DE=22AB，八边形ABCDEFGH的周长为40dm.设AB=2xdm，BC=ydm．

(1)八边形ABCDEFGH的一个内角的度数为______．

(2)求y关于x的函数解析式．23.(本小题12分)

综合探究

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D在以AB为直径的圆上，连接AD、BD，AD=BD，点E、F分别在CD、BC的延长线上，且AE/​/BC，EF/​/AC．

(1)求证：四边形ACFE是正方形．

(2)点M是EC延长线上一点，连接BM，若2DM=CE，求证：BM⊥CM．

(3)延长AD、EF交于点G，连接BG，若AC=10，BC=2，求BG的长．24.(本小题12分)

综合运用

如图，直线y=−22x+42分别交x轴、y轴于点A、B，点C、D分别在直线AB、x轴负半轴上运动，且始终满足BC=OD.连接CD，交y轴于点E，以CD为斜边构造等腰直角三角形CDF，∠CFD=90°，且点C、D、F按顺时针方向排列，连接AE、EF.点C的横坐标为m(m≠0)．

(1)分别求OA、OB的长．

(2)若点C在线段AB上，当△ACE是直角三角形时，求点C的坐标．

(3)设△CEF的面积为S，求S关于m答案解析1.【答案】D

【解析】解：∵−4<0<5<3，

∴最大的数是：3．

故选：D．

实数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．32.【答案】C

【解析】解：2710000=2.71×106．

故选：C．

根据用科学记数法—表示较大的数的方法即可得出答案．

本题主要考查科学记数法3.【答案】A

【解析】解：A、是轴对称图形，故本选项符合题意；

B、不是轴对称图形，故本选项不合题意；

C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；

D、不是轴对称图形，故本选项不合题意；

故选：A．

根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形可得答案．

此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念，找出图形的对称轴．4.【答案】B

【解析】解：∵等腰三角形的一个底角为70°，等腰三角形的两底角相等，

∴等腰三角形的另一个底角为70°，

∴等腰三角形的顶角=180°−70°×2=40°，

∴等腰三角形另外两个角的度数分别为40°和70°，

故选：B．

根据等腰三角形的底角相等及三角形内角和是180°求解即可．

此题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟记等腰三角形的性质及三角形内角和定理是解题的关键．5.【答案】D

【解析】解：将x=2代入方程kx−1=3，

得2k−1=3，

解得k=2，

则k−2=2−2=0．

故选：D．

将x=2代入方程kx−1=3，求出k的值，从而求出k−2的值．

本题考查一元一次方程的解，掌握其解法是本题的关键．6.【答案】B

【解析】解：∵四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且互相平分，

∴四边形ABCD是平行四边形，

添加BC=CD，能判定四边形ABCD为菱形；

添加AB=AC，不能判定四边形ABCD为菱形；

添加AC⊥BD，能判定四边形ABCD为菱形；

添加∠ABD=∠CBD，能判定四边形ABCD为菱形；

故选：B．

根据对角线互相平分得出四边形ABCD是平行四边形，进而利用菱形的判定解答即可．

此题考查菱形的判定，关键是根据菱形的判定方法解答．7.【答案】A

【解析】解：连接OA，OB，

∵PA，PB分别与⊙O相切于A，B点，

∴∠OAP=90°，∠OBP=90°，

又∠P=66°，

∴∠AOB=360°−90°−90°−66°=114°，

由圆周角定理得，∠C=12∠AOB=57°，

故选：A．

连接OA，OB，根据切线的性质定理得到∠OAP=90°，∠OBP=90°，根据四边形的内角和等于360°求出∠AOB，根据圆周角定理解答．8.【答案】B

【解析】解：因为AO=1，所以点A表示的数为−1，所以AB=b−(−1)=b+1，所以CO=2AB=2b+2，所以点C表示的数为−(2b+2)=−2b−2，

故选：B．

根据AO=1，得出点A表示的数为−1，再根据数轴上两点之间的距离公式进行计算即可．

本题主要考查了数轴，根据线段的和差关系及各数的取值是解答本题的关键．9.【答案】A

【解析】解：联立方程组得y=x+2y=3x，解得x=1y=3，x=−3y=−1，

∴列函数的两个交点坐标为：(1,3)，(−3,−1)，

画出函数图象如下：

由图象可知，当y1>y2时，x的取值范围为：x>1或−3<x<0．

故选：A．10.【答案】A

【解析】解：设小直角三角形的直角边为a，b，a>b，大正方形面积为136，小正方形面积为16，

∴4×12ab+(a−b)2=136，(a−b)2=16，

∴2ab+(a−b)2=136，

a−b=4，

∴2ab+16=136，b=a−4，

∴ab=60，

∴a(a−4)=60，

解得a=10或a=−6(舍去)，

∴b=a−4=6，

∴tanθ=ab=106=53，

故选：A．

设小直角三角形的直角边为a，b，根据两个正方形的面积得到11.【答案】(3a+1)(3a−1)

【解析】解：9a2−1=(3a)2−1212.【答案】0

【解析】解：∵点M(2m,m+1)在y轴上，

∴2m=0，

解得m=0．

根据y轴上点的坐标特点求出m的值即可．

本题考查的是点的坐标，熟知y轴上点的横坐标为0是解题的关键．13.【答案】14【解析】解：将罗浮山、丹霞山、西樵山和鼎湖山分别记为A，B，C，D，

列表如下：ABCDA

(A,A)(A,B)(A,C)(A,D)B(B,A)

(B,B)(B,C)(B,D)C(C,A)(C,B)

(C,C)(C,D)D(D,A)(D,B)(D,C)(D,D)共有16种等可能的结果，其中他们选择游玩同一座山的结果有4种，

∴他们选择游玩同一座山的概率为416=14．

故答案为：1414.【答案】115°

【解析】解：∵AE⊥EG，

∴∠E=90°．

∴∠DFE=∠1+∠E=90°+25°=115°．

∵四边形ABCD是长方形，

∴AD//BC，

∴∠DFE=∠2．

∴∠2=115°．

故答案为：115°

由题意可得AD//BC，可得∠DFE=∠2，由三角形的外角性质可求∠2的度数．

本题考查了三角形外角性质，熟练运用长方形的性质是本题的关键．15.【答案】3【解析】解：过D点作DM⊥AE于M点，过E点作EN⊥BF于N点，如图，

∵OA=1，OB=3，OC=6

∴AB=2，BC=3，

∵△OAD、△ABE、△BCF均为等边三角形，

∴AD=OA=1，BE=AB=2，BF=BC=3，∠OAD=∠BAE=∠ABE=∠CBF=60°，

∴∠DAE=∠EBF=60°，

在Rt△ADM中，∵AM=12AD=12，

∴DM=3AM=32，

在Rt△BEN中，∵BN=12BE=1，

∴EN=3BN=3，

∴S△BEF−S△ADE=12×3×3−12×2×32=3．

16.【答案】解：(−1)2024−9+|−3【解析】先计算乘方、算术平方根、绝对值和立方根，再计算加减．

此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算．17.【答案】解：如图，点E即为所求．

【解析】连接BD，作线段BD的初中判断先交AB于点E，点E即为所求．

本题考查作图−复杂作图，线段的垂直平分线等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．18.【答案】证明：a4a+b=ba+4b，

等式的两边都乘(4a+b)(a+4b)，得a(a+4b)=b(4a+b)，

a2+4ab=4ab+b2，

a2+4ab−4ab−b2=0，

a2−b2=0，

【解析】先根据分式的进行性质等式的两边都乘(4a+b)(a+4b)得出a(a+4b)=b(4a+b)，去括号，移项，合并同类项得出a2−b19.【答案】解：(1)不能根据三项评价分数的平均分确定人选，选出“最佳志愿者”，

理由：A的平均分为：(91+96+95)÷3=94(分)，

B的平均分为：(97+91+94)÷3=94(分)，

C的平均数为：(92+98+92)÷3=94(分)，

∴A=B=C，

∴不能根据三项评价分数的平均分确定人选，选出“最佳志愿者”；

(2)A的加权平均数为：91×3+96×2+95×13+2+1≈93.3，

B的加权平均数为：97×3+91×2+94×13+2+1=94.5，

C的加权平均数为：92×3+98×2+92×13+2+1=94.0，

【解析】(1)先判断，然后通过计算说明理由即可；

(2)根据题意和题目中的数据，即可计算出加权平均数，然后比较大小即可．

本题考查加权平均数、近似数和有效数字，解答本题的关键是明确题意，求出相应的加权平均数．20.【答案】(1)证明：在△ACD中，∠CAD=90°，∠D=60°，

∴∠ACD=90°−60°=30°，

∵AC=BC，

∴∠B=∠CAB，

∵∠B=30°，

∴∠CAB=30°，

∴∠CAB=∠ACD，

∴AB/​/CD；

(2)解：如图，过点C作CE⊥AB于点E，

在Rt△ACD中，∠CAD=90°，∠D=60°，

∴∠ACD=30°，

∴CD=2AD=2，

由勾股定理得，AC=CD2−AD2=22−12=3，

由(1)得，∠CAB=30°，

∴CE=12AC=32，

由勾股定理得AE=AC2−CE2=【解析】(1)根据三角形内角和定理求出∠ACD的度数，再根据等边对等角求出∠CAB的度数，最后根据内错角相等，两直线平行即可得证；

(2)过点C作CE⊥AB于点E，先根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求出CD的长，根据勾股定理求出AC的长，再求出CE、AE的长，继而可求出AB的长，最后求出两个三角形的面积即可得出四边形ABCD的面积．

本题考查了三角形的面积，平行线的判定与性质，含30°角的直角三角形，等腰三角形的性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键．21.【答案】解：(1)设鸡仔饼的进价是x元/盒，则杏仁饼的进价是(x−5)元/盒，

由题意得：300x=100 x−5×2，

解得：x=15，

经检验，x=15是原方程的解，且符合题意，

∴x−5=15−5=10，

答：鸡仔饼的进价是15元/盒，杏仁饼的进价是10元/盒；

(2)设购进鸡仔饼m盒，则购进杏仁饼(60−m)盒，

由题意得：(28−15)m+(18−10)(60−m)>680，

解得：m>40，

∵m为正整数，

∴m的最小值为41，【解析】(1)设鸡仔饼的进价是x元/盒，则杏仁饼的进价是(x−5)元/盒，根据用300元购进鸡仔饼的盒数是用100元购进杏仁饼的盒数的2倍．列出分式方程，解方程即可；

(2)设购进鸡仔饼m盒，则购进杏仁饼(60−m)盒，根据总获利超过680元，列出一元一次不等式，解不等式，即可解决问题．

本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)找出数量关系，正确列出一元一次不等式．22.【答案】135°

【解析】解：(1)八边形的内角和为：180°×(8−2)=1080°，

∴每个内角的度数为：1080°÷8=135°；

故答案为：135°；

(2)根据周长的定义可得：40=4×2x+2×y+2×22×2x，

∴y=20−(22+4)x；

(3)将图形如图分割：

由图形的对称性可知，八边形的面积是五边形ABNOM的4倍，

过B作BP⊥OM于P，过A作AQ⊥BP于Q，

∴四边形ABPM为直角梯形，四边形BNOP为矩形，

∵∠MAB=135°，∠MAQ=90°，

∴∠BAQ=45°，

∴△ABQ为等腰直角三角形，

∴AQ=BQ=x，

∴AM=12AH=2AB=2x，BP=PQ+BQ=3x，BN=12BC=12y=10−(2+2)x，

∴八边形的面积=4×{12×(2x+3x)×x+3x×[10−(23.【答案】(1)证明：∵点D在以AB为直径的圆上，

∴∠ADB=90°，

∵AD=BD，

∴∠ABD=∠BAD=45°，

∵AE//BC，EF/​/AC，

∴四边形AEFC是平行四边形，

又∵∠ACF=180°−∠ACB=90°，

∴四边形AEFC是矩形，

∴∠CAE=90°，

∵AD=AD，

∴∠ABD=∠ACD=45°，

∴△ACE是等腰直角三角形，

∴AC=AE，

∴四边形ACFE是正方形；

(2)证明：如图，连接AF交CE于点O，

∵四边形AEFC是正方形，

∴AF⊥CE，AO=EO=CO=12CE，

∵2DM=CE，

∴AO=OE=DM，

∵点D在以AB为直径的圆上，

∴∠ADB=90°=∠AOD，

∴∠BDM+∠ADO=90°=∠ADO+∠DAO，

∴∠BDM=∠DAO，

又∵AD=BD，AO=DM，

∴△ADO≌△DBM(SAS)，

∴∠DMB=∠AOD=90°，

∴BM⊥CM；

(3)解：如图，过点D作PD⊥BF于P，

∵AC=10，BC=2，

∴AB=AC2+BC2=100+4=226，

∵△ADB是等腰直角三角形，

∴AD=DB=213，

∵∠DCP=45°，DP⊥BF，

∴△DCP是等腰直角三角形，

∴DP=CP，D