江苏省泰州市2023-2024学年高一下学期6月期末考试 数学试题【含答案】

2023~2024学年度第二学期期末考试高一数学试题（考试时间：120分钟；总分：150分）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在正方体中，与所成的角为（

）A． B． C． D．2．记的内角的对边分别为.已知，若角有两解，则的值可以是（

）A．2 B． C． D．43．在中，，则（

）A． B．C． D．4．设甲：直线与平面内两条直线垂直，乙：直线平面，则甲是乙的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．复数与复平面内的点对应，则（

）A． B． C．2 D．256．已知互不相等的一组数的平均数为，方差为，的方差为，则（

）A． B．C． D．与大小关系不确定7．已知圆锥底面半径为3，体积为，若圆锥底面圆周和顶点都在球的表面上，则球的表面积为（

）A． B． C． D．8．在中，，则的面积为（

）A．4 B．8 C．24 D．32二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分.9．已知，方程的两个根为，则（

）A． B．C． D．10．已知事件满足，则（

）A．若互斥，则B．若互斥，则C．若独立，则D．若独立，则11．如图，在三棱柱中，为四边形对角线的交点.若为棱的中点，平面，则（

）

A．B．C．三棱锥的体积小于三棱锥的体积D．三棱柱的体积的最大值为2三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．抛掷两颗质地均匀的骰子，记“第一颗骰子结果向上的点数为偶数”为事件A，记“第二颗骰子结果向上的点数为5或6"为事件，则.13．已知向量.若，则向量在向量上的投影向量的坐标为.14．如图，设草地与山坡所成二面角的平面角为，且.山脚线上有一个标志物，猎人在点的正东方向100米的点处，一只兔子在点的正北方向100米的点处.若兔子沿垂直于的方向往山坡上以10米/秒的速度奔跑，15秒后到达点，同时被猎人击中，则点与点之间的距离为米：猎人行走至点的最短路程是米.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．已知，，求下列各式的值：(1)；(2)．16．某医院在一次体检中抽取了100名患者的心跳数据（均为整数），分成，，，，五组，得到如图所示的频率分布直方图.(1)求心跳为89.5次的百分位数，并估算这批患者心跳次数的平均数；(2)为进一步了解患者的心跳次数的情况，从高于89.5次的患者中分层抽样6人，再从6人中任取2人，求抽中的2人心跳次数都高于99.5的概率.17．在中，角的对边分别是，从下面的三个条件中选取适当的一个并解答如下问题.①；②；③.(1)求；(2)若，求的取值范围.18．如图，在四棱柱中，四边形为直角梯形，，.过点作平面，垂足为是的中点.(1)在四边形内，过点作，垂足为.（i）求证：平面平面；（ii）判断是否共面，并证明.(2)在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，给出证明：若不存在，请说明理由.19．在中，，过点A分别作的垂线，点关于的对称点为，点关于的对称点为.(1)若是所在平面内的任意一点，求的最小值；(2)（i）若是的重心，求的值；（ii）若为实数，为正整数，求的值.1．B【分析】根据异面直线的定义，转化为相交直线所成的角，即可求解.【详解】因为，所以异面直线与所成的角就是与所成的角，即或其补角，是等边三角形，，所以异面直线与所成的角为.故选：B2．C【分析】由正弦定理先计算出，而角有两解，则需要满足且是最大边进而求出的范围.【详解】角有两解，即角有两解，由正弦定理可知：，角要有两解，则需满足且，解得：.故选：C3．D【分析】根据向量共线的坐标表示的充要条件求解，再取补集即可【详解】，得，因为是的两条边，所以不共线，所以故选：D4．B【分析】根据线面垂直的判断定理和性质定理，结合充分，必要条件的定义，即可判断选项.【详解】甲：没有说明平面内的两条直线相交，所以甲推不出乙，反过来，若乙成立，则与平面内的任意直线垂直，则乙能推出甲，所以甲是乙的必要不充分条件.故选：B5．A【分析】由坐标写出对应复数，再求出其共轭复数，代入计算即可.【详解】由题意复数与复平面内的点对应，所以，所以，所以.故选：.6．C【分析】首先计算第二组数据的平均数，再代入方差的定义，即可判断.【详解】由题意可知，，所以，则，所以数据的平均数是，，，与的分子相同，比较分母，可知，，故选：C7．A【分析】根据题意，求得圆锥的高，结合球的截面圆的性质，以及球的表面积公式，即可求解.【详解】设圆锥的高为，因为圆锥的体积为，可得，解得，设圆锥的外接球的半径为，可得，即，解得，所以外接球的表面积为.故选：A.8．B【分析】首先利用三角函数恒等变换化简条件等式，再根据最值，确定三角形内角的关系，再根据余弦定理以及三角形面积公式，即可求解.【详解】由题意可知，，即，则，即，其中，，其中和的最大值为1，只有当，时，等号成立，，，设，由，则，所以的面积为.故选：B【点睛】关键点点睛：本题的关键是通过函数的最值，确定角的关系，从而确定三角形.9．ABC【分析】先根据求根公式求出方程的两个根，再根据选项依次计算即可.【详解】由求根公式可知，方程的两个根分别为、，两根互为共轭复数，即互为共轭复数，故正确；两根的模长相等且均为，故正确；，，即，故正确；，，所以或，而，所以，故错误.故选：ABC.10．BCD【分析】利用互斥事件的定义判断AB，利用相互独立事件的定义判断CD.【详解】对于A，若互斥，则，故A错误；对于B，若互斥，则，则，故B正确；对于C，若独立，则，故C正确；对于D，若独立，则，故D正确.故选：BCD.11．AD【分析】A选项，根据等腰三角形的性质得到，然后利用线面垂直的性质和判定定理得到；B选项，先假设成立，然后根据和得到平面，然后结合A选项的结论即可得到平面不成立，即可说明不成立；C选项，将三棱锥的体积转化为三棱锥的体积，然后结合为中点，即可得到体积相等；D选项，将三棱柱的体积转化为3倍的三棱锥的体积，然后设，计算体积，利用基本不等式求最大值即可.【详解】

连接，，，，因为，为中点，所以，因为平面，平面，所以，因为，平面，所以平面，因为平面，所以，故A正确；若，则，因为平面，平面，所以，因为平面，，所以平面，由A选项可知，不可能垂直平面，故B错；由题意得，所以，因为为四边形的交点，所以为的中点，又为中点，所以点到底面的距离相等，所以，故C错；由题意得，因为平面，平面，所以，因为，平面，所以平面，设，则，，当且仅当时等号成立，故D正确.故选：AD.【点睛】关键点睛：本题CD选项解题关键在于进行体积的转化，将三棱锥的体积转化为三棱锥的体积，三棱柱的体积转化为3倍的三棱锥的体积，然后去计算即可.12．【分析】根据题意，根据相互独立事件的概率乘法公式，即可求解.【详解】由题意，可得，且，根据相互独立事件的概率乘法公式，可得.故答案为：.13．【分析】根据向量垂直的坐标表示条件求出m的值，进而求出，向量在向量上的投影向量为计算可得.【详解】由，又，所以，得，，则向量在向量上的投影向量的坐标为，故答案为：14．【分析】先根据二面角结合余弦定理求出两点间距离，再根据展开图结合三角形求边长即可.【详解】过作的平行线,且，因为,所以为的平面角，,在中由余弦定理可得：,,因为，所以四边形是平行四边形，所以,又因为平面平面,所以平面,所以平面平面,所以,在中，,所以,把二面角展开成一个平面，,,在中，,所以.故答案为：15．(1)(2)【分析】（1）利用同角的三角函数关系式求出的值，再利用正弦余弦的二倍角公式，结合同角三角函数关系中的商关系进行求解即可；（2）利用两角差的正切公式进行求解即可.【详解】（1）因为，，所以，因此，；（2）16．(1)70，84(2)【分析】（1）根据百分位数和平均数的求法即可求解；（2）利用列举法，结合古典概型的概率计算公式即可求解.【详解】（1）的百分位数为，设心跳次数为，则，所以这批志愿者的心跳数的平均数为；（2）由从高于次的检测者中分层抽样6人得抽4人，记为，，，，抽2人，记为，，记“抽中的2人心跳数高于”为事件，从6人中任取2人有，，，，，，，，，，，，，，，共15种，2人心跳数高于有，1种，则，即抽中的2人心跳数高于的概率为.17．(1)条件选择见解析，(2)【分析】（1）若选①，由余弦定理化简可得，再根据正弦定理化简计算即可；若选②，由正弦定理化简即可；若选③，由正弦定理化简即可；（2）由余弦定理可得，根据正弦定理及两角差的余弦公式化简，再根据求解即可.【详解】（1）若选①，根据余弦定理得，由正弦定理可得，即.因为，所以.又，所以，又，所以.若选②，因为，所以由正弦定理，可得，即，整理得，因为，所以，可得，即，因为，所以.若选③，因为所以由正弦定理可得：，因为，所以；可得.又，故.（2）由（1）得，因，由正弦定理，，则，，因为且，所以，所以，所以的取值范围为.18．(1)（i）证明见解析；（ii）不共面，证明见解析(2)存在，证明见解析【分析】（1）（i）由线面垂直的性质可得，然后由面面垂直的判定可证，（ii）利用反证法，假设结论的反面成立，利用面面平行的性质推出矛盾，进而得到结论正确（2）利用面面平行的判定可得平面平面，然后利用线面平行的定义得证【详解】（1）（i）由平面，平面，则，又，，平面，则平面，因为平面，所以平面平面；（ii）不共面，假设共面于，由四棱柱，得平面平面，又，所以，又，所以，又，即，又，且，，从而四边形为矩形，与矛盾!所以不共面；（2）取的中点，连接并延长交于，因为，，所以为的中点，，因为平面，平面，所以平面，由是的中点，平面，平面，所以平面，因为，平面，所以平面平面，因为平面，所以平面.19．(1)(2)（i）；（ii）或【分析】（1）利用平面几何知识得，然后根据向量的加法法则求得，再转化为可得（