2024年高考数学总复习-2-1-函数及其表示-新人教B版

函数及其表示〔一〕1．)函数y＝eq\r(1－2x)的定义域为集合A，函数y＝ln(2x＋1)的定义域为集合B，那么A∩B等于()A．(－eq\f(1,2)，eq\f(1,2)]B．(－eq\f(1,2)，eq\f(1,2))C．(－∞，－eq\f(1,2))D．[eq\f(1,2)，＋∞)2.函数y＝eq\f(1,\r(log0.54x－3))的定义域为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，1))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，＋∞))C．(1，＋∞)D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，1))∪(1，＋∞)3．f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x，x≥3，,fx＋1，x<3，))那么f(log23)的值是()A.eq\f(1,12)B.eq\f(1,24)C．24D．124．函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，x>0，,x＋1，x≤0，))假设f(a)＋f(1)＝0，那么实数a的值等于()A．－3B．－1C．1D．35．设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2xx∈－∞，2],log2xx∈2，＋∞))，那么满足f(x)＝4的x的值是()A．2B．16C．2或16D．－2或166.设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(21－x－1x<1,lgxx≥1))，假设f(x0)>1，那么x0的取值范围是()A．(－∞，0)∪(10，＋∞)B．(－1，＋∞)C．(－∞，－2)∪(－1,10)D．(0,10)7．两个函数f(x)和g(x)的定义域和值域都是集合{1,2,3}，其定义如下表：x123f(x)231x123g(x)321那么方程g[f(x)]＝x的解集为()A．{1}B．{2}C．{3}D．∅8．函数f(x)＝eq\f(x－1,x＋1)，那么f(x)＋f(eq\f(1,x))＝________.9.假设f(a＋b)＝f(a)·f(b)且f(1)＝1，那么eq\f(f2,f1)＋eq\f(f3,f2)＋eq\f(f4,f3)＋…＋eq\f(f2024,f2024)＝________.10．(2024·武汉模拟)f(eq\f(2,x)＋1)＝lgx，那么f(x)＝________.11．设函数f(x)＝x3cosx＋1.假设f(a)＝11，那么f(－a)＝________.12.定义在R上的函数f(x)满足：f(x)·f(x＋2)＝13，假设f(1)＝2，那么f(2024)＝________.13．函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,2)，－1<x<0,ex－1x≥0))，假设f(1)＋f(a)＝2，那么a的值为____________;函数及其表示〔二〕14.假设函数f(x)＝eq\f(x－4,mx2＋4mx＋3)的定义域为R，那么实数m的取值范围是()A．(－∞，＋∞)B．(0，eq\f(3,4))C．(eq\f(3,4)，＋∞)D．[0，eq\f(3,4))15.如果函数f(x)对于任意实数x，存在常数M，使得不等式|f(x)|≤M|x|恒成立，那么就称函数f(x)为有界泛涵．下面有4个函数：①f(x)＝1;②f(x)＝x2；③f(x)＝(sinx＋cosx)x;④f(x)＝eq\f(x,x2＋x＋1).其中有两个属于有界泛涵，它们是()A．①②B．②④C．①③D．③④16．对a，b∈R，记min{a，b}＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(aa<b，,ba≥b，))函数f(x)＝min{eq\f(1,2)x，－|x－1|＋2}(x∈R)的最大值为________．17．函数f(x)＝eq\f(x2,x2＋1)，那么f(eq\f(1,4))＋f(eq\f(1,3))＋f(eq\f(1,2))＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝________.18.设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋bx＋c，x≤0，,2，x>0.))假设f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，那么关于x的方程f(x)＝x的解的个数为________________;19.函数f(x)＝eq\f(4,|x|＋2)－1的定义域是[a，b](a，b∈Z)，值域是[0,1]，那么满足条件的整数数对(a，b)共有________个．20.函数f(x)＝lg(x＋eq\f(a,x)－2)，其中a是大于0的常数．(1)求函数f(x)的定义域；(2)当a∈(1,4)时，求函数f(x)在[2，＋∞)上的最小值；(3)假设对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，试确定a的取值范围．21.某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t小时内供水总量为120eq\r(6t)吨，(0≤t≤24)．(1)从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨？4(2)假设蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问在一天的24小时内，有几小时出现供水紧张现象．1．假设f(x)＝,那么f(x)的定义域为()A．(－eq\f(1,2)，0)B．(－eq\f(1,2)，＋∞)C．(－eq\f(1,2)，0)∪(0，＋∞)D．(－eq\f(1,2)，2)2．(2024·值域为{2,5,10}，对应关系为y＝x2＋1的函数个数为()A．1 B．8C．27 D．39[答案]C[解析]此题的关键是寻找满足条件的定义域有多少种情况．当y＝2，即x2＝1时，x＝1，－1或±1有三种情况，同理当y＝5,10时，x的值各有三种情况，由分步乘法计数原理知，共有3×3×3＝27种可能．应选C.3．(2024·陕西理，5)函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋1，x<1，,x2＋ax，x≥1，))假设f(f(0))＝4a，那么实数a等于()A.eq\f(1,2) B.eq\f(4,5)C．2 D．9[答案]C[解析]f(0)＝20＋1＝2，f(2)＝4＋2a＝4a，∴a＝4．(2024·天津理，8)设函数f(x)＝假设f(a)>f(－a)，那么实数a的取值范围是()A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1)[答案]C[解析]解法1：由图象变换知函数f(x)图象如图，且f(－x)＝－f(x)，即f(x)为奇函数，∴f(a)>f(－a)化为f(a)>0，∴当x∈(－1,0)∪(1，＋∞)，f(a)>f(－a)，应选C.解法2：当a>0时，由f(a)>f(－a)得，eqlog\s\do8(\f(1,2))og2a>eqlog\s\do8(\f(1,2))a，∴a>1；当a<0时，由f(a)>f(－a)得，eqlog\s\do8(\f(1,2))(－a)>log2(－a)，∴－1<a<0，应选C.5．a、b为实数，集合M＝{eq\f(b,a)，1}，N＝{a,0}，f是M到N的映射，f(x)＝x，那么a＋b的值为()A．－1B．0C．1D．[答案]C[解析]∵f(x)＝x，∴f(1)＝1＝a，假设f(eq\f(b,a))＝1，那么有eq\f(b,a)＝1，与集合元素的互异性矛盾，∴f(eq\f(b,a))＝0，∴b＝0，∴a＋b＝1.6．(2024·温州十校二模)某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为()A．y＝[eq\f(x,10)] B．y＝[eq\f(x＋3,10)]C．y＝[eq\f(x＋4,10)] D．y＝[eq\f(x＋5,10)][答案]B[解析]当x除以10的余数为0,1,2,3,4,5,6时，由题设知y＝[eq\f(x,10)]，且易验证此时[eq\f(x,10)]＝[eq\f(x＋3,10)]．当x除以10的余数为7,8,9时，由题设知y＝[eq\f(x,10)]＋1，且易验证知此时[eq\f(x,10)]＋1＝[eq\f(x＋3,10)]．综上知，必有y＝[eq\f(x＋3,10)]．应选B.7．设函数f(x)、g(x)的定义域分别为F、G，且FG.假设对任意的x∈F，都有g(x)＝f(x)，且g(x)为偶函数，那么称g(x)为f(x)在G上的一个“延拓函数〞．函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x(x≤0)，假设g(x)为f(x)在R上的一个延拓函数，那么函数g(x)的解析式为()A．g(x)＝2|x| B．g(x)＝log2|x|C．g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x| D．g(x)＝eqlog\s\do8(\f(1,2))|x|[答案]A[解析]由延拓函数的定义知，当x≤0时，g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，当x>0时，－x<0，∴g(－x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－x＝2x，∵g(x)为偶函数，∴g(x)＝2x，故g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))xx≤0,2xx>0))，即g(x)＝2|x|.8．(2024·广东揭阳一模)函数f(x)＝eq\f(x2,\r(2－x))－lg(x－1)的定义域是()A．(0,2)B．(1,2)．(2，＋∞)D．(－∞，1)[解析]当x>0时，f(x)－f(x－1)＝1，∴f(2024)＝[f(2024)－f(2024)]＋[f(2024)－f(2024)]＋…＋[f(1)－f(0)]＋f(0)＋f(0)＝2024＋log21＝2024.10.如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的eq\o\ac(AP,\s\up15(︵))的长为l，弦AP的长为d，那么函数d＝f(l)的图象大致是()[答案]C[解析]函数在[0，π]上的解析式为d＝eq\r(12＋12－2×1×1×cosl)＝eq\r(2－2cosl)＝eq\r(4sin2\f(l,2))＝2sineq\f(l,2).在[π，2π]上的解析式为d＝eq\r(2－2cos2π－l)＝2sineq\f(l,2)，故函数的解析式为d＝2sineq\f(l,2)，l∈[0,2π]．[点评]这类题目解决的根本方法通过分析变化趋势或者一些特殊的点，采用排除法；或求函数解析式．11．(2024·广东六校)某西部山区的某种特产由于运输的原因，长期只能在当地销售，当地政府通过投资对该项特产的销售进行扶持，每投入x万元，可获得纯利润P＝－eq\f(1,160)(x－40)2＋100万元(已扣除投资，下同)，当地政府拟在新的十年开展规划中加快开展此特产的销售，其规划方案为：在未来10年内对该工程每年都投入60万元的销售投资，其中在前5年中，每年都从60万元中拨出30万元用于修建一条公路，公路5年建成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的5年中，该特产既在本地销售，也在外地销售，在外地销售的投资收益为：每投入x万元，可获纯利润Q＝－eq\f(159,160)(60－x)2＋eq\f(119,2)·(60－x)万元，问仅从这10年的累积利润看，该规划方案是否可行？[解析]在实施规划前，由题设P＝－eq\f(1,160)(x－40)2＋100(万元)，知每年只需投入40万，即可获得最大利润100万元，那么10年的总利润为W1＝100×10＝1000(万元)实施规划后的前5年中，由题设P＝－eq\f(1,160)(x－40)2＋100知，每年投入30万元时，有最大利润Pmax＝eq\f(795,8)(万元)前5年的利润和为eq\f(795,8)×5＝eq\f(3975,8)(万元)设在公路通车的后5年中，每年用x万元投资于本地的销售，而剩下的(60－x)万元用于外地区的销售投资，那么其总利润为W2＝[－eq\f(1,160)(x－40)2＋100]×5＋(－eq\f(159,160)x2＋eq\f(119,2)x)×5＝－5(x－30)2＋4950.当x＝30时，W2＝4950(万元)为最大值，从而10年的总利润为eq\f(3975,8)＋4950(万元)．∵eq\f(3975,8)＋4950>1000，∴该规划方案有极大实施价值．2．)函数y＝eq\r(1－2x)的定义域为集合A，函数y＝ln(2x＋1)的定义域为集合B，那么A∩B等于()A．(－eq\f(1,2)，eq\f(1,2)]B．(－eq\f(1,2)，eq\f(1,2))C．(－∞，－eq\f(1,2))D．[eq\f(1,2)，＋∞)[答案]A[解析]由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－2x≥0,2x＋1>0))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤\f(1,2)，,x>－\f(1,2).))∴－eq\f(1,2)<x≤eq\f(1,2)，故A∩B＝(－eq\f(1,2)，eq\f(1,2)]．(理)(2024·湖北文，5)函数y＝eq\f(1,\r(log0.54x－3))的定义域为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，1)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，＋∞))C．(1，＋∞) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，1))∪(1，＋∞)[答案]A[解析]log0.5(4x－3)>0＝log0.51，∴0<4x－3<1，∴eq\f(3,4)<x<1.3．(2024·山东潍坊模拟)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x，x≥3，,fx＋1，x<3，))那么f(log23)的值是()A.eq\f(1,12) B.eq\f(1,24)C．24 D．12[答案]A[解析]∵1<log23<2，∴3<log23＋2<4，∴f(log23)＝f(log23＋1)＝f(log23＋2)＝f(log212)＝(eq\f(1,2))log212＝eq\f(1,12).4．(2024·福建文，8)函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，x>0，,x＋1，x≤0，))假设f(a)＋f(1)＝0，那么实数a的值等于()A．－3 B．－1C．1 D．3[答案]A[解析]∵f(1)＝21＝2，∴由f(a)＋f(1)＝0知f(a)＝－2.当a>0时2a＝－2不成立．当a<0时a＋1＝－2，a＝－5．(文)(2024·广东六校)设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2xx∈－∞，2],log2xx∈2，＋∞))，那么满足f(x)＝4的x的值是()A．2 B．16C．2或16 D．－2或16[答案]C[解析]当f(x)＝2x时.2x＝4，解得x＝2.当f(x)＝log2x时，log2x＝4，解得x＝16.∴x＝2或16.应选C.(理)设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(21－x－1x<1,lgxx≥1))，假设f(x0)>1，那么x0的取值范围是()A．(－∞，0)∪(10，＋∞)B．(－1，＋∞)C．(－∞，－2)∪(－1,10)D．(0,10)[答案]A[解析]由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0<1,21－x0－1>1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0≥1,lgx0>1))⇒x0<0或x0>10.6．(2024·山东肥城联考)两个函数f(x)和g(x)的定义域和值域都是集合{1,2,3}，其定义如下表：x123f(x)231x123g(x)321那么方程g[f(x)]＝x的解集为()A．{1} B．{2}C．{3} D．∅[答案]C[解析]g[f(1)]＝g(2)＝2，g[f(2)]＝g(3)＝1；g[f(3)]＝g(1)＝3，应选C.7．(文)(2024·济南模拟)函数f(x)＝eq\f(x－1,x＋1)，那么f(x)＋f(eq\f(1,x))＝________.[答案]0[解析]∵f(eq\f(1,x))＝eq\f(\f(1,x)－1,\f(1,x)＋1)＝eq\f(1－x,1＋x)，∴f(x)＋f(eq\f(1,x))＝eq\f(x－1,x＋1)＋eq\f(1－x,1＋x)＝0.(理)假设f(a＋b)＝f(a)·f(b)且f(1)＝1，那么eq\f(f2,f1)＋eq\f(f3,f2)＋eq\f(f4,f3)＋…＋eq\f(f2024,f2024)＝________.[答案]2024[解析]令b＝1，那么eq\f(fa＋1,fa)＝f(1)＝1，∴eq\f(f2,f1)＋eq\f(f3,f2)＋eq\f(f4,f3)＋…＋eq\f(f2024,f2024)＝2024.8．(2024·武汉模拟)f(eq\f(2,x)＋1)＝lgx，那么f(x)＝________.[答案]lgeq\f(2,x－1)(x>1)[解析]令eq\f(2,x)＋1＝t，∵x>0，∴t>1，那么x＝eq\f(2,t－1)，∴f(t)＝lgeq\f(2,t－1)，f(x)＝lgeq\f(2,x－1)(x>1)．9．(文)(2024·广东文，12)设函数f(x)＝x3cosx＋1.假设f(a)＝11，那么f(－a)＝________.[答案]－9[解析]令g(x)＝x3cosx，那么f(x)＝g(x)＋1，g(x)为奇函数．f(a)＝g(a)＋1＝11，所以g(a)＝10，f(－a)＝g(－a)＋1＝－g(a)＋1＝－9.(理)(2024·安徽省淮南市高三第一次模拟)定义在R上的函数f(x)满足：f(x)·f(x＋2)＝13，假设f(1)＝2，那么f(2024)＝________.[答案]eq\f(13,2)[解析]∵f(x＋4)＝eq\f(13,fx＋2)＝eq\f(13,\f(13,fx))＝f(x)，∴函数f(x)的周期为4，所以f(2024)＝f(4×502＋3)＝f(3)＝eq\f(13,f1)＝eq\f(13,2).10．函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,2)，－1<x<0,ex－1x≥0))，假设f(1)＋f(a)＝2，求a的值．[解析]∵f(1)＝e1－1＝1，又f(1)＋f(a)＝2，∴f(a)＝1.假设－1<a<0，那么f(a)＝a2＋eq\f(1,2)＝1，此时a2＝eq\f(1,2)，又－1<a<0，∴a＝－eq\f(\r(2),2).假设a≥0，那么f(a)＝ea－1＝1，∴a＝1.综上所述，a的值是1或－eq\f(\r(2),2).11.(文)(2024·天津一中)假设函数f(x)＝eq\f(x－4,mx2＋4mx＋3)的定义域为R，那么实数m的取值范围是()A．(－∞，＋∞) B．(0，eq\f(3,4))C．(eq\f(3,4)，＋∞) D．[0，eq\f(3,4))[答案]D[解析]①m＝0时，分母为3，定义域为R.②由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≠0，,Δ<0))得0<m<eq\f(3,4).综上得0≤m<eq\f(3,4).(理)(2024·黑龙江哈尔滨模拟)如果函数f(x)对于任意实数x，存在常数M，使得不等式|f(x)|≤M|x|恒成立，那么就称函数f(x)为有界泛涵．下面有4个函数：①f(x)＝1; ②f(x)＝x2；③f(x)＝(sinx＋cosx)x; ④f(x)＝eq\f(x,x2＋x＋1).其中有两个属于有界泛涵，它们是()A．①② B．②④C．①③ D．③④[答案]D[解析]由|f(x)|≤M|x|对x∈R恒成立，知|eq\f(fx,x)|max≤M.①中|eq\f(fx,x)|＝|eq\f(1,x)|∈(0，＋∞)，故不存在常数M使不等式恒成立；②中|eq\f(fx,x)|＝|x|∈[0，＋∞)，故不存在常数M使不等式恒成立；③中|eq\f(fx,x)|＝|sinx＋cosx|＝eq\r(2)|sin(x＋eq\f(π,4))|≤eq\r(2)，故存在M使不等式恒成立；④中|eq\f(fx,x)|＝|eq\f(1,x2＋x＋1)|＝|eq\f(1,x＋\f(1,2)2＋\f(3,4))|≤eq\f(4,3)，故存在M使不等式恒成立．[点评]作为选择题判断①后即排除A、C，判断②后排除B，即可选出D.12．(文)(2024·海南海口模拟)对a，b∈R，记min{a，b}＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(aa<b，,ba≥b，))函数f(x)＝min{eq\f(1,2)x，－|x－1|＋2}(x∈R)的最大值为________．[答案]1[解析]y＝f(x)是y＝eq\f(1,2)x与y＝－|x－1|＋2两者中的较小者，数形结合可知，函数的最大值为1.(理)(2024·山东烟台模拟)设函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K，定义函数fK(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx，fx≤K，,K，fx>K.))取函数f(x)＝a－|x|(a>1)．当K＝eq\f(1,a)时，函数fK(x)在以下区间上单调递减的是()A．(－∞，0) B．(－a，＋∞)C．(－∞，－1) D．(1，＋∞)[答案]D[解析]当K＝eq\f(1,a)时，fK(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－|x|，a－|x|≤\f(1,a)，,\f(1,a)，a－|x|>\f(1,a)))＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)|x|，x≤－1或x≥1，,\f(1,a)，－1<x<1.))∵a>1，∴0<eq\f(1,a)<1，如图，作出函数fK(x)的图象可得其单调减区间为(1，＋∞)．13．(文)(2024·上海交大附中月考)函数f(x)＝eq\f(x2,x2＋1)，那么f(eq\f(1,4))＋f(eq\f(1,3))＋f(eq\f(1,2))＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝________.[答案]eq\f(7,2)[解析]f(1)＝eq\f(1,2)，f(x)＋f(eq\f(1,x))＝eq\f(x2,x2＋1)＋eq\f(\f(1,x2),\f(1,x2)＋1)＝eq\f(x2,x2＋1)＋eq\f(1,1＋x2)＝1，那么f(eq\f(1,4))＋f(eq\f(1,3))＋f(eq\f(1,2))＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝3＋eq\f(1,2)＝eq\f(7,2).(理)(2024·襄樊检测)设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋bx＋c，x≤0，,2，x>0.))假设f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，那么关于x的方程f(x)＝x的解的个数为()A．1B．2C．3D．[答案]C[解析]法一：假设x≤0，那么f(x)＝x2＋bx＋c.∵f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－42＋b·－4＋c＝c，,－22＋b·－2＋c＝－2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝4，,c＝2.))∴f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋4x＋2，x≤0，,2，x>0.))当x≤0时，由f(x)＝x，得x2＋4x＋2＝x，解得x＝－2，或x＝－1；当x>0时，由f(x)＝x，得x＝2.∴方程f(x)＝x有3个解．法二：由f(－4)＝f(0)且f(－2)＝－2，可得f(x)＝x2＋bx＋c的对称轴是x＝－2，且顶点为(－2，－2)，于是可得到f(x)的简图(如以下列图)．方程f(x)＝x的解的个数就是函数y＝f(x)的图象与y＝x的图象的交点的个数，所以有3个解．14．(2024·洛阳模拟)函数f(x)＝eq\f(4,|x|＋2)－1的定义域是[a，b](a，b∈Z)，值域是[0,1]，那么满足条件的整数数对(a，b)共有________个．[答案]5[解析]由0≤eq\f(4,|x|＋2)－1≤1，即1≤eq\f(4,|x|＋2)≤2得0≤|x|≤2，满足条件的整数数对有(－2,0)，(－2,1)，(－2,2)，(0,2)，(－1,2)共5个．[点评]数对(a，b)的取值必须能够使得|x|的取值最小值为0，最大值为2，才能满足f(x)的值域为[0,1]的要求．15．(文)函数f(x)＝eq\f(x,ax＋b)(ab≠0)，f(2)＝1，又方程f(x)＝x有唯一解，求f(x)的解析式．[解析]由f(2)＝1得eq\f(2,2a＋b)＝1，即2a＋b＝2；由f(x)＝x得eq\f(x,ax＋b)＝x，变形得x(eq\f(1,ax＋b)－1)＝0，解此方程得x＝0或x＝eq\f(1－b,a)，又因方程有唯一解，∴eq\f(1－b,a)＝0，解得b＝1，代入2a＋b＝2得a＝eq\f(1,2)，∴f(x)＝eq\f(2x,x＋2).(理)(2024·广东普宁模拟)函数f(x)＝lg(x＋eq\f(a,x)－2)，其中a是大于0的常数．(1)求函数f(x)的定义域；(2)当a∈(1,4)时，求函数f(x)在[2，＋∞)上的最小值；(3)假设对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，试确定a的取值范围．[解析](1)由x＋eq\f(a,x)－2>0，得eq\f(x2－2x＋a,x)>0，a>1时，x2－2x＋a>0恒成立，定义域为(0，＋∞)．a＝1时，定义域为{x|x>0且x≠1}，0<a<1时，定义域为{x|0<x<1－eq\r(1－a)或x>1＋eq\r(1－a)}．(2)设g(x)＝x＋eq\f(a,x)－2，当a∈(1,4)，x∈[2，＋∞)时，g′(x)＝1－eq\f(a,x2)＝eq\f(x2－a,x2)>0恒成立，∴g(x)＝x＋eq\f(a,x)－2在[2，＋∞)上是增函数．∴f(x)＝lg(x＋eq\f(a,x)－2)在[2，＋∞)上是增函数．∴f(x)＝lg(x＋eq\f(a,x)－2)在[2，＋∞)上的最小值为f(2)＝lgeq\f(a,2).(3)对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，即x＋eq\f(a,x)－2>1对x∈[2，＋∞)恒成立．∴a>3x－x2，而h(x)＝3x－x2＝－(x－eq\f(3,2))2＋eq\f(9,4)在x∈[2，＋∞)上是减函数，∴h(x)max＝h(2)＝2，∴a>2.16．(2024·深圳九校)某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t小时内供水总量为120eq\r(6t)吨，(0≤t≤24)．(1)从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨？(2)假设蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问在一天的24小时内，有几小时出现供水紧张现象．[解析](1)设t小时后蓄水池中的水量为y吨，那么y＝400＋60t－120eq\r(6t)(0≤t≤24)令eq\r(6t)＝x，那么x2＝6t且0≤x≤12，∴y＝400＋10x2－120x＝10(x－6)2＋40(0≤x≤12)；∴当x＝6，即t＝6时，ymin＝40，即从供水开始到第6小时时，蓄水池水量最少，只有40吨．(2)依题意400＋10x2－120x<80，得x2－12x＋32<0，解得4<x<8，即4<eq\r(6t)<8，∴eq\f(8,3)<t<eq\f(32,3)；∵eq\f(32,3)－eq\f(8,3)＝8，∴每天约有8小时供水紧张．1．(2024·江西文，3)假设f(x)＝,那么f(x)的定义域为()A．(－eq\f(1,2)，0) B．(－eq\f(1,2)，＋∞)C．(－eq\f(1,2)，0)∪(0，＋∞) D．(－eq\f(1,2)，2)[答案]C[解析]要使函数有意义，那么有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋1>0,2x＋1≠1))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>－\f(1,2),x≠0)).应选C.2．(2024·浙江宁波十校联考)值域为{2,5,10}，对应关系为y＝x2＋1的函数个数为()A．1 B．8C．27 D．39[答案]C[解析]此题的关键是寻找满足条件的定义域有多少种情况．当y＝2，即x2＝1时，x＝1，－1或±1有三种情况，同理当y＝5,10时，x的值各有三种情况，由分步乘法计数原理知，共有3×3×3＝27种可能．应选C.3．(2024·陕西理，5)函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋1，x<1，,x2＋ax，x≥1，))假设f(f(0))＝4a，那么实数a等于()A.eq\f(1,2) B.eq\f(4,5)C．2 D．9[答案]C[解析]f(0)＝20＋1＝2，f(2)＝4＋2a＝4a，∴a＝4．(2024·天津理，8)设函数f(x)＝假设f(a)>f(－a)，那么实数a的取值范围是()A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1)[答案]C[解析]解法1：由图象变换知函数f(x)图象如图，且f(－x)＝－f(x)，即f(x)为奇函数，∴f(a)>f(－a)化为f(a)>0，∴当x∈(－1,0)∪(1，＋∞)，f(a)>f(－a)，应选C.解法2：当a>0时，由f(a)>f(－a)得，eqlog\s\do8(\f(1,2))og2a>eqlog\s\do8(\f(1,2))a，∴a>1；当a<0时，由f(a)>f(－a)得，eqlog\s\do8(\f(1,2))(－a)>log2(－a)，∴－1<a<0，应选C.5．a、b为实数，集合M＝{eq\f(b,a)，1}，N＝{a,0}，f是M到N的映射，f(x)＝x，那么a＋b的值为()A．－1B．0C．1D．[答案]C[解析]∵f(x)＝x，∴f(1)＝1＝a，假设f(eq\f(b,a))＝1，那么有eq\f(b,a)＝1，与集合元素的互异性矛盾，∴f(eq\f(b,a))＝0，∴b＝0，∴a＋b＝1.6．(2024·温州十校二模)某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为()A．y＝[eq\f(x,10)] B．y＝[eq\f(x＋3,10)]C．y＝[eq\f(x＋4,10)] D．y＝[eq\f(x＋5,10)][答案]B[解析]当x除以10的余数为0,1,2,3,4,5,6时，由题设知y＝[eq\f(x,10)]，且易验证此时[eq\f(x,10)]＝[eq\f(x＋3,10)]．当x除以10的余数为7,8,9时，由题设知y＝[eq\f(x,10)]＋1，且易验证知此时[eq\f(x,10)]＋1＝[eq\f(x＋3,10)]．综上知，必有y＝[eq\f(x＋3,10)]．应选B.7．设函数f(x)、g(x)的定义域分别为F、G，且FG.假设对任意的x∈F，都有g(x)＝f(x)，且g(x)为偶函数，那么称g(x)为f(x)在G上的一个“延拓函数〞．函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x(x≤0)，假设g(x)为f(x)在R上的一个延拓函数，那么函数g(x)的解析式为()A．g(x)＝2|x| B．g(x)＝log2|x|C．g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x| D．g(x)＝eqlog\s\do8(\f(1,2))|x|[答案]A[解析]由延拓函数的定义知，当x≤0时，g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，当x>0时，－x<0，∴g(－x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－x＝2x，∵g(x)为偶函数，∴g(x)＝2x，故g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a