2025届新高考数学冲刺复习导数与函数的单调性

2025届新高考数学冲刺复习导数与函数的单调性内容索引学习目标核心体系活动方案备用题学习目标1.了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间．核心体系设函数y＝f(x)的定义域为D，集合I为其一个子集．若x∈I时，f′(x)>0，则y＝f(x)在I上单调递增．若x∈I时，f′(x)<0，则y＝f(x)在I上单调递减．活动方案活动一基础训练1.函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是(

)【解析】

由f′(x)的图象可知f(x)的单调性为减→增→减→增，且极大值点为正，故选D.【答案】D2.已知函数f(x)＝x3＋3x2＋3ax有三个单调区间，则实数a的取值范围是(

)A.(－∞，1) B.(－∞，0)C.(－∞，3) D.(－∞，2)【解析】

由题意，得f′(x)＝3x2＋6x＋3a.因为f(x)有三个单调区间，所以f′(x)＝0有两个不相等的实数根，则Δ＝36－36a>0，解得a<1.【答案】A3.下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是(

)A.f(x)＝sin2x B.g(x)＝x3－xC.h(x)＝xex D.m(x)＝－x＋lnx【答案】C【分析】

根据导数的性质，结合常变量分离法进行求解即可．【答案】(－∞，－1]【答案】(1，＋∞)活动二典型例题题组一求函数的单调区间11已知函数f(x)＝(a－1)lnx＋ax2＋1，讨论函数f(x)的单调性．2已知函数f(x)＝(x2＋ax＋a)ex，其中a∈R，e是自然对数的底数，求函数f(x)的单调减区间．当－a＜－2，即a＞2时，列表如下：所以f(x)的单调减区间是(－a，－2)．综上，当a＝2时，函数f(x)无单调减区间；当a＜2时，函数f(x)的单调减区间是(－2，－a)；当a＞2时，函数f(x)的单调减区间是(－a，

－2)．题组二利用函数的单调性求参数的值(范围)

已知函数f(x)＝x3－ax－1.若f(x)在R上为增函数，求实数a的取值范围．2【解析】

因为f(x)在R上是增函数，所以f′(x)＝3x2－a≥0在R上恒成立，即a≤3x2对x∈R恒成立．因为3x2≥0，所以a≤0，故实数a的取值范围是(－∞，0]．1在本例中，函数f(x)不变，若f(x)在区间(－1,1)上单调递减，求实数a的取值范围．【解析】

由题意，得f′(x)＝3x2－a≤0在区间(－1,1)上恒成立，即a≥3x2在区间(－1,1)上恒成立．因为－1＜x＜1，所以3x2＜3，所以a≥3，故实数a的取值范围是[3，＋∞)．2在本例中，函数f(x)不变，若f(x)的单调减区间为(－1,1)，求实数a的值．3在本例中，函数f(x)不变，若f(x)在区间[1，＋∞)上不具有单调性，求实数a的取值范围．4在本例中，函数f(x)不变，若f(x)有3个单调区间，求实数a的取值范围．【解析】

因为f(x)有3个单调区间，所以方程f′(x)＝3x2－a＝0有两个不相等的实数根．令Δ>0，得a＞0，故实数a的取值范围是(0，＋∞)．5在本例中，函数f(x)不变，若f(x)有3个零点，求实数a的取值范围．题组三利用函数的单调性解不等式3【答案】(－∞，－2)备用题1.(多选)(2023南京二模)函数y＝(kx2＋1)ex的图象可能是(

)2413【分析】

分类讨论函数的单调性及极值点判断各个选项即可．【答案】ABC24132.(多选)(2023苏州中学开学考试)已知实数a，b满足等式e2a－eb＝2(2b－a)，则下列不等式中可能成立的有(

)A.a<b<0 B.b<a<0C.0<a<b D.0<b<a【分析】

将已知条件转化为e2a＋2a＝eb＋4b，通过构造函数法，结合导数判断出当b<0时，a<b<0，由此判断A，