2023届高考数学专项练习导数解密36a01 导数的运算含答案含答案

2023届高考数学专项练习导数解密36专题专题01导数的运算

1.基本初等函数的导数公式

基本初等函数导函数

y(x)=c(。为常数)/(x)=0

Hx)=d(a£Q,a#0)/(1)=*一|

<*)=sinx/(A)=COSX

./(x)=cosxf(x)=­sinx

Ax)="(aX)且aRl)/(x)=a'lna

危)=e"f(x)=e

yu)=io&Ma>o且"i)f(x)=E

/(x)=E

j(x)=\nx

2.导数的运算法则

若/*)，g")存在，则有磔刈'=欧》质)±g(x)]'=/(x)士g'(W[/U)ga)]'=〃*)g(x)+Kx)g，a)：[悬)=

/(x)g(x)—/U)g，(x)

g)F(g(x)翔):

3.复合函数的定义及其导数

(I)•般地，对于两个函数)，=贝〃)和“=g(x),如果通过中间变量〃，y可以表示成、的函数，那么称这个函数为

函数产贝“)与〃=g(x)的复合函数，记作y=Mx)).

(2)复合函数尸,Ag(x))的导数和函数y=A〃)，“=ga)的导数间的关系为芯=此品，即)，对人•的导数等于)，对“

的导数与U对.¥的导数的乘积.

【方法总结】

导数运算的原则和方法

基本原则：先化简、再求导;

具体方法：

(1)连乘积形式：光展开化为多项式的形式，再求导:

(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导;

(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导；

(4)根式形式：先化为分数指数箱的形式，再求导；

(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导;

(6)复合函数：由外向内，层层求导.

1

【例题选讲】

［例1］求下列函数的导数:

(l)y=A2sinx；

，-、cosX

(2)y=—：

(3)y=ASin(2x+郛os(2r+?：

(4)y=ln(Zr—5).

解析(l)y=(A2ysinx4-.r(sinA),=Zrsinx+fcosx.

(cosx)'e‘一cosMu')'sinx+cosx

(2)y=(eV

n(2x+9cos(2A，+9=2JS

in(4.v+7t)=­2-Vsin4x,

•W=-5sin4x-/,4cos4x=-"in4x-2xcos4.r.

129

(4)令“=2A•—5,y=\nu.则y'=(ln〃)"=三二^2=五二，即

[例2](1)(2020・全国HI)设函数启)=枭.若/(1)=宗则〃=.

答案I解析/团="；二『=(：禽,则/⑴=11弋，整理可得，"2"1=0,解得a=l.

(2)已知函数兀I)的导函数为/Q),A')=2.r-3V(l)+lnx,则41)=.

答案一［解析•"x)=Zt2—W(l)+lnx,・7/3=4八一尔1)+占将x=l代入，得〃1)=4一"(1)+1,得了⑴

=|.p+lnx,.\^1)=2—^=-^.

(3)已知力(x)=sinx+cosx,启i(x)是/>(x)的导函数，即力(x)=/'(x),力。)=五'(*),…-。)=,启(工)，〃£N’，则

员022。)等于()

A.—sinx—cos.vB.sinx-cosxC.—sinA-FeosxD.sinx+cosx

答案C解析,・Via)=sinx+cosx,•,»^(A)=/i,(x)=cossinx,力(x)=/y(x)=—sinx—cosx,A(.r)f(*)=

一cosx+sinx,力(K)=R(x)=sinx+cosx,・7/；仆)的解析式以4为周期重复出现，TZ022=4*505+2,・••力022。)=力(x)

=cosx—sinx.故选C.

(4)(多选)给出定义：若函数ZU)在。上可导，即/(*•)存在，且导函数/(X)在。上也可导，则称7U)在D上存在二

阶导函数，记ra)=(r(x)y,若广a)vo在。上恒成立，则称火X)在。上为凸函数.以下四个函数在(o,3上是凸函

数的是()

2

A./(x)=sinA-Feos.vB./(x)=lnx—2vC.^x)=xy+2x~\D.危)=2

9，.\f(x)<0,/U)在(0,图上

答案AB解析对于A:/(A)=cosA-sinx,f\x)=­sinx-cosx,

是凸函数，故A正确.对于B:/(1)=:-2,—(1)=—pVO,故凡6在(0,3上是凸函数，故B正确；对于C:/(x)

=3.r+2,/(A)=6X>0,故其丫)在(0,?上不是凸函数，故C错误；对于D:/(x)=(.r+l)e*,T(x)=(x+2H>(),故

/)在(0,图上不是凸函数，故D错误.故选AB.

(5)已知人工)的导函数为/(X),若满足〃(")-/(*)=/+*，且70)21，则次x)的解析式可能是()

A.AT-xlnx+xB.X2—Aln.r—xC..r+xlnx-ixD.F+2jdnx+x

答案C解析由选项知凡t)的定义域为(0,+8),由题意得必当©=1+3即"|'=1+3故孥=x+ln

*+以《为待定常数)，即凡。=f+(lnx+c)x.又火1心1,则c20,故选C.

【对点训练】

1.下列求导运算正确的是()

A.(%+5)'=1+±B.(log2.r),=-^7C.(S^^S'logsvD.(^cosx),=—2xsin.v

1.答案B解析(log")'=q%，故B正确.

2.函数y=xcos*—sinx的导数为()

A.minxB.-,vsinxC.xcosxD.—xcosx

2.答案B解析y=x,cos.v+.¥(cosx)f—(sinA)*=COSx-xsinx—cosx=—Asinx.

3.(多选)下列求导运算正确的是()

A.(sina)'=cosa(a为常数)B.(sin2v)*=2cos2x

C.(5)』^=D.(er—InA4-Zr2)*=er—~+4.r

3.答案BCD解析为常数，・・・sina为常数，・・・(sinay=0,故A错误.由导数公式及运算法则

知B,C,D正确，故选BCD.

4.已知函数©=震+3则/(x)=.

f22

小412,(sinx)cosx—sinx(cosA),,cos.r+sinx,-12

4-答案解析小尸1---------33^------------+<-y=w+i

5.已知函数“r)的导函数为/(x),记力a)=/(x),fi,(x)=fi(x)..加心)=/“(%)(〃£N.)，若/(x)=.rsinx,

则方019。)+及02l(X)=()

A.-2cosAB.—2sinxC.2cosxD.2sinx

5.答案D解析由题意，J[x)=xsinx,/i(.v)=/(.¥)=sinx+xcosx,,^Cv)=/i(.v)=cosx+cosx—Asinx=

2cosA-.tsinx,力(x)=/2(x)=­3sinx-xcosx,f4(x)=fi(x)=­4cosx+xsinx,75(<v)=/4(^)=5sinx+xcosx,..

据此可知力oi9(x)=-20I9sinx—xcos.t,力O2i(x)=202lsinx+xcosx,所以为i9(x)+力o2i(x)=2sinx,故选D.

6.J[x}=x(2021+lnx),若/(.q)=2022,则xo等于()

A.e2B.1C.In2D.e

6.答案B解析/a)=2021+1nx+xx1=2022+lnx,又/(x())=2022,得2022+ln即=2022,则ln3

=0,解得沏=1.

7.7知函数危)=a，]+e'cosx,若了(0)=—1,则a=.

7.答案2解析/(x)=(:3]?+e'cosx—e'sin上q小；了+c'cos*—eTsinx,«V(0)=­«+l=-1,

则a=2.

8.已知函数/(x)=ln(2x-3)+arer,若了(2)=1,则a=.

8.答案e2解析/(x)=3，・(2x-3)'+ae'+at・(e>'=彳£+四Jate/./(2)=2+ae2—2ae2

=2—fze-2=1,则fl=e2.

9.已知函数兀r)的导函数为/。)，且满足关系式J(x)=f+3MX2)+ln*,则/(2)的值等于()

99

A.-2B.2C.-TD.T

44

9.答案C解析因为/U)"+3W(2)+lnx,所以/(x)=2t+V(2)+：,所以/(2)=2x2+狙2)+/解

9

得八2)=一不

10.已知兀x)=.d+2d(l),则/(0)=.

10.答案一4解析••了(x)=2x+4(l),・\f(l)=2+4(l),・・・/(1)=-2,・・./(0)="(l)=2x(-2)=-4.

I】.设函数_/(x)在(0,十8)内可导，其导函数为了(工)，且4nx)=x+lnx,则/(1)=.

11.答案1+e解析因为4nx)=x+lnx,所以-Ojt+eJ所以/(1)=1+以所以/(1)=1+9=1+

e.

12.已知/(幻是函数兀外的导数，儿0=/(l)2'+f,则八2)=()

12-8ln224

A-------------R-----------C-----------D—9

人l-21n2l-2ln2l-21n2/

4

2求曲线切线方程的步骤

12.答案C解析因为/(x)=/(l)2'ln2+2*所以/(l)=/(l)-21n2+2,解得/(D=口而1，所以/⑴

(I)求曲线在点P(xo,刃)处的切线方程的步骤

774

=^^2%2+为所以/(2)==1村2加2+2x2=^^第•步，求出函数y=«x)在点x=xo处的导数值/(沏)，即曲线y=./(x)在点P(x(j,危o))处切线的斜率：

13.(多选)若函数危)的导函数/⑴的图象关于y轴对称，则危)的解析式可能为()第二步，由点斜式方程求得切线方程为y—j(.ro)=/(.ro)G-xo).

A.y(x)=3cosxB.y(x)=A3-|-xC.Hx)=x+：D.y(A)=er+.v(2)求曲线过点尸(.如.阳)的切线方程的步骤

第一步，设出切点坐标户(即，人3)；

13.答案BC解析对于A,凡0=3cosx,其导数/(x)=-3sin尤其导函数为奇函数，图象不关于y

第二步，写出过PQ,危0)的切线方程为厂贝莺)=/(即)。一.)；

轴对称，不符合题意；对于B,火")=*3+E其导数/(x)=3f+l,其导函数为偶函数，图象关于)，轴对称，符

第三步，将点P的坐标(油，火)代入切线方程，求出为：

合题意；对于C,人幻=x+£其导数/(幻=1一5，其导函数为偶函数，图象关于y轴对称，符合题意；对于D,

第四步，将司的值代入方程,一/(由)=/3)。一M)可得过点PQ),w)的切线方程.

Av)=e'+x,其导数/(x)=c'+l,其导函数不是偶函数，图象不关于)，轴对称，不符合题意.注意：在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在点P处的切线方程和求曲线过点P的切线方程，在

3点P处的切线，一定是以点P为切点，过点P的切线，不论点P在不在曲线上，点P不一定是切点.

14../(x)=^77+V，其导函数为TV),则＜2020)+7(-2020)+/(2019)-〃-2019)的值为()

【例题选讲】

A.1B.2C.3D.4[例1](1)(2021•全国甲)曲线)，=毯£■在点(一1,一3)处的切线方程为.

-3炉—3e1

14.答案C解析/(.t)=e：|尸+3『,/(r)=(c5/+3/,所以/(x)为偶函数，/(2019)-/(-2019)

答案5x-y+2=0解析＞，'=(策)=为暗器二»=于看，所以＞，卜7=三方方=5,所以切线方

333

=0,因为氏丫)+71—幻=乐+/+不不一/=市+多=3,所以犬2020)+大一2020)+/(2019)一八一2019)

程为y+3=5(x+l),即5x—y+2=0.

=3.故选C.

(2)(2020•全国I)函数_/U)=f—Zv3的图象在点(1,川))处的切线方程为()

15.已知/(x)=ar4+桃。sx+7.r—2.若/(2020)=6,则/(一2020)=.

A.y=-2x~\B.y=-2x+lC.y=2x~3D.y=2t+l

15.答案8解析因为『(x)=4aF—〃sinx+7,所以/(—x)=4a(一»—bsin(—x)+7=—4a/+戾吊工+

答案B解析-2=—1,切点坐标为(1,一1),/(.0=4入3—6?,所以切线的斜率为4=/(I)=4X13—6X12

7.所以/(*)+/(-»=14.又/(2020)=6,所以/(一2020)=14-6=8.

=-2,切线方程为)，+1=—2。-1),即y=-2x+l.

16.分别求下列函数的导数：

(3)(2018・全国I)设函数,几，)=.必+3—1濡+奴.若人¥)为奇函数，则曲线y=＜x)在点(0,0)处的切线方程为()

(DyneinX；(2)y=.(d+[+$；(3)y=A—sin^cos^：(4)y=ln^/1+2x.(5y(x)=},nx-

A.y=—2xB.y=~xC.y=2xD.y=x

16.解析(1)y=(e")1nx+el(ln.v),=e'ln.x+e^-^^ln.v+£)el.

答案D解析法一因为函数Ax)=.d+(a—l)F+at为奇函数，所以,八一x)=-ytr),所以(一工"+侬一1)(一

⑵，・，=/+1+，,,.y,=3jr—^.上门+以-x)=-b?+(a—l*+ax],所以2(a—11*=0.因为xWR,所以。=1,所以兀力一户+工，所以/(x)=3.d+1,

所以/(0)=1,所以曲线y=；(.x)在点(0,0)处的切线方程为)，=工故选D.

(3)Vy=x-^sinx,.*./=1-/osx.

(4)・・・尸1帅+2t=1n(l+2r),・卬=/7^，(1+约=7^4?

9IiooQ--9r+2

(5)由已知儿0=x-lnx+f/.所以/(x)=1--^+^=:----p-----.

专题02曲线的切线方程

考点一求切线的方程

【方法总结】

5

法二因为函数,/(x)=.d+(a—)F+at为奇函数，所以式-1)+式1)=0,所以一1+。一1一“+(1+〃-1+〃)=0,

解得。=1,此时贝x)=.l+x(经检验，"外为奇函数)，所以/(x)=3f+l,所以/(0)=1,所以曲线y=A0在点(0,0)

处的切线方程为)，=¥.故选D.

法三易知|幻二丁+侬-l),d+ar=H.F+(a—i)x+〃],因为/U)为奇函数，所以函数g(x)=f+(a—l)x+a为偶

函数,所以a—1=0,解得a=l,所以式X)=J?+X,所以“x)=3f+l,所以/(0)=1,所以曲线y=/(x)在点(0,0)

处的切线方程为y=x.故选D.

(4)(2020.全国1)曲线)=1h+、+1的・条切线的斜率为2,则该切线的方程为.

答案Zx—y=0解析设切点坐标为(xo,泗)，因为y=lnx+x+l,所以尸1+1,所以切线的斜率为2+1=

2,解得XQ=L所以为=1nl+l+l=2,即切点坐标为(1,2),所以切线方程为)，-2=2(x-l),即2r-y=0.

(5)已知函数_/3)=川2，若直线/过点(0,—1),并且与曲线y=/U)相切，则直线/的方程为.

答案x—y-1=0解析:点(0,-1)不在曲线)(x)=xlnx上，.,・设切点为(xo,*).又,・'/(x)=l+lnx,・••直

Lw)=Adnxo,

线/的方程为y+l=(l+lnxQ)x.，由f,解得刈=1,和=0.・••直线/的方程为丫=*一1,即“一

12+1=(1TTn.ro)即，

>-1=0.

(6)(2021・新高考I)若过点(小力可以作曲线的两条切线，贝水)

A.#<aB.e"<bC.0<z?<eAD.0<Ke"

答案D解析根据y=e'图象特征，)，=c)是下凸函数，又过点(a,b)可以作曲线y=ex的两条切线，则点(a,

份在曲线)=^的下方且在x轴的上方，得0v/Ke".故选D.

(7)已知曲线儿r)=/-x+3在点P处的切线与直线A+2V—1=0垂直，则P点的坐标为()

A.(1,3)B.(一1,3)C.(L3)或(一I,3)D.(1,-3)

答案C解析设切点尸(如和)，,仕)=3/一1,又直线,x+2y—l=0的斜率为一/••・/(、0)=3焉一1=2,，.诏

==

1,，即=±1,又切点P(KQ,比)在y=/(x)上，.,・儿=焉一刖+3,.,•当即=1时，>'0=3；当XQ=-1时，yo3.・••切

点P为(1,3)或(一1,3).

(8)(2019•江苏)在平面直角坐标系入仑中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点人处的切线经过点(一e,-l)(e

为自然对数的底数)，则点A的坐标是.

答案(e,1)解析设A(m,〃)，则曲线y=lnx在点A处的切线方程为y—〃=%工一切).又切缓过

2

点(一e,—1),所以有〃+l=\(m+e).再由〃=ln〃i,解得m=c,n=\.故点4的坐标为(e,1).

(9)设函数A*)=V+(a-l>f+at,若兀I)为奇函数，且函数,v=/(x)在点尸(切负灿)处的切线与直线x+y=O垂

直，则切点气沏，儿⑹)的坐标为.

答案(0,0)解析:/(*)=.13+(4—1)1+奴，.\//(工)=3/+2(0—1)%+”.又凡。为奇函数，

恒成立，即一,d+(a—l)f—at=-x3—(a—l),d—or恒成立，.*.</=1,/(x)=3.F+l,3高+1=1,即=0,火&)=0,•'・

切点P5),/U)))的坐标为(0,0).

(10)函数了=曷在点(0,一1)处的切线与两坐标轴闱成的封闭图形的面积为()

A.B.C.D.1

X-1(K+1)—(X—1)2

答案B解析:了=：s，，>'=---.百1-----=百不，•••切线方程为y+l=2(.r—0),即y

=2.1—1,令x=0,得y=-1；令y=0.得x=g,故所求的面积为表1叼=；.

(11)曲线产/一以上的点到直线l厂2=0的最短距离是.

答案小解析设曲线在点/须，%)(*)>0)处的切线与直线x-y-2=0平行，则>"|,=演=(2*-：)|,一、=20

I11—1-2|

•­=1....xo=l,yo=l,则”1，1),则曲线y—v2—Inx上的点到直线x—v—2=0的最短距离d=-j=====yl2.

*o*

【对点训练】

1.设点尸是曲线y=.F—小工+1上的任意一点，则曲线在点尸处切线的倾斜角a的取值范围为()

A.[。,如愕，n)B.厚n)C.[o,就修，北)D.9劄

2

1.答案C解析=3A—yf3t•*•y,>>-y[3,tana>-y[3,又a£[0,兀)，故ajo,[竽，兀)，故

选C.

2.函数段)=。仪在尸1处的切线方程为.

x

2.答案y=(e-l)x+2解析f(x)=e-^t又_/U)=e+l,・••切点为(1,e+l),切

线斜率A=/(l)=e-l,即切线方程为y—(e+l)=(e-l)(x-l),即y=(e-1比+2.

3.(2019.全国I)曲线y=3(f+x)e*在点(0,0)处的切线方程为.

3.答案y=3x解析y=3(2v+l)e'+3(?+A)er=3eV+3x4-1),所以曲线在点(0,0)处的切线的斜率

3

Zr=e0x3=3,所以所求切线方程为y=3工

1—21nv

4.曲线及\）=一「在点P（l,41））处的切线/的方程为（）

A.x+y~2=0B.2x+y-3=0C.3x+.y+2=0D.3x+厂4=0

1—2lnr-3+21nv

4.答案D解析因为儿t）=-x：所以〃工）二又<1）=1,且/（1）=-3,故所求切线方

程为y—1=—3（x—I）,即3x+y—4=0.

5.（2019・全国H）曲线y=2sinx+cosx在点（九，一1）处的切线方程为（）

A.x—y—n—1=0B.2x—y-2n-1=0

C.2r+y—2瓦+1=0D.x+y—兀+1=0

5.答案C解析设y=y（x）=2sinx+cosx,则/（x）=2cosx—sinx,，/（TC）=—2,，曲线在点（兀，—1）

处的切线方程为y—（-1）=一2。一兀）,即2r+y—2兀+1=0.故选C.

6.（2019•天津）曲线尸cos在点（0,1）处的切线方程为.

6.答案产一5+1解析y=-sinA-1,将x=0代入，可得切线斜率为一看所以切线方程为,一1

=-5，即y=-%+l.

7.已知Ar）=*（ex+g为奇函数（其中e是自然对数的底数），则曲线），=火的在x=0处的切线方程为.

7.答案2A—>'=0解析•.工工）为奇函数，，逐一1）+式1）=0,即e+裳一卜ae=0,解得a=l,/（x）=

（e'+卜），.\fa）=（e'+j+.r（ex—目，曲线,=危）在A-0处的切线的斜率为2,又贝0）=0,工曲线y=/（A）

在x=0处的切线的方程为2v-y=0.

8.已知曲线上一点《2,则过点P的切线方程为.

8.答案3x—3y+2=0或⑵-3厂16=0解析设切点坐标为（m,州），由“，=&'）=/，得邓=沏

=也即过点P的切线的斜率为忌又切线过点12.寺），若x/2,则总=三总解得沏=一%此时切线的斜

QQ

率为1；若3=2,则切线的斜率为4.故所求的切线方程是y—1=x—2或y—3=4（x—2）,即3x—3y+2=0或

\2x-3y—16=0.

4

9.已知函数必x)=.rlnx,若直线/过点(0,-1),并且与曲线y=/U)相切，则直线/的方程为.

9.答案y—1=0解析..,点(0,—1)不在曲线y(.v)=Aln.v上，二设切点为(松，党).又,«，/(.r)=1+

fvv)=.rolnAo,

In%・,.直线/的方程为y+l=(l+ln3)ir.・•・由”,，，一、解得沏=1,%=0.・••直线/的方程为y

1*+]=(1+111即.0,

=x—1,即x—y—1=0.

10.设函数凡r)=/G)Y-Zr+7U)Inx,曲线«r)在(1,<1))处的切线方程是()

A.5A—y—4=0B.3x—y—2=0C.x—y=0D.JC=I

10.答案A解析因为/U)=/Qk-2t+/U)lnx,所以令工=£得

x1-2+2/(i),即/U)=l.又火1)=/(§-2,所以/(习=3,所以/(1)=46)-2+/(1)=6-2+1=5.所以曲线

在点(1,川))处的切线方程为厂1=5伏-1),即5x-y-4=0.

11.我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正〃边形进行“内外夹逼”

的办法求出了圆周率兀的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一.借用“以直代曲”的近似计

算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算.设九t)=ln(l+x),则曲

线)，=危)在点(0,0)处的切线方程为,用此结论计算h】2022—卜2021之.

11.答案y=x202T解析函数4x)=ln(l+x),则/(x)=*p/(0)=1，犬0)=0,工切线方程为产x.二

ln2022—ln202l=ln(l+，a)=/(天后)，根据以直代曲，工=万念也非常接近切点x=0..•.可以将X=5舟代

入切线近似代替/(忐)，即/(忐)

12.曲线火x)=x+lnx在点(1,1)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()

A.2B-2C,2D,4

12.答案D解析/(A)=l+p则/(1)=2,故曲线_/U)=x+ln.i在点(1,1)处的切线方程为y-l=2(x

-1),即丁="-1,此切线与两坐标轴的交点坐标分别为(0,-1),Q,0),则切线与坐标轴围成的三角形的面

积为:x]x1=；,故选D.

5

14

13.已知曲线丫=??+7

(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；

(2)求曲线过点尸(2,4)的切线方程.

14

13.解析(1)：P(2,4)在曲线上，且_/=/,

・•・在点P(2,4)处的切线的斜率为y%-2=4.

，曲线在点尸(2,4)处的切线方程为)，-4=4(工一2),即4x-y—4=0.

⑵设曲线尸夫+,与过点P(2,4)的切线相切于点A(M),最+4)，则切线的斜率为,3=刖=而.

・•・切线方程为

•・,点P(2,4)在切线上，,\4=2w一押+?即京-3%+4=0,.■・君+/—4而+4=0,

.*.A^(AO+1)—4(AO+I)(XQ—1)=0,.*.(即+l)(x()—2)2=0,解得xo=-1或xo=2,

故所求的切线方程为X-y+2=0或4.Y-y-4=0.

14.设函数人］)=如一§,曲线)，=/(处在点(2,«2))处的切线方程为7%一与-12=0.

(I)求40的解析式；

(2)证明曲线兀t)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值，并求此定值.

7

14.解析(1)方程女一4)-12=0可化为)，=开一3,

b1

-

-2=

2fl2,

当x=2时，y=1.又/(1)=。+口于是＜7

〃-

+一4=

4,

(2)设P(.v0,泗)为曲线上任一点，

由y—\+，知曲线在点P(AO,如)处的切线方程为丁一和=0+4)(、—X。)，

即厂(网-己=(1+秋，-电).令x=o,得产一去

从而得切线与直线x=o的交点坐标为(o,一如.

令y=底得y=x=2xo,从而得切线与直线y=x的交点坐标为(2m,Ito).

所以点P(如加处的切线与直线汇=0,产x所围成的三角形的面积为S=｛一部2xo|=6.

故曲线y=/(x)上任一点处的切线与直线.r=0,y=x所围成的三角形面积为定值，且此定值为6.

15.(2021•全国乙)已知函数儿丫)=.1一/十四十I.

6

（1）讨论贝x）的单调性；

（2）求曲线.尸危）过坐标原点的切线与曲线产危）的公共点的坐标.

15.解析（I）由题意知«¥）的定义域为R,，。）=3/一2¥+a对于/住）=0,/=（-2）2-4