2021-2022学年沪教版九年级数学上册单元过关卷-第25章 锐角的三角比（强化篇）

2020-2021九年级上下册单元过关卷（沪教版）

第25章锐角的三角比（强化篇）

姓名:考号：分数：

（考试时间：100分钟满分：120分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的）

1.如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为。时，梯子

顶端靠在墙面上的点A处，底端落在水平地面的点5处，现将梯子底端向墙面靠近，使梯

3

子与地面所成角为A,已知sina=cos/?=M，则梯子顶端上升了（）

【答案】C

【分析】

根据梯子长分别利用三角函数的正弦定义求出CD=CEsin6与AD=A8sina,两线段作差即可.

【详解】

解：如图所示标记字母，

根据题意得AB=CE=10米，

在的E8中，加/=0=0=±

CE105

4

0CD=-X10=8,

5

一,.ADAD3

在.RtS\ABD中，sinCt-----=----

AB105

EA£)=—xl0=6,

5

EWC=CD-AD=8-6=2.

故选择C.

【点睛】

本题考查三角函数的定义，解直角三角形，掌握正弦与余弦的平方关系以及锐角三角函数的

定义是解题关键.

2.如图，点£是正方形A8CO内一点，点E到点A,8和。的距离分别为1,2及，M，

延长AE与BC相交于点F，则EF的长为（）

810

A.3B.4C.一D.—

33

【答案】D

【分析】

将绕点A顺时针旋转90。得到AABG，作垂足为M，根据勾股定理逆定

理得到AEGB是直角三角形，求出MB=2,=利用AABM回△AFB得到AF,

可得结论.

【详解】

解：作垂足为A7，将△"）£绕点A顺时针旋转90°得到AABG,连接EG.

团四边形ABC。为正方形，

团AB=AD，N8AP=90°,

0AADE绕点A顺时针旋转后得到AABG，

I3NE4G=ND4B=9O。，DE=BG=回,

团AE—AG—1,

QEGVAE=AG?=亚，ZAEG=ZAGE=45°

0EG2+EB2=(72)2+(272)2=10.BG2=(V10)2=10.

^BG2=EG2+EB2^

ONBEG=9()。，

团NBEM+NAEG=90°，

B1ZBEM=90°-ZAEG=45°,

0EB=26,

团ME=MB=EB-sin450=2,

MM=4E+EM=l+2=3,

在RSABM中,AB7AM?+BM?=屈，

在AABM和△AFS中，NBAM=NBAF，ZAMB=ZABF=90°,

团AABM回△AE6，

ABAM

团---=----f

AFAB

c屈3

AFV13

0EF=AF—AE=-----1=——,

33

故选择：D.

【点睛】

本题考查了解直角三角形和相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，勾股定理与勾股定理

逆定理，解题关键是通过旋转构建直角三角形，利用勾股定理与逆定理，相似三角形性质和

锐角三角函数求解是解题关键.

3.如图，平面直角坐标系中，四边形。ABC为正方形，点E(9,4)为边AB上一点，点。

为边0C上一个动点，连接。E,以。E为对称轴折叠正方形，点8,C的对应点分别为F,G,

当点F落到边0A上时，点。的坐标为().

A.(0,A/3)B.(0,7)C.(0,572)D.(0,6)

【答案】B

【分析】

由折叠的性质得出8£=EF,由勾股定理求出AF,由锐角余弦值求出。。即可得出结论.

【详解】

解：如图，

团四边形A0C8是正方形，且£(9,4)

骷£二4,4。二9,

团。08=869,

团哙EF=9-4=5

在月的EF中，AF=ylEF2-AE2=752-42=3

^FO=AO-AF=9-3=6

由折叠知，ZGFE=ZB=90°,ZG=ZBCD=90°

0Z1+Z2=9O°

又N2+N3=90。

团N1=N3

4/73

0tanZ3=----

AE4

团tan/l=也-O--H-----3

OF64

回。"=一9

2

设点D的坐标为(0,m)

^\OD=m

9

0CD=Z)G=9—m,DH=m—

2

@/DHG=/FH0

团N4=N1=N3

4

0cosZ4=cosZ1=cosZ3=—

5

9-w_4

解得，机=7

经检验，加=7是原方程的根，

所以,0D=7

0D(0,7)

故选：B

【点睛】

本题主要考查了图形的翻折变换和正方形的性质，要会根据点的坐标求出所需要的线段的长

度，灵活运用勾股定理.

4.如图为东西流向且河岸平行的一段河道，点A,8分别为两岸上一点，且点5在点A正

北方向，由点A向正东方向走〃米到达点C,此时测得点5在点C的北偏西55。方向上，则

河宽A3的长为()

入北

河岸BA东

河岸A

A.atan55°米

【答案】D

【分析】

根据题意求出M8C的度数，再利用三角函数求解即可.

【详解】

解：如图，回点8在点C的北偏西55。方向上,

H3BCD=55°,

回该河道为东西流向且与河岸平行，点8在点A正北方向,

EL4BEWC,

ELABECD,

00ABC=55°,

回点A向正东方向走a米到达点C,

[2L4C=a,

“八a

0AB------

tan55

故选D.

【点睛】

本题考查了解直角三角形的实际应用，涉及到三角函数值的问题，解决本题的关键是读懂题

意，能在图形中找出相应的角或线段，牢记三角函数公式等，考查了学生应用数学的意识与

能力.

5.如图，菱形48CD中，点E,F分别在边A8,8c上.将菱形沿EF折叠，点8恰好落在边

上的点G处，若NB=45°,AE=垃,8E=2&，则cosNAGE的值是（）

A.巫B.恒

44

C.旦D.亚

72

【答案】B

【分析】

由折叠的性质得：GE=BE=2垃,由平行线的性质得出团HAE=囱8=45。，得出mEH是等腰直角

三角形，AH=EH=1,在RtQGEH中，由勾股定理求出GH,再由三角函数定义即可得出结果.

【详解】

解：过E作E”B4D交DA延长线于H,如图所示：

贝ijEH^AH,

由折叠的性质得：GE=BE=2V2，

13四边形A8CD是菱形，

04D13SC,

02HAE=EIB=45°,

回幽EH是等腰直角三角形，

V2

QAH=EH=—AE=1,

2

在RtHGEH中,由勾股定理得：#+G”2=（20）2,

解得：GH=±V7（负值舍去），

团GH=V7，

GHV7V14

0cosNAGE

~EG~2^2~^~

故选：B

【点睛】

本题考查了翻折变换的性质、菱形的性质.等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、三角

函数等知识；熟练掌握翻折变换的性质是解题的关键.

6.如图，把一张长方形纸片A8C。沿EF折叠，使其对角顶点C与A重合，点。落在点G

处，若长方形的长为6,当石尸为等边三角形时，则线段OG的长为（）

G

4n咨0

BC

A.3B.4c.3V2D.2A/3

【答案】D

【详解】

如图，过点G作GH_LAE＞于点H,由折叠可得，

ZGAF=NC=90°,ZAGE=ZADC=90°,又回^AEF是等边三角形，0ZEAF=600.0

ZGAE=30°,ZAEG=60°.又由折叠可得£＞E=GE,0ZADG=-ZAEG=30°.0

2

ZGAD=ZGDA.@GA=GD.EAH=DH=-AD=3.0cosZGPH=—=-,

2DG2

0^-=—.QDG=26

DG2

7.如图，在nABCD中，NZM5=60。，AB=6,P为边CD上一动点，则+的

最小值是（）

DPC

AR

A.2B.2^3C.373D.4

【答案】C

【详解】

如解图，过点P作尸£_LA£)，交AD的延长线于点E,过点B作8b_LA£＞于点F,0

AB//CD,I3NEOP=NZ)AB=60°，0sinZ£Z?P=—=—.^EP=—PD，0

PD22

n

PB+—PD=PB+PE，回当8、P、E三点共线且BE_LAD时，PB+PE有最小值，最

2

小值为BF,HsinA=—=—.回8/=36，I3P8+正PO的最小值为36•

AB22

8.如图，正方形A8C。中,点£、F分别在线段BC、8上运动，且满足回EAF=45。，AE.AF

分别与B。相交于点M、M则下列说法中错误的是（）

A.若DF=2BE,则EF=3BEB.若AB=2,则点A到线段EF的距离为2

C.若tan^BAE=—,则ta/?EIDAF=—D.若B£=2,DF=3,贝

23

【答案】D

【详解】

【解答】如解图，把M绕点A顺时针旋转90。得到SA8H,由旋转的性质得，BH=DF,AH

=AF,^BAH=QDAF,03EAF=45°,WAH=^BAH+^BAE=^DAF+^BAE=90',-^EAF=45°,

fAF=AH

a3EAH=ElEAF=45°,在04EF和04EH中，｛NEAF=NEAH,^AEF33AEH(SAS),0EH=EF,0S£

[AE=AE

+BH=BE+DF=EF,SDF=2BE,SEF=3BE,故A正确；过点4作AGBEF于点G,(3GWGE=a48£

ZABE=ZAGE

=90°,在附BE和EMGE中，《/AEB=/AEG,^ABE^AGE(AAS),MG=A8=2,团点A至lj

,AE=AE

线段讦的距离为2,故B正确；址。的£=黑=；

设BE=m,则48=2m,团CE=m,设

222222

DF=x,则CF=2m—x,EF=BE+DF=m+x1^1CF+CE=EF90(2m-x)+m=(m+x),取

予，的WAF=.=MV，故C正确;螃=2,DF=3,®EF=BE+DF=5,BC=CD

2m

=n,0CE=n-2,CF=n-3,SEF2=CE2+CF2,1325=(n-2)2+(n-3)2,回"=6(负值舍去)，EMG

=6,BSMEF=；X6X5=15,故。错误.

9.如图，0ABC中，4B=8,AC=6,酎=90。，点。在S4BC内，且。8平分S4BC,DC平分EL4CB,

过点D作直线PQ,分别交AB、AC于点P、Q,若MPQ与MBC相似，则线段PQ的长为（）

66

【答案】B

【分析】

当PQa8c时，EMPQEU34BC,如图1,根据角平分线的定义得到13P8D=g）CBD,根据等腰三角

形的性质得到P8=PD,同理，DQ=CQ,设AP=4x,AQ=3x,根据勾股定理得到PQ=5x,

根据题意列方程即可得到结论；当EMPQ=MCB时，S4PQmEWCB,由勾股定理得到BC=10,

过。作。E0A8于E,D用AC于F,DGEIBC于G,根据角平分线的性质得到DE=DF=DG,根

据三角形的面积公式得到DE=6+8T0=2,四边形4EDF是正方形，推出

2

PEDFAC338

0PfD00DFQEBG4B,求得——=--=——=-,得至ljPE=-,FQ=一，根据勾股定理即

DEFQAB423

可得到结论.

【详解】

解：当PQE1BC时，SAPQ^SABC,如图1,

00PBD=13CBD,

BPDSBC,

团团PD8=团。8C,

品]P8D=胪DB,

团P8=PD,

同理，DQ=CQ,

能WPQ=M8C,

AC63

团tan团2PQ=tanlMBC=------=—=—,

AB84

团设AP=4x,AQ=3x,

回PQ=5x,

团P8=PD=8-4x,PQ=CQ=6-3x,

08-4x+6-3x=5x,

7

取=一,

6

35

团PQ=5x=—；

6

当MPQ=MC8时，^APQ^ACB,

财8=8,AC=6,04=90°,

团BC=10,

过。作。的8于E,DF^AC于F,DG0BC于G,

团。8平分凶8C,DC平分MC8,

WE=DF=DG,

团5财8C=-DE(AB+AC+BC)=-AB^ACf

22

6

团D£=+8T°=2,四边形AEDF是正方形,

2

M甩AP,

团团EPD=(Z)FDQ,

同理团EDP=[Z1FQ。，

^PED^DFQWCAB,

0-P-E=-D-F---A-C—3

DEFQAB4

38

回PE=—，FQ=一,

23

回PD=>JPE2+DE2=Jg）2+22=1.DQ=^DF2+FQr=^22+（|）2=y,

51035

BPQ=PD+DQ——+—=一,

236

35

综上所述，若附PQ与射BC相似，则线段PQ的长为一，

6

故选：8.

【点睛】

本题考查了相似三角形的性质，勾股定理，三角函数的定义，角平分线的性质，正方形的判

定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键.

10.如图，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端5出发，先沿水平方向向

右行走20米到达点C,再经过一段坡度为，=1:2.4,坡长为26米的斜坡8到达点0,

然后再沿水平方向向右行走40米到达点E（A,B,C,O,E均在同一平面内）.在E处测得

建筑物顶端A的仰角为24°,则建筑物A3的高度约为（）米（结果精确到1米）（参

考数据：sin24°«0.41,cos24°a0.91,tan24°=0.45）

A.27B.28C.29D.30

【答案】B

【分析】

延长AB交EO的延长线于b，作CGJ_七尸于G,首先解直角三角形RtACDG.求出CG,

OG,再根据锐角三角函数构建方程即可解决问题.

【详解】

解：如图，延长AB交E0的延长线于尸，作CG_LEF于G,

由题意得：FG=8C=20米，£处=40米，BF=CG，

在RtZMSDG中，i=1:2.4,CO=26米，

.♦.3b=CG=10米，G£）=24米，

在RsAFE中，ZAFE=90°,FE=FG+GD+DE=84K，NE=24。，

AF=F£.tan24°®84x0.45=37.8（米），

:.AB=AF-BF=31.8-10^28（米）；

即建筑物AB的高度为28米：

故选：B.

【点睛】

本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角、坡度坡角问题，根据题意作出辅助线，构造

出直角三角形是解答此题的关键.

11.如图，在三角形纸片A8c中，点。是BC边上的中点，连接AD,把蜘8。沿着A。翻折,

得到她ED,连接CE,若8c=6,tanE!EC8=@,则EI4EC的面积为（）

A.72B.2C.军D.275

4

【答案】D

【分析】

如图，连接BE,过点。作D/V®EC,垂足为M,由中点定义可得BD=CD,由折叠性质可得

BD=DE,ADSBE,根据等腰三角形的性质及三角形内角和可得08£C=90。，即可证明ECIWD,

可得SMEC=SM£C,根据等腰三角形"三线合一"的M£=MC,根据tan回任:8=吏■列方程可求

2

出DM,MC的值，根据三角形面积公式即可得答案.

【详解】

如图，连接BE,过点D作D/V®£C,垂足为M,

团点。是8c边上的中点，BC=6,

EIBD=CD=3,

由折叠得，BD=DE,ADSBE,

回DE=DB=DC,

WBED=^\EBD,EIDFC=0DCE,

^\BED+SDEC=BEBD+SDCE,

0l3BED+l3EBD+EIDfC+0DCF=180°,

EEBEC=90°,即BEEIEC,

EE®。，

回S[?14£C=SQ£C，

在团DEC中，DE=DC=3,DM0EC,

团ME=MC,

加DM

团tan团MCD=上=——,

2MC

设MC=2m,则D/V/=&m,

222

由勾股定理得，DM+MC=DCf即4m2+5m2=32,

解得：m=l,

BDM=y/5.MC=2,

故选：D.

【点睛】

本题考查折叠的性质、等腰三角形的性质及三角函数的定义，熟练掌握相关性质及定义是解

题关键.

12.为积极参与全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如

图.小明同学为测量宣传牌的高度AB,他站在距离教学楼底部E处6米远的地面C处，测

得宣传牌的底部B的仰角为64。，同时测得教学楼窗户。处的仰角为27。（48、D、E在同

一直线上）.然后，小明沿坡度i=l：L5的斜坡从C走到F处，此时。F正好与地面CE平

行，若小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为54。，则宣传牌的高度A8高是（）米

（参考数据:sin64°=0.90,cos640=0.44,tan64°=2.05,sin270=0.45,cos27°=0.89；tan27°

=—,sin54°=0.80,cos54°=0.59,tan540=1.38,结果精确到0.1米）.

2

【答案】B

【分析】

过点F作团CE于H.则四边形FHED是矩形，在RtEICOE中，求出DE,AB=AD+DE-BE,

求出AD、BE、DE即可解决问题.

【详解】

解：过点F作刖］CE于H.

SFD//CE,

QDF//HE,

BFH//DE,0FHF=9O0,

回四边形FHED是矩形，则FH=DE,

在RtSCDE中，DE=CE・tanEIDCE=6xtan27°=3（米）,

0FH=D£=3（米）.

此F的坡度为1:1.5,

回在月的FC”中，CH=1.5FH=45（米），

BEH=DF=10.5（:米），

在RKMDF中，AD=gtanEMFD=10.5xl.38=14.49,

在/?的8CE中，BE=CE・tan（38CE=6xtan64°=12.3（米），

QAB=AD+DE-8£=14.49+3-12.3=5.2（米），

答：宣传牌AB的高度约为5.2米，

【点睛】

本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，解直角三角形等知识，解题

的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)

13.如图，在矩形ABCO中，E是BC边上一点，44皮＞=9()°,/后4。=30°,尸是4。边

的中点，EF-4cm,则BE=cm.

【答案】6

【分析】

先利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解A。，再利用锐角三角函数依次求解

AE,BE即可得到答案.

【详解】

解：•.•乙4瓦>=90°,F是边的中点，E尸=4cm，

AD=2EF=8,

-ZDAE^30°,

AE=cos3Q°xAD=Sx—=46,

2

矩形ABC。，

：.AD//BC,ZABE=90°,

：.ZAEB=NDAE=30。,

BE=AE»cos30°=4>/3x^^=6.

2

故答案为：6.

【点睛】

本题考查的是矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，锐角三角函数的应用,

掌握锐角三角函数的应用是解题的关键.

14.如图，小明与小华利用三角板测量教学楼前雕塑A8的高度.小明在二楼找到一点C,

利用三角板测得雕塑顶端A点的仰角为30。，底部B点的俯角为45。；小华在五楼找到一点

D,利用三角板测得A点的俯角为60。.已知C。为10米，则雕塑AB的高度是

.（V2«1.414（\/3®1.732>结果精确到0.1米）.

【答案】6.8米

【分析】

利用题目中的仰俯角将其转化为题目直角三角形的内角，分别在RtSACE中和Rt^BCE中求得

4c和8E的长，两者相加即为题:塑的高.

【详解】

解：过点C作CE财8于£

团团FO4=60°,MCE=30°

回MDC=90°-60°=30°,H4CD=90o-30o=60°,

团团C4D=180°-30°-60°=90°,

0CD=1O,

1

04C=—CD=5.

2

在Rt^ACE中，

的AEC=90。，04CE=3O°,

15

ME二一AC-，

22

CE

^lcosW\CE=---,

AC

sh

^CE=AC^cos^ACE=5xcos30°=—,

2

在Rt^BCE中，

团团8c£=45°,

团团C8E=90°-团8CE=45°,

团团8CE/CBE,

0BE=Cf=—,

2

5s/s

B48=AE+BE=（一+=）=6.8（米）.

22

所以，雕塑AB的高度约为6.8米，

故答案为6.8米.

【点睛】

本题考查了解直角三角形的应用，解决此类题目的关键是正确的将仰俯角转化为直角三角形

的内角并用解直角三角形的知识解答问题.

15.如图，已知圆锥的底面半径是2百，母线长是6百.如果A是底面圆周上一点，从点

A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，则这根绳子的最短长度是.

【答案】18

【分析】

连接AC,过8作BD0AC于D,设圆锥的侧面展开图扇形的圆心角M8C为利用弧长公式

可求出n的值，根据两点间线段最短可得AC为这根绳子的最短长度，根据等腰三角形的性

质，利用回CBD的正弦值求出AC的长即可得答案.

【详解】

如图，连接AC,过8作BDMC于D,设圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为".

团两点间线段最短，

她C为这根绳子的最短长度，

团圆锥的底面半径是2百，

0AC=2万x2百=46定，

回空冷叵四百万，

180

解得：n=120°,

0B£X?L4C,BC=AB,

11

团团C8D=—M8G=60°,CD=—AC

22f

0CD=BC-sin6O°=60*—=9,

2

[2L4C=2CD=18,

故答案为：18

【点睛】

此题考查了圆锥的计算、等腰三角形的性质及特殊角的三角函数值，熟练掌握圆锥的底面圆

的周长和扇形弧长相等并熟记特殊角的三角函数值是解题关键.

16.如图，四边形ABC。中，AB=AT>=4，BC=CD=->/3,点E是AO边上一点,

3

CE//AB,连接80、CE交于点F，若NA3£>=60°,则线段AE的长为.

A

D

C

Q

【答案】-

3

【分析】

由等边三角形的判定定理可得为等边三角形，连接AC交8D于点。，由题意可

证AC垂直平分8D，可得出NB4O=NZMO=30°,再由CE〃AB可得

ZACE=NBAO,即可推出AE=CE,可证NODC=30°，即可地NEE>C=90。，再根

据勾股定理列出方程即可求出线段AE的长.

【详解】

解：回AB=A£),ZABD=60°.

回△回£＞是等边三角形，

同ZR4D=60。，

0CEHAB，

回NCE£)=NB4Q=60。.

连接AC交BD于点。，

国AB=AD，BC=DC,

CMC垂直平分BD,

团/849=〃4。=30。.

◎是等边三角形，AB=4,

0AD=BD=AB=4，

团BO—OD=2，

SCE//AB,

^ZACE^ZBAO.

团ZE4c=NACE,

BAE=CE^x,

0DE=AD—AE=4—x,

在R也Rt^DOC中,

cosZ^C=222=V3

CDy2.

0Z6）Z）C=30%

0ZEDC=ZBDE+ZODC=90°，

在Rt^EDC中,ED2+DC2=EC2，

0（4-X）2+.百）=%2,

8

0x=—.

3

8

回AE的长为一.

3

Q

故答案为：—.

3

【点睛】

本题考查了等边三角形的性质和判定，勾股定理，锐角三角函数，熟练运用勾股定理列出方

程是本题的关键.

17.如图，某轮船以每小时30海里的速度向正东方向航行，上午8：00,测得小岛。在轮

船的北偏东45。方向；上午10：00,测得小岛。在轮船的北偏西30。方向，则轮船在航行中

离小岛最近的距离约为海里（结果保留根号）.

AB

［答案】（90-30^）

【分析】

过C作CD0AB于D,由朋8=45°,姐CD=30°可求AD=8,BD=—CD,由AB=CD+巨CO

33

=60,求出CD即可.

【详解】

解：过C作CDELAB于。，

004CD=45°,BBCD=30°,

[?WD=CDxtan45o=CD,BD=CDxtan30°=—CD

3

h

BAB=AD+DB=CD+—CD=30x（10-8）=60,

3

60=30（3_G）=90_3OG

团CD二J3',，

1+—

3

团轮船在航行中离小岛最近的距离约为（90--306）海里

故答案为（90-306）.

C

/:\

/:\

✓:X

」:\

/\\

45T：敕

、L\

k-------------------------3_________

ADB

【点睛】

本题考查解宜角三角形应用，掌握方位角，特殊角锐角正切值，二次根式运算，分母有理化

是解题关键.

18.已知：在矩形ABCD中，AB=3,BC：=5,点E在。。上，将矩形沿AE折叠，使点

。落在BC边上b处，贝hanND4E=——；点G在5E上，将矩形沿AG折叠，使点8

落在A尸上点“处，延长G”交AE于M,连接则MF=_____.

_________,D

6GFc

【答案】g亚

【分析】

第一空：根据折叠和矩形ABCD，可求出8F,在放AC£F中,根据勾股定理求出EF的值,

即DE的值，又已知A8=3,可求tan/DAE.

第二空：根据折叠，可得AH和"F,证明△AHMs^AFE,求出的值，在RMMHF

中，根据勾股定理求出MF的值.

【详解】

由折叠可知AE=40=5，

QAB=3,

0BF^>jAF2-AB2=V52-32=4-CF=BC-BF=5-4=1,

设DE=x,则所=x,EC=3-x,

由勾股定理得X2=（3—X『+12,

解得x=2，

3

5

®tanNDAE=—=-'

53

设BG=y,则GH=y,GF=4—y,

3

由勾股定理得V+2?=（4-y）9解得y=-.

S）GH±AF,EF1AF'

0HM//EF,

0/\AHM^/\AFE,

HMAH

El---------------,

EFAF

HM_3

回蓝--M，HM=1，

3

【点睛】

本题主要考查了折叠的性质、三角函数、勾股定理和相似三角形的相关知识.平行于三角形

一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.

三'解答题（本大题共6小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）

19.如图1是某中型挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成，图2是共侧面结构示

意图（MN是基座，AB是主臂，8c是伸展臂），若主臂A8=4m,主臂伸展角团MA8的范围

是3O°SI3/VMB46O°,伸展臂伸展角EIABC的范围是45*加8在105°..

B

■盗鼻

图1图2

（1）当回/VMB=45。时，伸展臂8c恰好垂直并接触地面，求伸展臂BC的长；

（2）题（1）中BC长度不变，点A水平正前方5m处有一土石，该挖掘机能否实施有效挖

掘？请说明理由.

【答案】（1）伸展臂8c的长为20m；（2）该挖掘机能实施有效挖掘，理由见解析.

【分析】

（1）根据题意画出图形，可得附BC是等腰直角三角形，即可得出8C的长；

（2）根据主臂伸展角EI/VM8和伸展臂伸展角的范围求出伸展到最远时47的长度即可

得出结果.

【详解】

0BC=/lB»sin45o=4x—=2，

2

答：伸展臂BC的长为20m；

（2）该挖掘机能实施有效挖掘,理由如下:

如图：

B

CDMA

由题意得，SMAB=30",MBC=105。时，伸展臂伸展的最远，过点8作BDOMN交MM的延

长线于D,

在RtSABD中，0M48=3O°,

MD=A8-cos300=4x正=2后，

2

03MA8=3O°,8D0MM,

EEL48D=60°,

0EMeC=lO5°,

03C8D=45°,

在RtS\CBD中，13c8。=45°,8c=20m,

回CD=8C・cos45°=2行=2(m),

MC=CD+AD=2+26>5,

团该挖掘机能实施有效挖掘.

【点睛】

本题考查了解直角三角形的应用、含30。角的直角三角形的性质、等腰直角三角形的性质等

知识；正确解直角三角形是解题的关键.

20.如图所示，在某海域，一艘指挥船在C处收到渔船在B处发出的求救信号，经确定，

遇险抛锚的渔船所在的8处位于C处的南偏西45。方向上，且BC=60海里；指挥船搜索发

现，在C处的南偏西60。方向上有一艘海监船A,恰好位于8处的正西方向.于是命令海监

船A前往搜救，已知海监船A的航行速度为30海里/小时，问渔船在B处需要等待多长时

间才能得到海监船A的救援？（结果保留根号）

东

【答案】（"—及）小时

【分析】

延长A8交/WN于D,则A80CD于点。，运用勾股定理，通过AD-BD即可以求出A8的长度,

进而求出所需的救援时间.

【详解】

延长AB交MN于D,则ABSCD于点D.

SBD=CD.

在RtSBDC'P,

13cos团8。。=,8c'=60*每里，

BC

r“一CDV2

即1ncos45=-----=------,

602

解得CD=3072海里，

I38D=CD=30夜海里，

在RffiLADC中，

AD

0tan(?L4CD=-----

CD

AD广

即tae燕=5

解得4。=30指海里，

B1AB=AD-BD,

蜘8=30后一30后=30（痣一夜）海里.

回海监船A的航行速度为30海里/小时,

则渔船在8处需要等待的时间为一'2）=（、为_立）小时，

【点睛】

本题主要考查了解直角三角形的实际应用，理解题意通过解直角三角形求解即可.

21.如图，为测量直立在建筑物A3上的广告牌AC的高度，小莉在地面上。的处测得A

的仰角为31。，然后她沿正对建筑物方向前进了10m到达E处，此时测试A、C的仰角分别

为45°、52°,求广告牌AC的高度.（参考数据：sin31°M）.52,cos31°M）.86,tan3TH0.60,

sin52°«0.79,cos52°®0.62,tan52°«1.28.）

【答案】4.2m

【分析】

由锐角三角函数定义得BE=AB,再由BD-BE=DE=10m,得解得

33

AB=15m,则8E=15m,然后由锐角三角函数定义求出BC的长，即可解决问题.

【详解】

,AB

解：在RffiWBD中，00=31°,tanD=——=ton310=0.6,

BD

AB5

m8。=---=—AB,

0.63

*AB

在中u，04£8=45°,tan^AEB=——=tan45°=l,

BE

S\BE=AB,

SBD-BE=DE=10m,

5

Q—AB-AB=10m,

3

解得：AB=15m,

SBE=15m,

在RtHCBE中，回CE8=52°,tan^CEB=——=1.28,

BE

0BC=1.28BE=19.2(m),

BAC=BC-AB=19.2-15=4.2(m),

答：广告牌AC的高度为4.2m.

【点睛】

本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数定义，

利用数形结合的思想解答问题.

22.王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树

AB的高度，他在点C处测得大树顶端A的仰角为45°,再从C点出发沿斜坡走2面米到

达斜坡上。点，在点D处测得树顶端A的仰角为30°,若斜坡CF的坡比为i=l:3(点

E,C,H在同一水平线上).

(1)求王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度；

(2)求大树A8的高度(结果保留根号).

【答案】⑴2米:(2)倒+4石)米

【分析】

(1)作DH0CE于H,解Rt^CDH,即可求出DH；

(2)延长AD交CE于点G,解RfiSGDH、Rt^CDH,求出GH、CH,得至GC,再说明