数学（选修23）练习8.3正态分布曲线活页作业18

活页作业(十八)正态分布曲线一、选择题1．关于正态分布的分布密度曲线的叙述：①曲线关于直线x＝μ对称，并且曲线在x轴上方；②曲线关于y轴对称，且曲线的最高点的坐标是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,\r(2π)σ)))；③曲线最高点的纵坐标是eq\f(1,\r(2π)σ)，且曲线无最低点；④当σ越大，曲线越尖陟，σ越小，曲线越扁平．上述说法正确的是()A．①和② B．②和③C．④和③ D．①和③解析：曲线的对称轴为x＝μ，不一定是y轴，故②错；σ越大，曲线越扁平，σ越小，曲线越尖陡，故④错．答案：D2．某小区有1000户居民，各户每月的用电量近似服从正态分布N(300,102)，则用电量在320kW·h以上的户数约为(参数数据：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝95.44%，P(μ－3σ＜ξ＜μ＋3σ)＝99.74%)()A．17 B．23C．34 D．46解析：P(ξ＞320)＝eq\f(1,2)×[1－P(280＜ξ＜320)]＝eq\f(1,2)×(1－95.44%)＝0.0228，∴用电量在320kW·h以上的户数约为0.0228×1000＝22.8≈23.故选B．答案：B3．设随机变量X服从二项分布X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(1,2)))，则函数f(x)＝x2＋4x＋X存在零点的概率是()A．eq\f(5,6) B．eq\f(4,5)C．eq\f(31,32) D．eq\f(1,2)解析：依题意，由函数f(x)有零点得Δ＝16－4X≥0，X≤4，因此所求的概率等于1－P(X>4)＝1－P(X＝5)＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))5＝eq\f(31,32)，故选C．答案：C4．若随机变量X服从正态分布N(0,1)，则ξ在区间(－3,3)上取值的概率约等于()A．0.683 B．0.954C．0.997 D．0.317解析：μ＝0，σ＝1，区间(－3,3)为特殊区间(μ－3σ，μ＋3σ)，故其概率约为0.997.答案：C二、填空题5．如果随机变量ξ～N(－1，σ2)，且P(－3＜ξ≤－1)＝0.4，那么P(ξ≥1)＝________.解析：P(ξ≥1)＝P(ξ≤－3)＝0.5－P(－3＜ξ≤－1)＝0.5－0.4＝0.1.答案：0.16．设随机变量ξ服从正态分布N(3,4)．若P(ξ＜2a－3)＝P(ξ＞a＋2)，则a的值为________解析：∵随机变量ξ服从正态分布N(3,4)，且P(ξ＜2a－3)＝P(ξ＞a＋2)∴2a－3与a＋2关于x＝3对称∴2a－3＋a∴3a∴a＝eq\f(7,3).答案：eq\f(7,3)三、解答题7．若X～N(3,1)，求P(4＜X＜6)．解：P(0＜X＜6)＝P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝0.997，P(2＜X＜4)＝P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.683.∵P(0＜X＜6)－P(2＜X＜4)＝0.314，∴由对称性知2·P(4＜X＜6)＝0.314.∴P(4＜X＜6)＝0.157.8．某厂生产的T型零件的外直径X～N(10,0.22)．一天从该厂上午、下午生产的T型零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为9.52和9.98.试分析该厂这一天的生产状况是否正常．解：∵X～N(10,0.22)，∴μ＝10，σ＝0.2.∴μ－3σ＝10－3×0.2＝9.4，μ＋3σ＝10＋3×0.2＝10.6.∵9.52∈(9.4,10.6)，9.98∈(9.4,10.6)，∴该厂全天的生产状况是正常的．一、选择题1．设随机变量ξ服从正态分布N(2,9)．若P(ξ＞c＋1)＝P(ξ＜c－1)，则c等于()A．1 B．2C．3 D．4解析：∵ξ～N(2,9)，∴P(ξ＞c＋1)＝P(ξ＜3－c)．又∵P(ξ＞c＋1)＝P(ξ＜c－1)，∴3－c＝c－1.∴c＝2.答案：B2．以Φ(x)表示标准正态总体在区间(－∞，x)内取值的概率．若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则概率P(|ξ－μ|＜σ)等于()A．Φ(μ＋σ)－Φ(μ－σ)B．2Φ(1)－1C．Φeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－μ,σ)))D．2Φ(μ＋σ)解析：P(|ξ－μ|＜σ)＝P(－σ＜ξ－μ＜σ)＝Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1＜\f(ξ－μ,σ)＜1))＝Φ(1)－Φ(－1)＝2Φ(1)－1.答案：B二、填空题3．若函数f(x)＝eq\f(1,σ\r(2π))e－eq\s\up10(\f(x－12,72))，则f(0)，f(1)，f(3)按由小到大排序应为________________．解析：由f(x)知μ＝1,2σ2＝72，∴σ＝6.f(x)的对称轴是x＝1，∴f(3)<f(0)<f(1)．答案：f(3)<f(0)<f(1)4．已知正态分布N(μ，σ2)的密度曲线是f(x)＝eq\f(1,\r(2π)σ)e－eq\s\up10(\f(x－μ2,2σ2))，x∈R.给出以下四个命题：①对任意x∈R，f(μ＋x)＝f(μ－x)成立；②如果随机变量X服从N(μ，σ2)，且F(x)＝P(X＜x)，那么F(x)是R上的增函数；③如果随机变量X服从N(108,100)，那么X的期望是108，标准差是100；④随机变量X服从N(μ，σ2)，P(X＜1)＝eq\f(1,2)，P(X＞2)＝p，则P(0＜X＜2)＝1－2p.其中，真命题的序号是________________(写出所有真命题的序号)．解析：画出正态分布N(μ，σ2)的密度曲线如图．由图可得①图象关于x＝μ对称，故①正确；②随着x的增加，F(x)＝P(X＜x)也随着增加，故②正确；③如果随机变量X服从N(108,100)，那么X的期望是108，标准差是10；④由图象的对称性，可得④正确．答案：①②④三、解答题5．在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从正态分布，即ξ～N(100,100)．已知满分为150分．(1)试求考试成绩ξ位于区间(80,120]的概率；(2)若这次考试共有2000名考生参加，试估计这次考试及格(不小于90分)的人数．解：(1)由ξ～N(100,100)知，μ＝100，σ＝10.∴P(80＜ξ≤120)＝P(100－20＜ξ≤100＋20)＝0.954，即考试成绩位于区间(80,120]的概率为0.954.(2)∵P(90＜ξ≤110)＝P(100－10＜ξ≤100＋10)＝0.683，∴P(ξ＞110)＝eq\f(1,2)(1－0.683)＝0.1585.∴P(ξ≥90)＝0.683＋0.1585＝0.8415.∴及格人数为2000×0.8415＝1683.6．从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数eq\o(x,\s\up6(－))和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)．(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数eq\o(x,\s\up6(－))，σ2近似为样本方差s2.①利用该正态分布，求P(187.8<Z<212.2)；②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8，212.2)的产品件数，利用①的结果，求E(X)．附：eq\r(150)≈12.2.若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜Z＜μ＋σ)＝0.683，P(μ－2σ＜Z＜μ＋2σ)＝0.954.解：(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数eq\o(x,\s\up6(－))和样本方差s2分别为eq\o(x,\s\up6(－))＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102