2024河南中考数学专题复习第三部分 题型一 综合训练 课件

题型一二次函数性质综合题综合训练针对22题二次函数性质综合题1.如图，已知二次函数y＝ax2＋bx(a≠0)的图象经过点A(－1，5)，B(2，－4)．(1)求二次函数的解析式；第1题图解：(1)∵二次函数y＝ax2＋bx(a≠0)的图象经过点(－1，5)，(2，－4)，∴解得∴二次函数的解析式为y＝x2－4x；(2)若点M(x1，y1)，N(x2，y2)都在此抛物线上，且0＜x1＜1，2＜x2＜3.比较y1与y2的大小，并说明理由；第1题图(2)y1>y2，理由如下：∵y＝x2－4x＝(x－2)2－4，且a＝1＞0，∴当x＞2时，y随x的增大而增大，当x＜2时，y随x的增大而减小，∵0＜x1＜1，2＜x2＜3，∴1＜2－x1＜2，0＜x2－2＜1，结合函数图象可知，当抛物线开口向上时，距离对称轴越远，函数值越大，∴y1＞y2；(3)点P的坐标为(n，－3)，点Q的坐标为(n＋3，－3)，若线段PQ与该函数图象只有一个交点，直接写出n的取值范围．【解法提示】∵点P的坐标为(n，－3)，点Q的坐标为(n＋3，－3)，∴PQ∥x轴，PQ＝n＋3－n＝3，当y＝－3时，即x2－4x＝－3，解得x1＝1，x2＝3，∴直线y＝－3与抛物线的两个交点分别为(1，－3)，(3，－3)，∴这两个交点之间的距离为3－1＝2，第1题图如解图①，当点Q在抛物线上时．可得n＋3＝1或n＋3＝3，解得n＝－2或n＝0；如解图②，当点P在抛物线上时，可得n＝1或n＝3，由解图可知，当－2≤n＜0或1＜n≤3时，线段PQ与抛物线恰有一个交点．第1题解图①第1题解图②(3)－2≤n<0或1<n≤3.2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－3的图象交x轴于A，B两点，交

y轴于点C，已知A点坐标为(－2，0)，且a＋b＝0，连接AC.(1)求抛物线的解析式，并直接写出其顶点的坐标；第2题图解：(1)由a＋b＝0得b＝－a.∴抛物线的解析式为y＝ax2－ax－3，∵点A在抛物线上，∴把A(－2，0)代入得0＝(－2)2a＋2a－3，解得a＝

，即抛物线的解析式为y＝

x2－

x－3，顶点坐标为(，－

)；(2)将线段AC向右水平移动m个单位长度，若它与抛物线有交点，求出m的取值范围．(2)设点C关于对称轴对称的点为E，把y＝－3代入y＝

x2－

x－3，整理得x2－x＝0，解得x＝0或x＝1，即点E的坐标为(1，－3)．解方程

x2－

x－3＝0，解得x＝－2或x＝3，即点B的坐标为(3，0)．如解图，当AC不动时，AC与抛物线有两个交点，此时m＝0；(注：此种情况学生不考虑也不扣分)第2题解图第2题图当AC运动到DE时，此时线段AC与抛物线有一个交点，此时，m＝1，在AC与DE之间时，线段AC与抛物线无交点；在AC从DE运动到BF的整个过程中，均有一个交点，此时，1＜m≤5，再向右运动AC与抛物线无交点．综上可得：若线段AC向右平移m个单位，与抛物线有交点，m的取值范围是m＝0或1≤m≤5.第2题解图

解题关键点需分三种情况讨论：①点C在CE(不包含点E)上运动；②点C在EF上运动；③点C在点F右侧．3.如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C(0，3)，且OC＝3OB，点M是抛物线上一点，且位于抛物线对称轴的左侧，过点M作MN∥x轴交抛物线于点N.(1)求b，c的值；第3题图解：(1)∵C(0，3)，∴OC＝3，又∵OC＝3OB，∴OB＝1，∴B(1，0)．∵B(1，0)，C(0，3)为抛物线y＝－x2＋bx＋c上的点，∴将B(1，0)，C(0，3)代入，得解得

∴b＝－2，c＝3；(2)若点M沿抛物线向下移动，使得8≤MN≤9，求点M的纵坐标yM的取值范围；(2)由(1)知抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3，∴抛物线的对称轴为直线x＝－1，∵8≤MN≤9，∴点N的横坐标的取值范围为4－1≤xN≤－1，即3≤xN≤，当3≤xN≤时，y随x的增大而减小，第3题图当x＝

时，y＝－()2－2×＋3＝－

，当x＝3时，y＝－32－2×3＋3＝－12，∴点N的纵坐标yN的取值范围为－

≤yN≤－12，∵yM＝yN，∴点M的纵坐标yM的取值范围为－

≤yM≤－12；第3题图(3)若点P是抛物线上任意一点，点P与点A的纵坐标的差的绝对值不超过3，请直接写出点P的横坐标xP的取值范围．【解法提示】∵点P与点A的纵坐标的差的绝对值不超过3，∴将y＝3代入y＝－x2－2x＋3，即3＝－x2－2x＋3，解得x1＝0，x2＝－2，将y＝－3代入y＝－x2－2x＋3，即－3＝－x2－2x＋3，解得x1＝－1－

，x2＝－1＋

，∴P点横坐标xP的取值范围是：－1－

≤xP≤－2或0≤xP≤－1＋

.(3)－1－

≤xP≤－2或0≤xP≤－1＋

.第3题图4.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋3(a≠0)与x轴交于A(－1，0)，B两点，交y轴于点C，直线y＝mx＋

交抛物线于A，D(，n)两点．(1)求抛物线的解析式；解：(1)∵直线y＝mx＋

交抛物线于点A(－1，0)，∴0＝－m＋

，解得m＝

，∴直线AD的解析式为y＝

x＋

，∵点D(，n)在直线y＝

x＋

上，∴n＝

×＋

＝

，∴点D的坐标为(，

)，第4题图∵抛物线y＝ax2＋bx＋3(a≠0)过A(－1，0)，D(，

)两点，∴解得∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3；第4题图(2)当0≤x≤k时，抛物线对应的函数的最小值为3，最大值为4，求出k的取值范围；第4题图(2)∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为(1，4)，∴当x＝1时，函数最大值为4，∵抛物线过点(0，3)，∴抛物线过点(2，3)，∵当0≤x≤k时，抛物线对应的函数的最小值为3，最大值为4，∴当1≤k≤2时，抛物线对应的函数的最小值为3，最大值为4；(3)点P是x轴的上方抛物线上一点，点P与点D不重合，设点P的横坐标为x，过点P作PM∥y轴，交直线AD于点M，设PM的长为h.当h随x的增大而增大时，直接写出x的取值范围．第4题图【解法提示】设P(x，－x2＋2x＋3)，则M(x，

x＋

)，①当点P在直线AD上方时，PM＝h＝－x2＋2x＋3－(x＋

)＝－x2＋

x＋

(－1＜x＜

)，对称轴为直线x＝－

＝

，∵－1＜0，且－1<，∴－1<x＜

时，h随x的增大而增大；第4题图②当点P在x轴上方且在点D的右侧时，抛物线y＝－x2＋2x＋3，令y＝0，则0＝－x2＋2x＋3，解得x＝－1或x＝3，∴B(3，0)，∴PM＝h＝

x＋

－(－x2＋2x＋3)＝x2－

x－

(＜x＜3)，对称轴为直线x＝－

＝

，∵1＞0，且

>，∴＜x＜3时，h随x的增大而增大．综上所述，x的取值范围为－1＜x＜

或

＜x＜3.(3)x的取值范围为－1<x<或

<x<3.

解题关键点需分两种情况讨论：①点P在直线AD上方抛物线上；②点P在直线AD下方且在x轴上方抛物线上．5.如图，二次函数y＝ax2＋bx＋3的图象经过点A(1，－1)，对称轴为直线x＝

.(1)求a，b的值；解：(1)∵二次函数y＝ax2＋bx＋3的图象经过点A(1，－1)，∴－1＝a＋b＋3①，∵二次函数的对称轴为直线x＝

，∴－

＝

②，联立①②可得

∴a＝1，b＝－5；第5题图(2)二次函数图象上有两点M(x1，y1)，N(x2，y2)分别在对称轴的两侧，且点M在点N的左侧，x1＋x2>5，判断y1与y2的大小，并说明理由；(2)y2>y1.理由如下：∵二次函数的对称轴为直线x＝

，点M(x1，y1)，N(x2，y2)分别在对称轴的两侧且点M在点N的左侧，∴点M(x1，y1)到对称轴的距离为

－x1，点N(x2，y2)到对称轴的距离为x2－

，∵x1＋x2＞5，∴(x2－

)－(－x1)＝x2＋x1－5＞0，∴点N到对称轴的距离大于点M到对称轴的距离，∵二次函数图象开口向上，∴y2>y1；第5题图(3)将二次函数的图象向右平移m(m≥0)个单位，当1≤x≤5时，函数的最大值为p，最小值为q，若p－q＝5，求m的值．(3)∵二次函数的解析式为y＝x2－5x＋3＝(x－

)2－

，∴将二次函数的图象向右平移m个单位后解析式为y＝(x－

－m)2－

，此时顶点坐标为(＋m，－

)，①∵m≥0，∴＋m≥，当

≤＋m≤5，即0≤m≤时，函数值在x＝

＋m处取得最小值，最小值为q＝－

，第5题图第5题图当在x＝5处取得最大值时，最大值为p＝m2－5m＋3，∵p－q＝5，∴m2－5m＋3＋

＝5，解得m＝

－

或m＝

＋

(不符合题意，舍去)；当在x＝1处取得最大值时，最大值为p＝m2＋3m－1，∵p－q＝5，∴m2＋3m－1＋

＝5，解得m＝－

＋

或m＝－

－

(不符合题意，舍去)；②当

＋m＞5，即m＞

时，在x＝5处取得最小值，最小值q＝m2－5m＋3，在x＝1处取得最大值，最大值为p＝m2＋3m－1，第5题图∵p－q＝5，∴m2＋3m－1－(m2－5m＋3)＝5，解得m＝

(不符合题意，舍去)．综上所述，m的值为

－

或－

＋

.二次函数图象的平移6.(2023新乡二模)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2－2ax＋a－1经过原点．(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；第6题图解：(1)∵抛物线y＝ax2－2ax＋a－1经过原点，∴0＝a－1，即a＝1，∴抛物线的解析式为y＝x2－2x，∵y＝x2－2x＝(x－1)2－1，∴抛物线的顶点坐标为(1，－1)；(2)将该抛物线在y轴右侧的部分记作W，将W绕原点O顺时针旋转180°得到W′，W与W′组成一个新的函数图象，记作G.①在如图所示的平面直角坐标系中画出G的函数图象；(2)①根据题意，画出图象G，如解图所示：第6题解图②点M，N为图象G上两点(点M在点N的左侧)，且到y轴的距离分别为2个单位长度和3个单位长度，点Q为图象G上点M，N之间(含点M，N)的一个动点，求点Q的纵坐标yQ的取值范围；②∵点M，N为图象G上两点，且到y轴的距离分别为2个单位长度和3个单位长度，∴点M的坐标为(－2，0)或(2，0)，点N的坐标为(3，3)或(－3，－3)．又∵点M在点N的左侧，∴点M的坐标为(－2，0)或(2，0)，点N的坐标为(3，3)，第6题解图∴当点M的坐标