高中数学选择性必修2课件：5 3 1 第一课时 导数与函数的单调性（一）(人教A版)

5.3导数在研究函数中的应用5.3.1函数的单调性第一课时导数与函数的单调性(一)课标要求素养要求1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性.3.对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间.通过利用导数研究函数的单调性，结合函数的图象对其加以理解，发展学生数学运算和直观想象素养.新知探究竖直上抛一个小沙袋，沙袋的高度h是时间t的函数，设h＝h(t)，其图象如图所示.横轴表示时间t，纵轴表示沙袋的高度h，设沙袋的最高点为A，其横坐标为t＝t0.小沙袋从a到t0这段时间内运动速度越来越小，从t0到b这段时间内，运动速度越来越大.问题怎样才能更深刻地研究速度变化的各区间呢？提示学习本课后，我们可以利用导数来判断函数的单调性，从而可研究速度变化的各个区间.函数的单调性与导数的关系(1)在区间(a，b)内函数的导数与单调性有如下关系：导数函数的单调性f′(x)>0单调递____f′(x)<0单调递____f′(x)＝0常函数增减(2)在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系：函数的单调性导数单调递____f′(x)≥0单调递____f′(x)≤0常函数f′(x)＝0增减拓展深化[微判断]1.函数f(x)在定义域上都有f′(x)<0，则函数f(x)在定义域上单调递减.()×2.函数f(x)在某区间内单调递增，则一定有f′(x)>0.()

提示反例：f(x)＝x3，x∈(－1，1)，当x＝0时，f′(0)＝0.3.函数y＝x3＋x的单调递增区间为(－∞，＋∞).()×√[微训练]1.函数f(x)＝2x＋cosx在(－∞，＋∞)上(

) A.是增函数

B.是减函数 C.单调性不确定

D.是奇函数

解析

∵f′(x)＝2－sinx>0，∴f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数.

答案

A2.函数f(x)＝x3－3x的单调增区间是________.

解析

f′(x)＝3x2－3，令f′(x)>0得x2>1，即x>1或x<－1.

故f(x)的单调增区间是(－∞，－1)，(1，＋∞).

答案

(－∞，－1)，(1，＋∞)2.函数f(x)＝x3－3x的单调增区间是________.

解析

f′(x)＝3x2－3，令f′(x)>0得x2>1，即x>1或x<－1.

故f(x)的单调增区间是(－∞，－1)，(1，＋∞).

答案

(－∞，－1)，(1，＋∞)3.函数f(x)＝lnx－x的单调增区间是________.答案(0，1)[微思考]1.在区间(a，b)内，函数f(x)单调递增是f′(x)>0的什么条件？

提示必要不充分条件.2.若函数f(x)的增区间是A，且f(x)在区间B上单调递增，那么A与B是什么关系？

提示

B⊆A题型一函数图象与导函数图象的关系【例1】

(1)已知f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，那么f(x)的图象最有可能是图中的(

)(2)已知函数f(x)与其导函数f′(x)的图象如图所示，则满足f′(x)<f(x)的x的取值范围为(

)解析

(1)由题意可知，当x<0和x>2时，导函数f′(x)<0，函数f(x)是减函数；当x∈(0，2)时，导函数f′(x)>0，函数f(x)是增函数，故函数f(x)的图象如图D.答案(1)D

(2)D解析

(1)由题意可知，当x<0和x>2时，导函数f′(x)<0，函数f(x)是减函数；当x∈(0，2)时，导函数f′(x)>0，函数f(x)是增函数，故函数f(x)的图象如图D.答案(1)D

(2)D规律方法函数图象的单调性可以通过导数的正负来分析判断，即符号为正，图象上升；符号为负，图象下降.看导函数图象时，主要是看图象在x轴上方还是下方，即关心导数值的正负，而不是其单调性.解决问题时，一定要分清是函数图象还是其导函数图象.【训练1】在同一坐标系中作出三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)及其导函数的图象，下列一定不正确的序号是(

)A.①② B.①③

C.③④ D.①④解析当f′(x)>0时，y＝f(x)是增加的；当f′(x)<0时，y＝f(x)是减少的.故可得，①②中函数图象的增减趋势与导函数的正负区间是吻合的；而③中导函数为负的区间内相应的函数不减少，故错误；④中导函数为负的区间内相应的函数不减少，故错误.答案

C题型二求函数的单调区间【例2】求下列函数的单调区间规律方法求函数y＝f(x)的单调区间的步骤(1)确定函数y＝f(x)的定义域.(1)求导数y′＝f′(x).(3)解不等式f′(x)>0，函数在解集与定义域的交集上为增函数.(4)解不等式f′(x)<0，函数在解集与定义域的交集上为减函数.【训练2】求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝2x3＋3x2－36x＋1； (2)f(x)＝sinx－x(0<x<π).

解

(1)f′(x)＝6x2＋6x－36.

由f′(x)>0得6x2＋6x－36>0，解得x<－3或x>2；

由f′(x)<0解得

－3<x<2.

故f(x)的增区间是(－∞，－3)，(2，＋∞)；减区间是(－3，2). (2)f′(x)＝cosx－1.

因为0<x<π，所以cosx－1<0恒成立，故函数f(x)的单调递减区间为(0，π).一、素养落地1.通过学习函数的图象与其导函数图象之间的关系，培养直观想象素养，通过学习利用导数求函数的单调区间，提升数学运算素养.2.利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导数f′(x)； (3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0； (4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间.二、素养训练1.函数f(x)＝x＋lnx在(0，6)上是(

)答案A2.已知f(x)在R上是可导函数，f(x)的图象如图所示，则不等式f′(x)>0的解集为(

)A.(－2，0)∪(2，＋∞) B.(－∞，－2)∪(2，＋∞)C.(－∞，－1)∪(1，＋∞) D.(－2，－1)∪(1，2)解析因为f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上是增函数，所以在区间(－∞，－1)和(1，＋∞)上f′(x)>0.答案

C3.函数f(x)＝3＋x·lnx的单调递增区间是(

)答案C解析

f′(x)＝x2－2x－3，令f′(x)>0，解得x<－1或x>3，故f(x)的单调增区间是(－∞，－1)，(3，＋∞).答案

(－∞，－1)，(3，＋∞)5.函数f(x)＝x＋2cosx，x∈(0，π)的单调递减区间是________.备用工具&资料解析

f′(x)＝x2－2x－3，令f′(x)>0，解得x<－1或x>3，故f(x)的单调增区间是(－∞，－1)，(3，＋∞).答案

(－∞，－1)，(3，＋∞)2.已知f(x)在R上是可导函数，f(x)的图象如图所示，则不等式f′(x)>0的解集为(

)A.(－2，0)∪(2，＋∞) B.(－∞，－2)∪(2，＋∞)C.(－∞，－1)∪(1，＋∞) D.(－2，－1)∪(1，2)解析因为f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上是增函数，所以在区间(－∞，－1)和(1，＋∞)上f′(x)>0.答案

C【训练1】在同一坐标系中作出三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)及其导函数的图象，下列一定不正确的序号是(

)A.①② B.①③

C.③④ D.①④题型一函数图象与导函数图象的关系【例1】

(1)已知f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，那么f(x)的图象最有可能是图中的(

)新知探究竖直上抛一个小沙袋，沙袋的高度h是时间t的函数，设h＝h(t)，其图象如图所示.横轴表示时间t，纵轴表示沙袋的高度h，设沙袋的最高点为A，其横坐标为t＝t0.小沙袋从a到t0这段时间内运动速度越来越小，从t0到b这段时间内，运动速度越来越大.拓展深化[微判断