中职高考数学一轮复习讲练测(全国适用)专题四十七随机事件和概率(原卷版+解析)

专题四十七随机事件和概率思维导图知识要点知识要点1．基本概念(1)随机试验的特征：①可以在相同条件下重复进行；②试验的所有可能结果是可以明确知道的，且这些可能结果不止一个；③每次试验之前不能准确预言哪一个结果会发生．(2)样本空间：一个随机试验的所有可能结果构成的集合，常用字母Ω来表示(3)基本事件：一次随机试验的每个可能结果，或者说样本空间的元素，也叫做样本点．(4)随机事件：在一次随机试验中可能发生也可能不发生的事件叫做随机事件，它是样本空间的一个子集，常用大写字母A，B，C等表示．(5)不可能事件：在一次随机试验中不可能发生的事件，用∅表示，即空集∅.2．频率与概率(1)频率：在大量的重复试验中，事件A出现的次数m与试验总次数n的比，叫做事件A发生的频率．(2)事件的概率：在大量重复进行同一试验中，事件A发生的频率总是接近于某个常数，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P(A)．(3)概率的性质：①必然事件的概率为1，即P(Ω)＝1；②不可能事件的概率为0，即P(∅)＝0；③0≤P(A)≤1.(4)等可能事件概率如果一次试验中可能出现的结果有n个，即此试验由n个基本事件组成，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个事件的概率都是，如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P(A)＝(5)古典概型：如果一个随机试验的基本事件只有有限个，并且各个基本事件发生的可能性都相等，那么称这个随机试验属于古典概型．特征：①试验的所有可能结果的个数是有限的；②每个结果出现的机会均等．(6)古典概型的概率：P(A)＝，其中n为随机试验样本空间包含的基本事件的总数，m为事件A所包含的基本事件的个数．3．概率加法公式(1)互斥事件：一次试验中不可能同时发生的两个事件，A，B叫做互斥事件或互不相容事件，可知A∩B＝∅；对立事件：其中必有一个发生的两个互斥事件叫做对立事件，P(A)＋P(A)＝1(2)概率加法公式：①如果事件A，B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．推广：如果事件，，…，彼此互斥，则P(∪∪…∪)＝P()＋P()＋…＋P()；②若A，B不互斥，则有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．4．相互独立事件同时发生的概率(1)事件A与事件B独立：如果事件B发生与不发生，都不影响事件A发生的概率，那么就称事件A与事件B独立．(2)相互独立事件同时发生的概率乘法公式：假设A，B为互相独立事件，记A，B同时发生的事件为AB，则P(AB)＝P(A)·P(B)．(3)事件A，B相互独立，则事件“A与B至少有一个发生”的概率常利用其对立事件的概率表示，即P(A∪B)＝1－P(AB)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．(4)独立重复试验的概率：①n次独立重复试验模型一个随机试验如果具有下述两个特点：①它可以看成是在相同条件下重复进行的n次试验，每一次试验只有两个可能结果，一个叫做“成功”，另一个叫做“失败”，“成功”的概率记作p，“失败”的概率记作q(显然q＝1－p)；②事件A在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式：如果在一次试验中事件A的概率是p，那么事件A在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为＝.

典例解析典例解析【例1】假设甲、乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解它们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如下：(1)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；(2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是甲品牌的概率【变式训练1】国家乒乓球比赛的用球有严格标准，下面是有关部门对某乒乓球生产企业某批次产品的抽样检测，结果如表所示：(1)计算表中优等品的各个频率；(2)从这批产品中任取一个乒乓球，质量检测为优等品的概率约是多少？抽取球数目501002005001

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000优等品数目45921944709541

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【例2】某校夏令营有3名男同学A，B，C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如下表：

一年级二年级三年级男同学ABC女同学XYZ(1)用表中字母列举出所有可能的结果；(2)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M发生的概率．【变式训练2】一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球．求：(1)基本事件总数；(2)事件“摸出2个黑球”包含多少个基本事件？(3)摸出2个黑球的概率是多少？【例3】甲从1，2，3，4四个元素中随机地取出一个数，乙再从剩下的三个元素中随机地取出另一个数，则甲取出的数比乙取出的数大的概率是()A．1/2B．1/3C．2/3D．3/4【变式训练3】(1)某校有A，B，C，D四辆校车，现分两天对其进行安全检测，每天检测两辆车，则A，B车在同一天被检测的概率为()A．1/6B．1/3C．1/2D．2/3(2)某单位从甲、乙、丙、丁4名应聘者中招聘2人，如果这4名应聘者被录用的机会均等，则甲、乙两人同时被录用的概率是()A．1/6B．1/4C．1/3D．2/3高考链接高考链接1．袋中装有5个红球，3个白球，一次摸出两个球，恰好都是白球的概率是()A.B.C.D.2．掷两枚骰子(六面分别标有1至6的点数)，一次掷出点数和大于5的概率为()A.B.C.D.3．某博物馆需要志愿者协助工作，若从6名志愿者中任意选取3名，则其中甲、乙两名志愿者恰好同时被选中的概率是________．4．(四川省2017年对口升学考试试题)为了解某校学生学习我国优秀传统文化的情况，随机抽取该校100名学生调查他们一周课外阅读古诗文的时间，根据所得调查结果的数据，得到如下表所示的频数分布表：分组0～0.5(小时)0.5～1.0(小时)1.0～1.5(小时)1.5～2.0(小时)2.0～2.5(小时)频数1030302010同步精练同步精练【选择题】1．从1，2，3，…，9这9个数中任取两数，下列事件属于对立事件的是()①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数A．①B．②④C．③D．①③2．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1.则事件“抽到的不是一等品”的概率为()A．0.7B．0.65C．0.35D．0.33．在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是()A.B.C.D.4．已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为(B)A．0.4B．0.6C．0.8D．15．在20件产品中有2件次品，从中抽取2件，则恰有一件是次品的概率为()A.B.C.D.6．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能获得冠军，若两队每局获胜的概率相同，则甲队获得冠军的概率为()A.B.C.D.7．在集合A＝{2，3}中随机取一个元素m，在集合B＝{1，2，3}中随机取一个元素n，得到点P(m，n)，则点P在圆x2＋y2＝9内部的概率为________．8．甲、乙两人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中6个选择题，4个判断题，甲、乙二人依次各抽一题，则甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是________．9．一人在某种条件下射击，命中目标的概率为，他连续射击3次，那么恰有1次击中目标的概率为________．10．抛投两颗骰子，“总点数出现10”的概率为________．11．一个口袋中装有10个除颜色外其他完全相同的球，其中4个红球，6个白球，则任意摸出2个均为白球的概率为________．12．某省实验中学共有特级教师10名，其中男性6名，女性4名，现在要从中抽调4名特级教师担任青年教师培训班的指导教师，由于工作需要，其中男教师甲和女教师乙不能同时被抽调．求抽调的4名教师中含有女教师丙，且4名教师中恰有2名男教师、2名女教师的概率．13．袋中有6个球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两球，求下列事件的概率(1)取出的两球都是白球；(2)取出的两球1个是白球，另1个是红球．14．袋子中装有除颜色外其他均相同的编号为a，b的2个黑球和编号为c，d，e的3个红球，从中任意摸出2个球．(1)写出所有不同的结果；(2)求恰好摸出1个黑球和1个红球的概率；(3)求至少摸出1个黑球的概率．专题四十七随机事件和概率思维导图知识要点知识要点1．基本概念(1)随机试验的特征：①可以在相同条件下重复进行；②试验的所有可能结果是可以明确知道的，且这些可能结果不止一个；③每次试验之前不能准确预言哪一个结果会发生．(2)样本空间：一个随机试验的所有可能结果构成的集合，常用字母Ω来表示(3)基本事件：一次随机试验的每个可能结果，或者说样本空间的元素，也叫做样本点．(4)随机事件：在一次随机试验中可能发生也可能不发生的事件叫做随机事件，它是样本空间的一个子集，常用大写字母A，B，C等表示．(5)不可能事件：在一次随机试验中不可能发生的事件，用∅表示，即空集∅.2．频率与概率(1)频率：在大量的重复试验中，事件A出现的次数m与试验总次数n的比，叫做事件A发生的频率．(2)事件的概率：在大量重复进行同一试验中，事件A发生的频率总是接近于某个常数，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P(A)．(3)概率的性质：①必然事件的概率为1，即P(Ω)＝1；②不可能事件的概率为0，即P(∅)＝0；③0≤P(A)≤1.(4)等可能事件概率如果一次试验中可能出现的结果有n个，即此试验由n个基本事件组成，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个事件的概率都是，如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P(A)＝(5)古典概型：如果一个随机试验的基本事件只有有限个，并且各个基本事件发生的可能性都相等，那么称这个随机试验属于古典概型．特征：①试验的所有可能结果的个数是有限的；②每个结果出现的机会均等．(6)古典概型的概率：P(A)＝，其中n为随机试验样本空间包含的基本事件的总数，m为事件A所包含的基本事件的个数．3．概率加法公式(1)互斥事件：一次试验中不可能同时发生的两个事件，A，B叫做互斥事件或互不相容事件，可知A∩B＝∅；对立事件：其中必有一个发生的两个互斥事件叫做对立事件，P(A)＋P(A)＝1(2)概率加法公式：①如果事件A，B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．推广：如果事件，，…，彼此互斥，则P(∪∪…∪)＝P()＋P()＋…＋P()；②若A，B不互斥，则有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．4．相互独立事件同时发生的概率(1)事件A与事件B独立：如果事件B发生与不发生，都不影响事件A发生的概率，那么就称事件A与事件B独立．(2)相互独立事件同时发生的概率乘法公式：假设A，B为互相独立事件，记A，B同时发生的事件为AB，则P(AB)＝P(A)·P(B)．(3)事件A，B相互独立，则事件“A与B至少有一个发生”的概率常利用其对立事件的概率表示，即P(A∪B)＝1－P(AB)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．(4)独立重复试验的概率：①n次独立重复试验模型一个随机试验如果具有下述两个特点：①它可以看成是在相同条件下重复进行的n次试验，每一次试验只有两个可能结果，一个叫做“成功”，另一个叫做“失败”，“成功”的概率记作p，“失败”的概率记作q(显然q＝1－p)；②事件A在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式：如果在一次试验中事件A的概率是p，那么事件A在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为＝.

典例解析典例解析【例1】假设甲、乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解它们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如下：(1)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；(2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是甲品牌的概率【思路点拨】概率是一个常数，它是频率的科学抽象，将事件发生的频率近似地作为它的概率是求一事件概率的基本方法．概率公式P＝(n次试验中，事件A出现m次)．答案：解：(1)甲品牌产品寿命小于200小时的频率为用频率估计概率，∴甲品牌产品寿命小于200小时的概率为(2)根据抽样结果，寿命大于200小时的产品有75＋70＝145个，其中甲品牌产品是75个，∴在样本中，寿命大于200小时的产品是甲品牌的频率为＝用频率估计概率，∴已使用了200小时的该产品是甲品牌的概率为【变式训练1】国家乒乓球比赛的用球有严格标准，下面是有关部门对某乒乓球生产企业某批次产品的抽样检测，结果如表所示：(1)计算表中优等品的各个频率；(2)从这批产品中任取一个乒乓球，质量检测为优等品的概率约是多少？抽取球数目501002005001

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解：（1）如下表抽取球数目501002005001

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902优等品频率0.90.920.970.940.9540.951(2)根据频率与概率的关系，可以认为从这批产品中任取一个乒乓球，质量检测为优等品的概率约是0.95.【例2】某校夏令营有3名男同学A，B，C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如下表：

一年级二年级三年级男同学ABC女同学XYZ(1)用表中字母列举出所有可能的结果；(2)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M发生的概率．【思路点拨】(1)古典概型求法步骤：①确定等可能基本事件总数n；②确定所求事件包含基本事件数m；③P(A)＝.(2)使用古典概型概率公式应注意：①首先确定是否为古典概型；②所求事件是什么，包含的基本事件有哪些．解：(1)从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，X}，{A，Y}，{A，Z}，{B，C}，{B，X}，{B，Y}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，{C，Z}，{X，Y}，{X，Z}，{Y，Z}，共15(种)．(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为{A，Y}，{A，Z}，{B，X}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，共6(种)．因此，事件M发生的概率P(M)＝【变式训练2】一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球．求：(1)基本事件总数；(2)事件“摸出2个黑球”包含多少个基本事件？(3)摸出2个黑球的概率是多少？解：由于4个球的大小相等，摸出每个球的可能性是均等的，∴是古典概型．(1)将黑球编号为黑1、黑2、黑3，从装有4个球的口袋内摸出2个球，所有基本事件构成集合Ω＝{(黑1、黑2)，(黑1、黑3)，(黑1、白)，(黑2、黑3)，(黑2、白)，(黑3、白)}其中共有6个基本事件．(2)事件“摸出2个黑球”＝{(黑1、黑2)，(黑2、黑3)，(黑1、黑3)}，共3个基本事件．(3)基本事件总数n＝6，事件“摸出两个黑球”包含的基本事件数m＝3，故P＝【例3】甲从1，2，3，4四个元素中随机地取出一个数，乙再从剩下的三个元素中随机地取出另一个数，则甲取出的数比乙取出的数大的概率是(A)A．1/2B．1/3C．2/3D．3/4【思路点拨】甲从1，2，3，4四个元素中随机取出一个数，乙从剩余的3个元素中随机取出一个数，共有4×3＝12(种)．甲取出的数比乙取出的数大共有6(种)．∴甲取出的数比乙取出的数大的概率为P＝1/2.【变式训练3】(1)某校有A，B，C，D四辆校车，现分两天对其进行安全检测，每天检测两辆车，则A，B车在同一天被检测的概率为(B)A．1/6B．1/3C．1/2D．2/3【提示】(1)每天检测两辆车有AB，AC，AD，BC，BD，CD共6种，∴AB车在同一天被检测的概率为1/3.(2)从甲、乙、丙、丁4名应聘者中招聘2名，共有6种，则甲、乙被同时录用的概率为P＝1/6.(2)某单位从甲、乙、丙、丁4名应聘者中招聘2人，如果这4名应聘者被录用的机会均等，则甲、乙两人同时被录用的概率是(A)A．1/6B．1/4C．1/3D．2/3高考链接高考链接1．袋中装有5个红球，3个白球，一次摸出两个球，恰好都是白球的概率是()A.B.C.D.【提示】由题意得恰好为白球的概率为2．掷两枚骰子(六面分别标有1至6的点数)，一次掷出点数和大于5的概率为()A.B.C.D.【提示】由题意得掷2枚骰子共有36(种)，点数之和大于5的有30种，∴P＝3．某博物馆需要志愿者协助工作，若从6名志愿者中任意选取3名，则其中甲、乙两名志愿者恰好同时被选中的概率是________．【提示】由题意得4．(四川省2017年对口升学考试试题)为了解某校学生学习我国优秀传统文化的情况，随机抽取该校100名学生调查他们一周课外阅读古诗文的时间，根据所得调查结果的数据，得到如下表所示的频数分布表：分组0～0.5(小时)0.5～1.0(小时)1.0～1.5(小时)1.5～2.0(小时)2.0～2.5(小时)频数1030302010解：(1)在样本中学生一周课外阅读古诗文的时间不低于1小时的人数为：30＋20＋10＝60，所以，样本中学生一周课外阅读古诗文的时间不低于1小时的概率为＝0.6(2)样本中学生一周课外阅读古诗文的平均时间为＝1.2小时．同步精练同步精练【选择题】1．从1，2，3，…，9这9个数中任取两数，下列事件属于对立事件的是(C)①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数A．①B．②④C．③D．①③【提示】③中“至少有一个是奇数”即“两个奇数或一奇一偶”，而从1～9中任取两数共有三个事件：“两个奇数”“一奇一偶”“两个偶数”，故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件．2．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1.则事件“抽到的不是一等品”的概率为(C)A．0.7B．0.65C．0.35D．0.3【提示】事件“抽到的不是一等品”与事件A是对立事件，由于P(A)＝0.65，∴由对立事件的概率公式得“抽到的不是一等品”的概率为P＝1－P(A)＝1－0.65＝0.35.3．在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是()A.B.C.D.【提示】从五个小球中任取两个共有10种，而1＋2＝3，2＋4＝6，1＋5＝6，取出的小球标注的数字之和为3或6的只有3种情况，故取出的小球标注的数字之和为3或6的概率为.4．已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为(B)A．0.4B．0.6C．0.8D．1【提示】5件产品中有2件次品，记为a，b；有3件合格品，记为c，d，e.从这5件产品中任取2件，有10种结果，分别是(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，恰有一件次品，有6种结果，分别是(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，设事件A＝{恰有一件次品}，则P(A)＝＝0.6.5．在20件产品中有2件次品，从中抽取2件，则恰有一件是次品的概率为()A.B.C.D.【提示】P＝6．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能获得冠军，若两队每局获胜的概率相同，则甲队获得冠军的概率为()A.B.C.D.【提示】根据题意，由于甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能获得冠军，根据两队每局中胜出的概率都为，可知甲队获得冠军的概率为7．在集合A＝{2，3}中随机取一个元素m，在集合B＝{1，2，3}中随机取一个元素n，得到点P(m，n)，则点P在圆x2＋y2＝9内部的概率为________．【提示】由题意得到的P(m，n)有(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，共6个，在圆x2＋y2＝9的内部的点有(2，1)，(2，2)，∴概率为＝8．甲、乙两人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中6个选择题，4个判断题，甲、乙二人依次各抽一题，则甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是________．【提示】设事件A：甲、乙两人中至少有一人抽到选择题，则其对立事件为：甲、乙两人均抽到判断题．∴∴P(A)＝1－故甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率为9．一人在某种条件下射击，命中目标的概率为，他连续射击3次，那么恰有1次击中目标的概率为________．【提示】独立重复试验，恰有1次击中目标的概率P＝10．抛投两颗骰子，“总点数出现10”的概率为________．【提示】由题意得：掷2枚骰子共有36(种)，总点数出现10有3(种)，∴P＝11．一个口袋中装有10个除颜色外其他完全相同的球，其中4个红球，6个白球，则任意摸出2个均为白球的概率为________．【提示】任意摸出2个均为白球的概率12．某省实验中学共有特级教师10名，其中男性6名，女性4名，现在要从中抽调4名特级教师担任青年教师培训班的指导教师，由于工作需要，其中男教师甲和女教师乙不能同时被抽调．求抽调的4名教师中