2024学年高二数学上学期同步精讲精练(人教A版选择性必修第二册)5.3.2函数的极值与最大(小)值(精练)(原卷版+解析)

5.3.2函数的极值与最大（小）值（精练）A夯实基础B能力提升C综合素养A夯实基础一、单选题1．(2023·宁夏·吴忠中学高二期中（文））如图是的导数的图象，则下面判断正确的是（

）A．在内是增函数B．在内是减函数C．在时取得极小值D．当时取得极大值2．(2023·全国·高三专题练习）函数在闭区间上的最大值、最小值分别是（

）A． B．C． D．3．(2023·全国·高三专题练习）若函数在处取得极值，则（

）A．1 B．2 C．3 D．44．(2023·湖北·武汉情智学校高二阶段练习）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．的极小值为 B．的极大值为C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减5．(2023·安徽·砀山中学高三阶段练习）已知函数的大致图像如图所示，现有如下说法：①；②；③；则正确的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．36．(2023·河南·开封清华中学高三阶段练习（理））对任意，函数不存在极值点的充要条件是（

）A． B． C．或 D．或7．(2023·广东实验中学高三阶段练习）设，若函数在区间有极值点，则取值范围为（

）A． B． C．D．8．(2023·重庆·高三阶段练习）已知函数有唯一的极值点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题9．(2023·福建·福州黎明中学高三阶段练习）函数的导函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（

）A．为函数的零点 B．为函数的极小值点C．函数在上单调递减 D．是函数的最小值10．(2023·辽宁丹东·高二期末）已知函数的极值点，则（

）A．是的极小值点 B．有三个零点C． D．三、填空题11．(2023·全国·高二单元测试）若函数在区间上有极值点，则实数a的取值范围为______．12．(2023·全国·高二课时练习）已知函数在处取得极值，且极值为0，则______．四、解答题13．(2023·黑龙江·铁人中学高三开学考试）已知函数在处取得极大值1.(1)求函数的图象在处的切线方程；(2)求过点与曲线相切的直线方程.14．(2023·贵州·高三阶段练习（文））设函数.(1)若是的极值点，求的单调区间；(2)若直线是曲线的切线，求a的值.B能力提升15．(2023·福建·福州黎明中学高三阶段练习）已知．(1)求函数的单调区间；(2)当时函数的最大值为，求实数a的值.C综合素养16．(2023·上海市进才中学高三阶段练习）已知函数.(1)求处的切线方程；(2)求证：有且仅有一个极值点；(3)若存在实数a使对任意的恒成立，求实数b的取值范围.17．(2023·天津市武清区杨村第三中学高三阶段练习）设函数，.(1)若曲线在点处的切线与直线平行，求的单调性和极小值（其中为自然对数的底数）；(2)若对任意的恒成立，求k的取值范围.5.3.2函数的极值与最大（小）值（精练）A夯实基础B能力提升C综合素养A夯实基础一、单选题1．(2023·宁夏·吴忠中学高二期中（文））如图是的导数的图象，则下面判断正确的是（

）A．在内是增函数B．在内是减函数C．在时取得极小值D．当时取得极大值答案：B【详解】时，，此时在单调递减时，，此时在单调递增时，，此时在单调递减时，，此时在单调递增在处左增右减，故在时取得极大值在处左减右增，故在时取得极小值综上可知：B正确故选：B2．(2023·全国·高三专题练习）函数在闭区间上的最大值、最小值分别是（

）A． B．C． D．答案：C【详解】，令得：或，令得：，故在处取得极大值，在处取得极小值，且，，，所以函数在闭区间上的最大值、最小值分别是3，-17.故选：C3．(2023·全国·高三专题练习）若函数在处取得极值，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4答案：A【详解】解：因为函数在处取得极值，，所以，解得，检验当时，函数在处取得极大值，所以.故选：A.4．(2023·湖北·武汉情智学校高二阶段练习）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．的极小值为 B．的极大值为C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减答案：B【详解】因为，所以，令，得或；令，得；所以在区间，上单调递增，在区间上单调递减，所以在处有极大值，极大值为；在处有极小值，极小值为.故选：B.5．(2023·安徽·砀山中学高三阶段练习）已知函数的大致图像如图所示，现有如下说法：①；②；③；则正确的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3答案：B【详解】因为，故③错误；，记函数的极值点分别为，，则，故，故①错误；而，则，故②正确；故选：B.6．(2023·河南·开封清华中学高三阶段练习（理））对任意，函数不存在极值点的充要条件是（

）A． B． C．或 D．或答案：A【详解】由已知，若，则是一次函数，无极值点，若，无极值点，则，，综上，．故选：A．7．(2023·广东实验中学高三阶段练习）设，若函数在区间有极值点，则取值范围为（

）A． B． C．D．答案：B【详解】，为单调函数，所以函数在区间有极值点，即，代入解得，解得取值范围为，故选：B．8．(2023·重庆·高三阶段练习）已知函数有唯一的极值点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．答案：A【详解】解：求导有，因为函数有唯一的极值点，所以，有唯一正实数根，因为，所以在上无解，所以，在上无解，记，则有，所以，当时，，在上递减，当时，，在上递增．此时时，有最小值，所以，，即，所以，即的取值范围是故选：A二、多选题9．(2023·福建·福州黎明中学高三阶段练习）函数的导函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（

）A．为函数的零点 B．为函数的极小值点C．函数在上单调递减 D．是函数的最小值答案：BC【详解】由已知，根据函数的导函数的图像可知，在时，，所以函数在区间单调递减；在时，，所以函数在区间单调递增；在时，，所以函数在区间单调递减；在时，，所以函数在区间单调递增；所以和为函数的极小值点，为函数的极大值点，所以，选项A，并不能确定为函数的零点；选项B，正确；选项C，正确；选项D，是函数的极小值，并不一定是最小值，故不正确.故选：BC.10．(2023·辽宁丹东·高二期末）已知函数的极值点，则（

）A．是的极小值点 B．有三个零点C． D．答案：ABD【详解】由，得，由是函数的极值点，得，解得，故函数，，令，解得或，所以函数在和上单调递增，在上单调递减，故为极小值点，A选项正确；又，，，，所以函数分别在，，上各有一个零点，共三个零点，B选项正确；又在上单调递减，且，所以，又，故，C选项错误；同理，且，，D选项正确；故选：ABD.三、填空题11．(2023·全国·高二单元测试）若函数在区间上有极值点，则实数a的取值范围为______．答案：【详解】解：函数在区间上有极值点，所以在区间上有变号零点．且函数在区间上单调，所以，即，解得．故答案为：．12．(2023·全国·高二课时练习）已知函数在处取得极值，且极值为0，则______．答案：【详解】由题意，函数，可得，函数在处取得极值，且极值为0，可得，解得或，当时，，当且仅当时取等号，所以在上单调递增，无极值，不符合题意；当时，，当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增；故在处取得极值，符合题意．综上所述，，所以．故答案为：.四、解答题13．(2023·黑龙江·铁人中学高三开学考试）已知函数在处取得极大值1.(1)求函数的图象在处的切线方程；(2)求过点与曲线相切的直线方程.答案：(1)；(2)．（1）因为，由题意得，即，所以；，，，，，所以函数在处取得极大值，符合题意.又，，所以函数图象在处的切线方程为，即.（2）设切点为，，，所以，即切线方程为，又点在切线上，所以，，即，即，解得：，所以切线方程为：．14．(2023·贵州·高三阶段练习（文））设函数.(1)若是的极值点，求的单调区间；(2)若直线是曲线的切线，求a的值.答案：(1)的增区间为，减区间为(2)（1）因为，所以.因为是的极值点，所以，即.当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减；所以的增区间为，减区间为.（2）因为，所以.设直线与曲线的切点为，所以，即，①，②由①②得.设，因为在上单调递增，且，即，所以B能力提升15．(2023·福建·福州黎明中学高三阶段练习）已知．(1)求函数的单调区间；(2)当时函数的最大值为，求实数a的值.答案：(1)答案见解析；(2).（1）因为，所以，当时，由得，故，所以在上单调递增；当时，令，得；令，得；所以在上单调递增，在上单调递减；综上：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.（2）由（1）得，当时，在上单调递增，故，解得，显然不满足题意；当时，若，即，有，所以由在上单调递增，得在上单调递增，故由上述分析可知，又不满足题意；若，即，易得，不满足题意；若，则，得在上单调递增，在上单调递减，所以，解得，满足题意；综上：，故实数a的值为.C综合素养16．(2023·上海市进才中学高三阶段练习）已知函数.(1)求处的切线方程；(2)求证：有且仅有一个极值点；(3)若存在实数a使对任意的恒成立，求实数b的取值范围.答案：(1)；(2)证明见解析；(3).【解析】（1），而，故，所以在处的切线方程为.（2），令，则，当时，，当时，，故即在上为增函数，在上为减函数，而时，恒成立，当时，，故在仅有一个变号零点，故有且仅有一个极值点.（3）令，由题设可得：函数的最大值不大于0，，根据（2）的结论可知有唯一极值点，且当时，，时，，故在上为增函数，在上为减函数，所以，此时，所以，故，由可得.又由的存在性可得，令，当时，，当时，，故在上为减函数，在上为增函数，，综上所述.17．(2023·天津市武清区杨村第三中学高三阶段练习）设函数，.(1)若曲线在点处的切线与直线平行，求的单调性和极小值（其中为自然对数的底数）；(2)若对任意的恒成立，求k的取值范