【寒假自学课】苏教版2024年高一数学寒假第04讲指数函数、对数函数、幂函数(原卷版+解析)

第04讲指数函数、对数函数、幂函数【学习目标】1、掌握5个幂函数的图象和性质。2、掌握指数的运算性质，理解分数指数幂的意义及分数指数幂与根式的互化。3、能画出具体的指数函数的图象，掌握指数函数的性质并会应用，能利用函数的单调性比较大小。4、理解对数的概念，掌握对数的性质，能进行简单的对数运算。5、理解指数式与对数式的等价关系，会进行对数式与指数式的互化。6、了解对数函数的概念，能结合图象分析对数函数的性质。【考点目录】【基础知识】知识点一、根式的概念和运算法则1、次方根的定义：若，则称为的次方根．为奇数时，正数的奇次方根有一个，是正数，记为；负数的奇次方根有一个，是负数，记为；露的奇次方根为零，记为．为偶数时，正数的偶次方根有两个，记为；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为．2、两个等式（1）当且时，；（2）知识点二、分数指数幂的概念和运算法则为避免讨论，我们约定，，，且为既约分数，分数指数幂可如下定义：知识点三、有理数指数幂的运算1、有理数指数幂的运算性质（1）（2）（3）当，为无理数时，是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用．2、指数幂的一般运算步骤有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．在化简运算中，也要注意公式：，，，，的运用，能够简化运算．知识点四、无理数指数幂一般地，无理数指数幂（，为无理数）是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．【注意】（1）对于无理数指数幂，我们只需要了解两点：①它是一个确定的实数；②它是有理数指数幂无限逼近的结果．（2）定义了无理数指数幂之后，幂的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围．知识点五、实数指数幂的运算性质①．②．③．知识点六、指数函数的图象及性质：时图象时图象图象性质①定义域，值域②，即时，，图象都经过点③，即时，等于底数④在定义域上是单调减函数④在定义域上是单调增函数⑤时，时，⑤时，时，⑥既不是奇函数，也不是偶函数知识点七、指数函数底数变化与图像分布规律（1）①，②，③，④，则：又即：时，（底大幂大）时，（2）特殊函数，，，的图像：知识点八、对数概念1、对数的概念如果，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：．其中叫做对数的底数，叫做真数．知识点诠释：对数式中各字母的取值范围是：且，，．2、对数（且）具有下列性质：（1）0和负数没有对数，即；（2）1的对数为0，即；（3）底的对数等于1，即．3、两种特殊的对数通常将以10为底的对数叫做常用对数，．以e（e是一个无理数，）为底的对数叫做自然对数，简记为．4、对数式与指数式的关系由定义可知：对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化．它们的关系可由下图表示．由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化．知识点九、对数的运算法则已知，（且，、）（1）正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和；推广：（2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数；（3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数；知识点十、对数公式1、对数恒等式：2、换底公式同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0，a≠1，M>0的前提下有：（1）令，则有，，即，即，即：．（2），令，则有，则有即，即，即当然，细心一些的同学会发现（1）可由（2）推出，但在解决某些问题（1）又有它的灵活性．而且由（2）还可以得到一个重要的结论：．知识点十一、对数函数的图象与性质图象性质定义域：值域：过定点，即时，在上增函数在上是减函数当时，，当时，当时，，当时，知识点十二、底数对对数函数图象的影响1、底数制约着图象的升降．如图知识点诠释：由于底数的取值范围制约着对数函数图象的升降（即函数的单调性），因此在解与对数函数单调性有关的问题时，必须考虑底数是大于1还是小于1，不要忽略．2、底数变化与图象变化的规律在同一坐标系内，当时，随a的增大，对数函数的图像愈靠近x轴；当时，对数函数的图象随a的增大而远离x轴．（见下图）知识点十三、幂函数概念形如的函数，叫做幂函数，其中为常数．知识点十四、幂函数的图象及性质1、作出下列函数的图象：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．知识点诠释：幂函数随着的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：（1）所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点；（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；（3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．2、作幂函数图象的步骤如下：（1）先作出第一象限内的图象；（2）若幂函数的定义域为或，作图已完成；若在或上也有意义，则应先判断函数的奇偶性如果为偶函数，则根据轴对称作出第二象限的图象；如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象．3、幂函数解析式的确定（1）借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值．（2）结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征．（3）如函数是幂函数，求的表达式，就应由定义知必有，即．4、幂函数值大小的比较（1）比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法．（2）比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小．（3）常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小．【考点剖析】考点一：指数运算例1．(2023·江西南昌·高一期末）（1）若求的值；（2）计算：．例2．(2023·吉林延边·高一期末）已知，求下列各式的值：(1)；(2).例3．(2023·江苏连云港·高一期末）计算：（1）（2）解不等式：考点二：指数函数图像与性质例4．(2023·湖北黄石·高一期末）函数的图象大致为（

）A． B．C． D．例5．(2023·江西省铜鼓中学高一期末）函数，（且）的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标是（

）A． B． C． D．例6．(2023·安徽合肥·高一期末）已知函数为奇函数，.(1)求的值；(2)判断函数的单调性；(3)若恒成立，求实数的取值范围．例7．(2023·江西省铜鼓中学高一期末）已知函数．(1)利用函数单调性的定义证明是单调递增函数；(2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围．例8．(2023·广东惠州·高一期末）设函数．(1)若函数的图象关于原点对称，求函数的零点；(2)若函数在，的最大值为，求实数的值．考点三：对数运算例9．(2023·上海长宁·高一期末）已知，，用，表示_____．例10．(2023·江苏南通·高一期末）的值为______.例11．(2023·吉林·农安县教师进修学校高一期末）计算______.例12．(2023·江苏·连云港市赣马高级中学高一期末）方程的解为___________．考点四：对数函数图像与性质例13．(2023·天津南开·高一期末）下列命题中：①与互为反函数，其图像关于对称;②已知函数，则;③当，且时，函数必过定点；④已知，且，则实数.上述命题中的所有正确命题的序号是___________.例14．(2023·浙江大学附属中学高一期末）已知是在定义域上的单调函数，且对任意都满足：，则满足不等式的的取值范围是________.例15．(2023·辽宁·新民市第一高级中学高一期末）已知函数的图像与函数的图像关于直线对称，则________．例16．(2023·天津南开·高一期末）已知函数.(1)求该函数的定义域；(2)求该函数的单调区间及值域.例17．(2023·浙江大学附属中学高一期末）已知，函数(1)若函数过点，求此时函数的解析式；(2)设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.考点五：指对幂比较大小例18．(2023·江苏连云港·高一期末）已知，则（

）A． B． C． D．例19．(2023·江苏·连云港市赣马高级中学高一期末）已知，则（

）A． B． C． D．例20．(2023·江苏·连云港市赣马高级中学高一期末）已知，则（

）A． B．C． D．例21．(2023·贵州六盘水·高一期末）在，，，四个数中，最大的是（

）A． B． C． D．考点六：幂函数例22．(2023·黑龙江·大庆实验中学高一期末）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的的取值范围为________.例23．(2023·上海师大附中高一期末）已知函数为幂函数，且为奇函数.(1)求的值，并确定的解析式；(2)令，求在的值域.例24．(2023·湖北·武汉东湖新技术开发区教育发展研究院高一期末）已知函数，.(1)求方程的解集；(2)定义：.已知定义在上的函数，求函数的解析式；(3)在（2）的条件下，在平面直角坐标系中，画出函数的简图，并根据图象写出函数的单调区间和最小值.例25．(2023·湖北·监利市教学研究室高一期末）已知幂函数为偶函数(1)求幂函数的解析式；(2)若函数在上单调，求实数的取值范围.【真题演练】1．（2023·天津·高考真题）若，则（

）A． B． C．1 D．2．（2023·全国·高考真题（文））青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（

）（）A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.63．（2023·海南·高考真题）基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)（

）A．1.2天 B．1.8天C．2.5天 D．3.5天4．（2023·全国·高考真题（理））已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（

）A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b5．（2023·全国·高考真题（文））设，则（

）A． B． C． D．6．(2023·天津·高考真题）已知，，，则（

）A． B． C． D．7．(2023·浙江·高考真题）已知，则（

）A．25 B．5 C． D．8．（2023·天津·高考真题）设，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．9．（2023·全国·高考真题）已知，，，则下列判断正确的是（

）A． B． C． D．【过关检测】一、单选题1．(2023·湖南·新邵县第八中学高一阶段练习）已知，，，则（

）A． B．C． D．2．(2023·湖南·新邵县第八中学高一阶段练习）已知函数，则有（

）A．最小值 B．最大值C．最小值 D．最大值3．(2023·湖南·新邵县第八中学高一阶段练习）已知，则用表示为（

）A． B． C． D．4．(2023·山东枣庄·高一期中）下列根式与分数指数幂的互化，正确的是（

）A． B．C． D．5．(2023·陕西西安·高一阶段练习）函数的单调递减区间是（

）A． B．C． D．6．(2023·陕西西安·高一阶段练习）已知函数在上是减函数，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．7．(2023·江苏连云港·高一期末）假若我国国民经济生产总值平均每年增长7.3%，则国民经济生产总值是现在的两倍需要经过（

）（）A．7 B．8 C．9 D．108．(2023·江苏连云港·高一期末）设a为实数，若关于x的方程有实数解，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题9．(2023·广东·广州市第二中学高一阶段练习）下列运算中，正确的是（

）A．B．若，则C．若，则D．若，则10．(2023·江苏·赣榆智贤中学高一阶段练习）已知，则下列选项中正确的有（

）A． B．C． D．11．(2023·山东枣庄·高一期中）下列函数中，满足对，都有的是（

）A． B．C． D．12．(2023·湖南·新邵县第八中学高一阶段练习）已知函数，设的图象为曲线，则（

）A．曲线是中心对称图形B．曲线是轴对称图形C．在上为增函数D．在上为减函数三、填空题13．(2023·陕西·长安一中高一阶段练习）函数的图像恒过定点，且点在幂函数的图像上，则__________.14．(2023·上海·华师大二附中高一阶段练习）函数的值域为___________.15．(2023·福建省华安县第一中学高一阶段练习）设函数，则使得成立的的取值范围是___________16．(2023·天津市南开中学滨海生态城学校高一阶段练习）若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围为__________.四、解答题17．(2023·江苏·南京田家炳高级中学高一阶段练习）计算：(1)；(2)18．(2023·湖南·新邵县第八中学高一阶段练习）已知函数是上的奇函数（为常数）.(1)求的解析式；(2)若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.19．(2023·江苏·扬州中学高一阶段练习）已知函数.(1)求不等式的解集；(2)函数，若存在，，使得成立，求实数a的取值范围；20．(2023·广东·雷州市第一中学高一阶段练习）已知(1)若，判断的奇偶性并予以证明；(2)若，判断的单调性（不用证明）；(3)在（2）条件下求不等式的解集．21．(2023·陕西西安·高一阶段练习）已知，，为实数，(1)当时，求函数的最大值；(2)求函数的最大值的解析式；(3)若对任意恒成立，求实数的取值范围．22．(2023·安徽·合肥世界外国语学校高一阶段练习）已知．(1)解不等式：；(2)记，求函数的最小值．第04讲指数函数、对数函数、幂函数【学习目标】1、掌握5个幂函数的图象和性质。2、掌握指数的运算性质，理解分数指数幂的意义及分数指数幂与根式的互化。3、能画出具体的指数函数的图象，掌握指数函数的性质并会应用，能利用函数的单调性比较大小。4、理解对数的概念，掌握对数的性质，能进行简单的对数运算。5、理解指数式与对数式的等价关系，会进行对数式与指数式的互化。6、了解对数函数的概念，能结合图象分析对数函数的性质。【考点目录】【基础知识】知识点一、根式的概念和运算法则1、次方根的定义：若，则称为的次方根．为奇数时，正数的奇次方根有一个，是正数，记为；负数的奇次方根有一个，是负数，记为；露的奇次方根为零，记为．为偶数时，正数的偶次方根有两个，记为；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为．2、两个等式（1）当且时，；（2）知识点二、分数指数幂的概念和运算法则为避免讨论，我们约定，，，且为既约分数，分数指数幂可如下定义：知识点三、有理数指数幂的运算1、有理数指数幂的运算性质（1）（2）（3）当，为无理数时，是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用．2、指数幂的一般运算步骤有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．在化简运算中，也要注意公式：，，，，的运用，能够简化运算．知识点四、无理数指数幂一般地，无理数指数幂（，为无理数）是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．【注意】（1）对于无理数指数幂，我们只需要了解两点：①它是一个确定的实数；②它是有理数指数幂无限逼近的结果．（2）定义了无理数指数幂之后，幂的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围．知识点五、实数指数幂的运算性质①．②．③．知识点六、指数函数的图象及性质：时图象时图象图象性质①定义域，值域②，即时，，图象都经过点③，即时，等于底数④在定义域上是单调减函数④在定义域上是单调增函数⑤时，时，⑤时，时，⑥既不是奇函数，也不是偶函数知识点七、指数函数底数变化与图像分布规律（1）①，②，③，④，则：又即：时，（底大幂大）时，（2）特殊函数，，，的图像：知识点八、对数概念1、对数的概念如果，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：．其中叫做对数的底数，叫做真数．知识点诠释：对数式中各字母的取值范围是：且，，．2、对数（且）具有下列性质：（1）0和负数没有对数，即；（2）1的对数为0，即；（3）底的对数等于1，即．3、两种特殊的对数通常将以10为底的对数叫做常用对数，．以e（e是一个无理数，）为底的对数叫做自然对数，简记为．4、对数式与指数式的关系由定义可知：对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化．它们的关系可由下图表示．由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化．知识点九、对数的运算法则已知，（且，、）（1）正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和；推广：（2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数；（3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数；知识点十、对数公式1、对数恒等式：2、换底公式同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0，a≠1，M>0的前提下有：（1）令，则有，，即，即，即：．（2），令，则有，则有即，即，即当然，细心一些的同学会发现（1）可由（2）推出，但在解决某些问题（1）又有它的灵活性．而且由（2）还可以得到一个重要的结论：．知识点十一、对数函数的图象与性质图象性质定义域：值域：过定点，即时，在上增函数在上是减函数当时，，当时，当时，，当时，知识点十二、底数对对数函数图象的影响1、底数制约着图象的升降．如图知识点诠释：由于底数的取值范围制约着对数函数图象的升降（即函数的单调性），因此在解与对数函数单调性有关的问题时，必须考虑底数是大于1还是小于1，不要忽略．2、底数变化与图象变化的规律在同一坐标系内，当时，随a的增大，对数函数的图像愈靠近x轴；当时，对数函数的图象随a的增大而远离x轴．（见下图）知识点十三、幂函数概念形如的函数，叫做幂函数，其中为常数．知识点十四、幂函数的图象及性质1、作出下列函数的图象：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．知识点诠释：幂函数随着的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：（1）所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点；（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；（3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．2、作幂函数图象的步骤如下：（1）先作出第一象限内的图象；（2）若幂函数的定义域为或，作图已完成；若在或上也有意义，则应先判断函数的奇偶性如果为偶函数，则根据轴对称作出第二象限的图象；如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象．3、幂函数解析式的确定（1）借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值．（2）结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征．（3）如函数是幂函数，求的表达式，就应由定义知必有，即．4、幂函数值大小的比较（1）比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法．（2）比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小．（3）常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小．【考点剖析】考点一：指数运算例1．(2023·江西南昌·高一期末）（1）若求的值；（2）计算：．【解析】（1）（2）原式例2．(2023·吉林延边·高一期末）已知，求下列各式的值：(1)；(2).【解析】（1），所以（2），所以；，所以例3．(2023·江苏连云港·高一期末）计算：（1）（2）解不等式：【解析】（1）（2）由，得又因为是增函数，，解得.所以解集为考点二：指数函数图像与性质例4．(2023·湖北黄石·高一期末）函数的图象大致为（

）A． B．C． D．答案：D【解析】因为函数的定义域为，，所以是偶函数，函数图象关于轴对称，排除A，B；当时，，当时，，排除C．故选：D．例5．(2023·江西省铜鼓中学高一期末）函数，（且）的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标是（

）A． B． C． D．答案：B【解析】令，解得，所以当时，，所以函数过定点.故选：B例6．(2023·安徽合肥·高一期末）已知函数为奇函数，.(1)求的值；(2)判断函数的单调性；(3)若恒成立，求实数的取值范围．【解析】（1）函数定义域为.因为函数为奇函数，所以有，即.又，则，所以，.（2）由（1）知，.任取，不妨设，，∵，∴，∴.又，，∴，即，∴函数是上的增函数.（3）因为，函数为奇函数，所以等价于，∵是上的单调增函数，∴，即恒成立，∴，解得.例7．(2023·江西省铜鼓中学高一期末）已知函数．(1)利用函数单调性的定义证明是单调递增函数；(2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围．【解析】（1）由已知可得的定义域为，任取，且，则，因为，，，所以，即，所以在上是单调递增函数．（2），令，则当时，，所以．令，，则只需．当，即时，在上单调递增，所以，解得，与矛盾，舍去；当，即时，在上单调递减，在上单调递增，所以，解得；当即时，在上单调递减，所以，解得，与矛盾，舍去．综上，实数的取值范围是．例8．(2023·广东惠州·高一期末）设函数．(1)若函数的图象关于原点对称，求函数的零点；(2)若函数在，的最大值为，求实数的值．【解析】（1）的图象关于原点对称，为奇函数，，，即，．所以，所以，令，则，，又，，解得，即，所以函数的零点为．（2）因为，，令，则，，，对称轴，当，即时，，；②当，即时，，（舍；综上：实数的值为．考点三：对数运算例9．(2023·上海长宁·高一期末）已知，，用，表示_____．答案：【解析】由题意，故答案为：．例10．(2023·江苏南通·高一期末）的值为______.答案：11【解析】原式．故答案为：11．例11．(2023·吉林·农安县教师进修学校高一期末）计算______.答案：7【解析】.故答案为：7.例12．(2023·江苏·连云港市赣马高级中学高一期末）方程的解为___________．答案：【解析】由得，且，，即，所以，解得或，检验：当，，不满足真数大于0，故舍去，当，，所以方程的解为：．故答案为：考点四：对数函数图像与性质例13．(2023·天津南开·高一期末）下列命题中：①与互为反函数，其图像关于对称;②已知函数，则;③当，且时，函数必过定点；④已知，且，则实数.上述命题中的所有正确命题的序号是___________.答案：①③【解析】对于①，因为与互为反函数，其图像关于对称；所以当时，与互为反函数，其图像关于对称，故命题①正确；对于②，因为，所以令，得，故命题②错误；对于③，因为，所以令，即，则，故过定点，故命题③正确；对于④，因为，所以，所以，故由得，即，即，所以，故命题④错误.故答案为：①③.例14．(2023·浙江大学附属中学高一期末）已知是在定义域上的单调函数，且对任意都满足：，则满足不等式的的取值范围是________.答案：【解析】由题意得为正常数，令，则，且，解得，原不等式为，可得，解得，故答案为：例15．(2023·辽宁·新民市第一高级中学高一期末）已知函数的图像与函数的图像关于直线对称，则________．答案：2【解析】因为已知函数的图像与函数的图像关于直线对称，所以与互为反函数，所以.所以.故答案为：2例16．(2023·天津南开·高一期末）已知函数.(1)求该函数的定义域；(2)求该函数的单调区间及值域.【解析】（1）由得：，的定义域为.（2）令，在上单调递增；在上单调递减；又在上单调递减，的单调递增区间为；单调递减区间为，，，的值域为.例17．(2023·浙江大学附属中学高一期末）已知，函数(1)若函数过点，求此时函数的解析式；(2)设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.【解析】（1）因为函数过点，即，解得，故；（2）因为是复合函数，设，，，在区间单调递增，单调递增，故函数在区间上单调递增，，由题意对任意恒成立，即对任意恒成立，即对任意恒成立，即对任意恒成立，设，，只需即可，因为的对称轴为，图像是开口向下的抛物线，故在单调递减，故，故.考点五：指对幂比较大小例18．(2023·江苏连云港·高一期末）已知，则（

）A． B． C． D．答案：B【解析】，，，故.故选：B例19．(2023·江苏·连云港市赣马高级中学高一期末）已知，则（

）A． B． C． D．答案：A【解析】在同一直角坐标系中画出的图象如下：所以．故选：A．例20．(2023·江苏·连云港市赣马高级中学高一期末）已知，则（

）A． B．C． D．答案：D【解析】因为，，，所以.故选：D.例21．(2023·贵州六盘水·高一期末）在，，，四个数中，最大的是（

）A． B． C． D．答案：A【解析】因为，，，，所以四个数中最大的是，故选：A.考点六：幂函数例22．(2023·黑龙江·大庆实验中学高一期末）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的的取值范围为________.答案：【解析】幂函数在上单调递减，故，解得.，故，，.当时，不关于轴对称，舍去；当时，关于轴对称，满足；当时，不关于轴对称，舍去；故，，函数在和上单调递减，故或或，解得或.故答案为：例23．(2023·上海师大附中高一期末）已知函数为幂函数，且为奇函数.(1)求的值，并确定的解析式；(2)令，求在的值域.【解析】（1）因为函数为幂函数，所以，解得或，当时，函数是奇函数，符合题意，当时，函数是偶函数，不符合题意，综上所述，的值为，函数的解析式为.（2）由（1）知，，所以，令，则，，所以，，根据二次函数的性质知，的对称轴为，开口向上，所以在上单调递增；所以，所以函数在的值域为.例24．(2023·湖北·武汉东湖新技术开发区教育发展研究院高一期末）已知函数，.(1)求方程的解集；(2)定义：.已知定义在上的函数，求函数的解析式；(3)在（2）的条件下，在平面直角坐标系中，画出函数的简图，并根据图象写出函数的单调区间和最小值.【解析】（1）由，得且，解得，；所以方程的解集为（2）由已知得.（3）函数的图象如图实线所示：函数的单调递减区间是，单调递增区间是，其最小值为1.例25．(2023·湖北·监利市教学研究室高一期末）已知幂函数为偶函数(1)求幂函数的解析式；(2)若函数在上单调，求实数的取值范围.【解析】（1）依题意有：，解得或；又函数为偶函数，则，所以.（2）；由题知：或，所以或.【真题演练】1．（2023·天津·高考真题）若，则（

）A． B． C．1 D．答案：C【解析】，，.故选：C.2．（2023·全国·高考真题（文））青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（

）（）A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6答案：C【解析】由，当时，，则.故选：C.3．（2023·海南·高考真题）基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)（

）A．1.2天 B．1.8天C．2.5天 D．3.5天答案：B【解析】因为，，，所以，所以，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，则，所以，所以，所以天.故选：B.4．（2023·全国·高考真题（理））已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（

）A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b答案：A【解析】由题意可知、、，，；由，得，由，得，，可得；由，得，由，得，，可得.综上所述，.故选：A.5．（2023·全国·高考真题（文））设，则（

）A． B． C． D．答案：B【解析】由可得，所以，所以有，故选：B.6．(2023·天津·高考真题）已知，，，则（

）A． B． C． D．答案：C【解析】因为，故.故答案为：C.7．(2023·浙江·高考真题）已知，则（

）A．25 B．5 C． D．答案：C【解析】因为，，即，所以．故选：C.8．（2023·天津·高考真题）设，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．答案：D【解析】，，，，，，.故选：D.9．（2023·全国·高考真题）已知，，，则下列判断正确的是（

）A． B． C． D．答案：C【解析】，即.故选：C.【过关检测】一、单选题1．(2023·湖南·新邵县第八中学高一阶段练习）已知，，，则（

）A． B．C． D．答案：D【解析】因为，即，又因为，因此，.故选：D.2．(2023·湖南·新邵县第八中学高一阶段练习）已知函数，则有（

）A．最小值 B．最大值C．最小值 D．最大值答案：B【解析】，令，，任取、且，则，，所以，，则，所以，函数在上单调递增，故当时，，所以，，又因为函数为减函数，故，故选：B.3．(2023·湖南·新邵县第八中学高一阶段练习）已知，则用表示为（

）A． B． C． D．答案：C【解析】，，.故选：C4．(2023·山东枣庄·高一期中）下列根式与分数指数幂的互化，正确的是（

）A． B．C． D．答案：D【解析】A.，故A错误；B.，故B错误；C.，故C错误；D.，故D正确.故选：D5．(2023·陕西西安·高一阶段练习）函数的单调递减区间是（

）A． B．C． D．答案：C【解析】内层函数在区间单调递减，在单调递增，外层函数为减函数，所以函数的单调递减区间是，故选：C6．(2023·陕西西安·高一阶段练习）已知函数在上是减函数，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．答案：B【解析】依题意在上恒成立且，又可看成的复合函数，单调递减，欲使是减函数，只需递增，.故选：B7．(2023·江苏连云港·高一期末）假若我国国民经济生产总值平均每年增长7.3%，则国民经济生产总值是现在的两倍需要经过（

）（）A．7 B．8 C．9 D．10答案：D【解析】设经过x年国民经济生产总值是现在的两倍，现在的国民经济生产总值是a.根据题意，得，即，则≈≈10.所以约经过10年国民经济生产总值是现在的两倍．故选：D．8．(2023·江苏连云港·高一期末）设a为实数，若关于x的方程有实数解，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．答案：C【解析】因为，所以，令（），则（），要想方程有实数解只需与有交点即可；设，当时，单调递增，所以，即时，解得：，故a的取值范围是为：.故选：C.二、多选题9．(2023·广东·广州市第二中学高一阶段练习）下列运算中，正确的是（

）A．B．若，则C．若，则D．若，则答案：AB【解析】对于A，，A正确；对于B，因，则，B正确；对于C，因，则，C不正确；对于D，当时，成立，但无意义，D不正确.故选：AB10．(2023·江苏·赣榆智贤中学高一阶段练习）已知，则下列选项中正确的有（

）A． B．C． D．答案：ABD【解析】两边平方得：，所以，A正确；，因为的大小不确定，所以，B正确；，因为，所以，C错误；由立方和公式可得：，D正确.故选：ABD11．(2023·山东枣庄·高一期中）下列函数中，满足对，都有的是（

）A． B．C． D．答案：ABD【解析】由题意可知：当时，满足条件的函数的图象是凹形曲线，对于A，函数在第一象限的图象是一条凹形曲线，故当时，，故选项A满足；对于B，函数的图象在第一象限是凹形曲线，故当时，，故选项B满足；对于C，函数的图象在第一象限是凸形曲线，故当时，，故选项C不满足；对于D，函数的图象在第一象限是凹形曲线，故当时，，故选项D满足；综上，满足条件的是ABD，故选：ABD.12．(2023·湖南·新邵县第八中学高一阶段练习）已知函数，设的图象为曲线，则（

）A．曲线是中心对称图形B．曲线是轴对称图形C．在上为增函数D．在上为减函数答案：BD【解析】函数的定义域为，，令，有，，显然，，即函数是定义域上的偶函数，其图象关于y轴对称，令，，，，因，则，即，因此，即，函数在上单调递减，而函数在上单调递减，于是得函数在上单调递减，在上单调递增，函数的图象不是中心对称图形，显然函数的图象向右平移2个单位得函数的图象，因此函数的图象不是中心对称图形，是轴对称图形，对称轴