高中数学选择性必修3课件：§7 5 正态分布(人教A版)

学习目标1.利用实际问题的频率分布直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.2.了解变量落在区间[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]内的概率大小.3.会用正态分布去解决实际问题.1.我们称f(x)＝

，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，为正态密度函数，称其图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线.2.若随机变量X的概率密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为

.特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布.知识点一正态曲线与正态分布X～N(μ，σ2)3.若X～N(μ，σ2)，如图所示，X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积，而P(a≤X≤b)为区域B的面积.思考1正态曲线f(x)＝

，x∈R中的参数μ，σ有何意义？答案μ可取任意实数，表示平均水平的特征数，E(X)＝μ；σ>0表示标准差，D(X)＝σ2.一个正态密度函数由μ，σ唯一确定，π和e为常数，x为自变量，x∈R.思考2若随机变量X～N(μ，σ2)，则X是离散型随机变量吗？答案若X～N(μ，σ2)，则X不是离散型随机变量，由正态分布的定义：P(a<X≤b)为区域B的面积，X可取(a，b]内的任何值，故X不是离散型随机变量，它是连续型随机变量.1.对∀x∈R，f(x)>0，它的图象在x轴的

.2.曲线与x轴之间的面积为

.3.曲线是单峰的，它关于直线

对称.4.曲线在

处达到峰值

.5.当|x|无限增大时，曲线无限接近

轴.知识点二正态曲线的特点上方1x＝μx＝μx6.当

一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着

的变化而沿x轴平移，如图①.σμ7.当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ较小时曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；σ较大时，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图②.P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈

；P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈

；P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈

.尽管正态变量的取值范围是(－∞，＋∞)，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间[μ－3σ，μ＋3σ]内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.0027，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生.在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则.知识点三正态总体在三个特殊区间内取值的概率值及3σ原则0.68270.95450.99734.已知随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，且P(ξ<2)＝0.6，则P(0<ξ<1)＝________．【答案】0.1

【解析】∵随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，∴曲线关于直线x＝1对称，∵P(ξ<2)＝0.6，∴P(0<ξ<1)＝0.6－0.5＝0.1，故答案为0.1．5.某班有50名学生，一次考试的数学成绩ξ服从正态分布N(100,102)，已知P(90≤ξ≤100)＝0.3，估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为______．【答案】10

6.商场经营的某种包装的大米质量服从正态分布N(10,0.12)(单位：kg)．任选一袋这种大米，质量在9.8～10.2kg的概率是多少？解：因为大米的质量服从正态分布N(10,0.12)，要求质量在9.8～10.2的概率，需化为(μ－2σ，μ＋2σ)的形式，然后利用特殊值求解．由正态分布N(10,0.12)知，μ＝10，σ＝0.1，所以质量在9.8～10.2kg的概率为P(10－2×0.1<X≤10＋2×0.1)＝0.9544．6.商场经营的某种包装的大米质量服从正态分布N(10,0.12)(单位：kg)．任选一袋这种大米，质量在9.8～10.2kg的概率是多少？解：因为大米的质量服从正态分布N(10,0.12)，要求质量在9.8～10.2的概率，需化为(μ－2σ，μ＋2σ)的形式，然后利用特殊值求解．由正态分布N(10,0.12)知，μ＝10，σ＝0.1，所以质量在9.8～10.2kg的概率为P(10－2×0.1<X≤10＋2×0.1)＝0.9544．题型案例案例一

正态曲线反思感悟利用正态曲线的特点求参数μ，σ(1)正态曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，由此特点结合图象求出μ.(2)正态曲线在x＝μ处达到峰值

，由此特点结合图象可求出σ.案例二

利用正态分布求概率例2.在某项测量中，测量结果X服从正态分布N(1，σ2)(σ>0)，若X在(0,1)内取值的概率为0.4，则X在(0,2)内取值的概率为________．【解析】如图所示，易得P(0<X<1)＝P(1<X<2)，故P(0<X<2)＝2P(0<X<1)＝2×0.4＝0.8.【答案】0.8反思感悟利用正态分布的对称性求概率由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x＝μ对称的区间上概率相等.案例三

正态分布的应用反思感悟求正态变量X在某区间内取值的概率的基本方法(1)根据题目中给出的条件确定μ与σ的值.(2)将待求问题向[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]这三个区间进行转化.(3)利用X在上述区间的概率、正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1求出最后结果.变式训练3.某年级的一次信息技术测验成绩近似服从正态分布N(70,102)，该年级有2000名学生，如果规定低于60分为不及格，求成绩不及格的学生约有多少人？解：设学生的得分为随机变量X，X～N(70,102)，则μ＝70，σ＝10.成绩在60～80间的学生的概率约为：P(70－10＜X≤70＋10)＝0.6826，课堂小结1.知识清单：(1)正态曲线及其特点.(2)正态分布.(3)正态分布的应用，3σ原则.2.方法归纳：转化化归、数形结合.3.常见误区：概率区间转化不等价.备用工具&资料1.对∀x∈R，f(x)>0，它的图象在x轴的

.2.曲线与x轴之间的面积为

.3.曲线是单峰的，它关于直线

对称.4.曲线在

处达到峰值

.5.当|x|无限增大时，曲线无限接近

轴.知识点二正态曲线的特点上方1x＝μx＝μx6.当

一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着

的变化而沿x轴平移，如图①.σμ7.当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ较小时曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；σ较大时，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图②.思考1正态曲线f(x)＝

，x∈R中的参数μ，σ有何意义？答案μ可取任意实数，表示平均水平的特征数，E(X)＝μ；σ>0表示标准差，D(X)＝σ2.一个正态密度函数由μ，σ唯一