2024版高考数学微专题小练习专练62古典概型几何概型和条件概率理含解析

Page5专练62古典概型、几何概型和条件概率命题范围：随机事务概率、古典概型、几何概型．[基础强化]一、选择题1．[2024·全国乙卷]在区间(0，1)与(1，2)中各随机取1个数，则两数之和大于eq\f(7,4)的概率为()A．eq\f(7,9)B．eq\f(23,32)C．eq\f(9,32)D．eq\f(2,9)2．[2024·安徽省皖北协作区联考]在区间(0，2]上随机取一个数，则使事务“logeq\s\do9(\f(1,2))(3x－2)≥1”发生的概率为()A．eq\f(1,12)B．eq\f(1,6)C．eq\f(5,6)D．eq\f(5,12)3．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现；红灯持续时间为40秒，若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少须要等待15秒才出现绿灯的概率为()A．eq\f(7,10)B．eq\f(5,8)C．eq\f(3,8)D．eq\f(3,10)4．4位同学各自由周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为()A．eq\f(1,8)B．eq\f(3,8)C．eq\f(5,8)D．eq\f(7,8)5．[2024·全国甲卷]将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为()A．eq\f(1,3)B．eq\f(2,5)C．eq\f(2,3)D．eq\f(4,5)6．[2024·内蒙古包头模拟]将4个A和2个B随机排成一行，则2个B相邻且不排在两端的概率为()A．eq\f(2,3)B．eq\f(2,5)C．eq\f(1,3)D．eq\f(1,5)7．[2024·江西省景德镇质检]英国数学家贝叶斯(1701～1763)在概率论探讨方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断等做出了重要贡献．依据贝叶斯统计理论，事务A，B，eq\x\to(A)(A的对立事务)存在如下关系：P(B)＝P(B|A)·P(A)＋P(B|eq\x\to(A))·P(eq\x\to(A)).若某地区一种疾病的患病率是0.01，现有一种试剂可以检验被检者是否患病．已知该试剂的精确率为99%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有99%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为10%，即在被检验者未患病的状况下用该试剂检测，有10%的可能会误报阳性．现随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为()A．0.01B．0.0099C．0.1089D．0.18．俄罗斯某电视台记者，在莫斯科高校随机采访了7名高校生，其中有3名同学会说汉语，从这7人中随意选取2人进行深度采访，则这2人都会说汉语的概率为()A．eq\f(1,3)B．eq\f(2,3)C．eq\f(1,5)D．eq\f(1,7)9．[2024·陕西省西安中学四模]某人准备到某接种点接种新冠疫苗加强针，该接种点在前一天已用完全部疫苗，新的疫苗将于当天上午8∶00～11∶00之间随机送达，若他在9∶00～12∶00之间随机到达该接种点，则他到达时疫苗已送达的概率是()A．eq\f(2,9)B．eq\f(5,9)C．eq\f(2,3)D．eq\f(7,9)二、填空题10．[2024·全国乙卷(理)，13]从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为________．11．[2024·全国甲卷(理)，15]从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________．12．我国高铁发展快速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车全部车次的平均正点率的估计值为________．[实力提升]13．[2024·西安工业高校附中模拟]新冠疫情期间，网上购物成为主流．因保管不善，五个快递ABCDE上送货地址模糊不清，但快递小哥记得这五个快递应分别送去甲乙丙丁戊五个地方，全部送错的概率是()A．eq\f(3,10)B．eq\f(1,3)C．eq\f(11,30)D．eq\f(2,5)14．[2024·山西省临汾二模]第24届冬奥会开幕式于2024年2月4日在北京实行．本届冬奥会开幕式上的“大雪花”融合了中国诗词、中国结和剪纸技艺等中国传统文化元素，很好地将奥林匹克精神和中国人民的友情传递到世界各个角落，获得了世界人民的普遍赞誉．为弘扬中国优秀传统文化，某艺术中心将举办一次以“雪花”为主题的剪纸竞赛．要求参赛选手完成规定作品和创意设计作品各2幅，若选手共有不少于3幅作品入选，则该选手将获得“冰雪之韵”纪念品．某选手完成了规定作品和创意设计作品各6幅，指导老师评定其中规定作品4幅和创意设计作品3幅符合入选标准，现从这12幅作品中随机抽取规定作品和创意设计作品各2幅，则指导老师预料该选手获得“冰雪之韵”纪念品的概率是()A．eq\f(8,15)B．eq\f(16,75)C．eq\f(26,75)D．eq\f(32,75)15．[2024·江西省南昌第十中学月考]设不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0≤x≤3，,0≤y≤1))表示的平面区域为D，在区域D内随机取一点，则此点到坐标原点的距离小于2的概率是()A．eq\f(3\r(3)＋2π,18)B．eq\f(π－3,6)C．eq\f(\r(3)＋3π,12)D．eq\f(π,4)16．甲、乙两队进行篮球决赛，实行七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束).依据前期竞赛成果，甲队的主客场支配依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场竞赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是________．专练62古典概型、几何概型和条件概率1．B在区间(0，1)中随机取一个数，记为x，在区间(1，2)中随机取一个数，记为y，两数之和大于eq\f(7,4)，即x＋y>eq\f(7,4)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0<x<1,1<y<2,x＋y>\f(7,4))).在如图所示的平面直角坐标系中，点(x，y)构成的区域是边长为1的正方形区域(不含边界)，事务A“两数之和大于eq\f(7,4)”即x＋y>eq\f(7,4)中，点(x，y)构成的区域为图中阴影部分(不含边界)，由几何概型的概率计算公式得P(A)＝eq\f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))\s\up12(2)×\f(1,2),1×1)＝eq\f(23,32)，故选B.2．A由logeq\s\do9(\f(1,2))(3x－2)≥1可得0＜3x－2≤eq\f(1,2)，即eq\f(2,3)＜x≤eq\f(5,6)，所以事务“logeq\s\do9(\f(1,2))(3x－2)≥1”发生的概率为P＝eq\f(\f(5,6)－\f(2,3),2)＝eq\f(1,12).3．B行人在红灯亮起的25秒内到达路口，即满足至少须要15秒才出现绿灯，∴所求事务的概率P＝eq\f(25,40)＝eq\f(5,8).4．D4位同学各自由周六、周日两天中任选一天参加公益活动有24种不同的情形，其中4位同学都选周六有1种不同的情形，都选周日有1种不同的情形，∴所求事务的概率P＝1－eq\f(2,24)＝1－eq\f(1,8)＝eq\f(7,8).5．C解法一(将4个1和2个0视为完全不同的元素)4个1分别设为1A，1B，1C，1D，2个0分别设为0A，0B，将4个1和2个0随机排成一行有Aeq\o\al(\s\up1(6),\s\do1(6))种排法，将1A，1B，1C，1D排成一行有Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))种排法，再将0A，0B插空有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))种排法，所以2个0不相邻的概率P＝eq\f(Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5)),Aeq\o\al(\s\up1(6),\s\do1(6)))＝eq\f(2,3).解法二(含有相同元素的排列)将4个1和2个0支配在6个位置，则选择2个位置支配0，共有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6))种排法；将4个1排成一行，把2个0插空，即在5个位置中选2个位置支配0，共有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))种排法．所以2个0不相邻的概率P＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6)))＝eq\f(2,3).6．D由4个A不区分依次、2个B不区分依次，可得总状况有eq\f(Aeq\o\al(\s\up1(6),\s\do1(6)),Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)))＝15种，先排4个A有1种排法，在形成的3个中间的空中插入B即可，故2个B相邻且不排在两端的状况有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))＝3种，故概率为eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).7．C设用该试剂检测呈现阳性为事务B，被检测者患病为事务A，未患病为事务eq\x\to(A)，则P(B|A)＝0.99，P(A)＝0.01，P(B|eq\x\to(A))＝0.1，P(eq\x\to(A))＝0.99，故所求概率P(B)＝0.99×0.01＋0.1×0.99＝0.1089.8．D从7名高校生中任选2人共有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(7))＝21种不同的方法，其中2人都会说汉语的有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))＝3种不同的情形，∴所求事务的概率P＝eq\f(3,21)＝eq\f(1,7).9．D设8∶00为初始时刻0，则9∶00，10∶00，11∶00，12∶00分别为时刻1，2，3，4，设新的疫苗送达的时刻为x，某人到接种点的时刻为y，记他到达时疫苗已送达为事务A，则试验的全部结果所构成的区域为Ω＝{(x，y)|0≤x≤3，1≤y≤4}，事务A所构成的区域为A＝{(x，y)|y≥x，0≤x≤3，1≤y≤4}，如图阴影区域，则P(A)＝eq\f(SA,SΩ)＝eq\f(3×3－\f(1,2)×2×2,3×3)＝eq\f(7,9).10.eq\f(3,10)解析：从5名同学中随机选3名参加社区服务工作，共有Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))＝10(种)选法，甲、乙都入选有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))＝3(种)选法．依据古典概型的概率计算公式，甲、乙都入选的概率p＝eq\f(3,10).11.eq\f(6,35)解析：从正方体的8个顶点中任选4个，全部的取法有Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(8))＝70(种)，4个点共面的取法共有12种(表面有6个四边形，对角线可构成6个长方形，所以共有12种)，所以4个点在同一个平面的概率为eq\f(12,70)＝eq\f(6,35).12．0.98解析：经停该站高铁列车全部车次的平均正点率的估计值为eq\f(10×0.97＋20×0.98＋10×0.99,10＋20＋10)＝0.98.13．C5个快递送到5个地方有Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(5))＝120种方法，全送错的方法数：先分步：第一步快递A送错有4种方法，其次步考虑A所送位置对应的快递，假设A送到丙地，其次步考虑快递C，对C分类，第一类C送到甲地，则剩下B，D，E要均送错有2种可能(丁戊乙，戊乙丁)，其次类C送到乙丁戊中的一个地方，有3种可能，如送到丁地，剩下的B，D，E只有甲乙戊三地可送，全送错有3种可能(甲戊乙，戊甲乙，戊乙甲)，∴总的方法数为4×(1×2＋3×3)＝44，所求概率为P＝eq\f(44,120)＝eq\f(11,30).14．D从12幅作品中抽取规定作品和创意设计作品各2幅，共有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6))＝225种选法；若选手获得“冰雪之韵”纪念品，共有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))＋Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))＋Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\