备考2025届高考数学一轮复习强化训练第八章平面解析几何第5讲椭圆

第5讲椭圆1.[命题点1，2]已知△ABC中，A为动点，B（－2，0），C（2，0）且满意sinC＋sinB＝2sinA，则点A的轨迹方程为x216＋y212＝1（y解析依据正弦定理，由sinC＋sinB＝2sinA，得AB＋AC＝2BC，得AB＋AC＝8＞BC，所以点A的轨迹是以B（－2，0），C（2，0）为焦点的椭圆，且不包括（4，0），（－4，0）两点.（易忽视隐含条件：△ABC）设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0，y≠0），则2a＝8，2c＝4，即a＝4，c＝2，故b＝a2－c2＝23，所以点A的轨迹方程为x2.[命题点1，2/多选/2024重庆一中阶段练习]已知点A（－1，1），F1（－1，0），F2（1，0），动点P（x，y）满意：（x+1）2＋y2＋（A.点P的轨迹方程为x24＋yB.｜PA｜＋｜PF2｜＜5C.存在4个点P，使得△PAF1的面积为3D.｜PA｜＋｜PF1｜＞1解析对于A，由（x+1）2＋y2＋（x－1）2＋y2＝4得｜PF1｜＋｜PF2｜＝4＞｜F1F2｜＝2，所以点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，且焦距2c＝2，长轴长2a＝4故点P（x，y）的轨迹方程为x24＋y23＝1对于B，D，将（－1，1）代入椭圆方程，得14＋13＜1，所以点A（－1，1）在椭圆内，所以｜PA｜＋｜PF2｜＝｜PA｜＋2a－｜PF1｜＝2a＋｜PA｜－｜PF1｜≤2a＋｜AF1｜＝4＋1＝如图，当且仅当点P位于点P1的位置，即P1F1与x轴垂直时等号成立.｜PA｜＋｜PF1｜＝｜PA｜＋2a－｜PF2｜＝4＋｜PA｜－｜PF2｜，连接AF2，由于｜｜PA｜－｜PF2｜｜≤｜AF2｜＝5，所以｜PA｜－｜PF2｜≥－5，所以｜PA｜＋｜PF1｜＝4＋｜PA｜－｜PF2｜≥4－5＞1，如图，当且仅当点P位于点P2的位置时等号成立，故B错误，D正确.对于C，S△PAF1＝12｜AF1｜h＝12×1×h＝h2，其中h为点P到直线AF1的距离，若S△PAF1＝h2=32，则h＝3，由于当点3.[命题点1，3]如图，焦点在x轴上的椭圆x2a2＋y22＝1（a＞2）的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上位于第一象限内的一点，且直线F2A点，△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，若｜F1Q｜＝4，则该椭圆的离心率为144.解析如图所示，不妨设△APF1的内切圆在边AF1，AP上的切点分别为M，N，圆心为C，连接CM，CN，则易得｜CM｜＝｜CN｜，又因为△AF1F2为等腰三角形，故点C在y轴上，则由题意可知｜F1Q｜＝｜F1M｜＝｜F2N｜＝｜PN｜＋｜PF2｜＝｜PQ｜＋｜PF2｜＝4，由椭圆的定义知｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a，即｜PQ｜＋｜QF1｜＋｜PF2｜＝2a＝8，解得a＝4，所以c＝a2－2＝16－2＝14，所以椭圆的离心率e4.[命题点3角度1]若椭圆x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）上存在一点M，使得∠F1MF2＝90°（F1，F2分别为椭圆的左、右焦点），则椭圆的离心率e的取值范围为解析解法一设点M的坐标是（x0，y0），则｜x0｜＜a.∵F1（－c，0），F2（c，0），∴MF1＝（－c－x0，－y0），MF2＝（c－x0，－∵∠F1MF2＝90°，∴MF1·MF2＝－（c＋x0）（c－x0）＋y02＝0，即x又点M在椭圆上，即y02＝b2－∴x02＋y02＝b2＋c2a2x02∈[b2，a2），即∴c2≥b2＝a2－c2，即c2a2又0＜e＜1，∴22≤e＜1故椭圆的离心率e的取值范围是[22，1）解法二设椭圆与y轴的一个交点为P，∵椭圆上存在一点M，使∠F1MF2＝90°，∴∠F1PF2≥90°，则c≥b，∴c2≥b2＝a2－c2，即c2a2又0＜e＜1，∴22≤e＜1故椭圆的离心率e的取值范围为[22，1）5.[命题点3]直线y＝kx（k∈R）与椭圆x26＋y22＝1相交于A，B两点，若将x轴下方半平面沿着x轴翻折，使之与x轴上方半平面所成的角为直角，则｜AB｜的取值范围是（A.[2，6） B.[2，26] C.（2，26] D.（2，6]解析在平面直角坐标系中，设A（x1，y1），B（x2，y2），则易知x1＝－x2，y1＝－y2.由y可得（1＋3k2）x2－6＝0，可得x1x2＝－61+3k2，所以x将x轴下方半平面沿着x轴翻折，使之与x轴上方半平面所成的角为直角，如图所示，作BC⊥x轴，AD⊥x轴，垂足分别为C，D，则｜AB｜2＝｜BC｜2＋｜CD｜2＋｜AD｜2.由对称性可得｜BC｜2＝｜AD｜2＝y12＝k2x12