重庆知名中学2024年高一下学期3月月考数学试题+答案

重重庆南开中学校高2026级数学测试重一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.,,, 日则实数m的值为A.13C.−132D.−37.∆ABC所在平面内一点P满足=sin2θ⋅+cos2θ⋅,若=2，则cos2θ=() A.B.−C.D.−恒成立，则2a+b−cosc的值为()132229.已知、、均为非零向量，下列命题错误的是()λ∈R，λ+2x+12x−11−2sin2x)图象交于不同的两点A，B2x+1A.fA.方程ff(x)=x也一定没有实数根B.若a>0，则不等式ff(x)>x对一切实数都成立D.若a+b+c=0，则不等式ff(x)<x对一切实数都成立3_____3_____四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A,B,C满足(1)求的值；的最大值为3,求实数m的值.上运动.(1)求出最大时，求的值.重庆南开中学校高2026级数学测试A=πsinB= 1 4，则b=A.336 12【答案】B【解析】【分析】直接利用正弦定理，结合题中所给的条件，求得结果.【详解】根据正弦定理可得=，sinAsinB =124【答案】A【解析】【考点】向量的夹角公式.【思维拓展】（1）平面向量a与b的数量积为a⋅b＝义和它的取值范围：0≤θ≤1802）由向量的数量积的性质知|a|=3.下列各式中不能化简为的是()A.++B.+−C.−+D.+−)【答案】B【解析】【分析】根据平面向量加、减运算法则及运算律计算可得.对于B：PA+AB−BQ=PB−BQ，故B满足题意；对于C：QC−QP+CQ=QC+CQ+PQ=PQ，故C不合题意；对于D：+−=+++=，故D不合题意.4.已知单位向量，满足⋅=0，若向量=+，则sina,c=()A.B. A.B.【答案】B【解析】角函数平方关系求出sina,c.所以a=b=1，所以=7+22==3，2==accos==ac2所以sina,c=1−3=3.25.若平面向量，满足==⋅=2，则对于任意实数λ,λ+(1−λ)的最小值是()【答案】A【解析】【分析】设向量,夹角为θ,设(+)与λ+(1−λ)的夹角为γ,利用cosθ==和(+)⋅λ+(1−λ)=4+⋅=6，得到+⋅λ+(1−λ)cosγ=6，进而得到λa+(1−λ)b的【详解】由题意得，设向量,夹角为θ,则cosθ==，(+)⋅λ+(1−λ)=4+⋅=6，设(+)与λ+(1−λ)的夹角为γ,∴+⋅λ+(1−λ)cosγ=6，+2=2+2+2=12，∴λ+(1−λ)cosγ=，γ∈0,πλ+(1−λ)≥【点睛】关键点睛：解题关键在于利用cosθ==，得到(+)⋅λ+(1−λ)=4+⋅=6，关键点在于根据(+)与λ+(1−λ)的夹角γ,得出则实数m的值为【答案】A【解析】【分析】向量的数乘运算即可得出解出m即可.【详解】解：从而根据平面向量基本定理即可得出又1−2λ=7m=2+22.3力，属于中档题.7.∆ABC所在平面内一点P满足=sin2θ⋅+cos2θ⋅,若=2，则cos2θ=() A.B.−C.D.−【答案】C【解析】【分析】得cos2θ.【详解】∆ABC所在平面内一点P，=2所以=+=+所以sin2θ=1,cos2θ=2由余弦二倍角公式可得cos2θ=cos2θ−sin2θ= −=基础题.恒成立，则2a+b−cosc的值为()A.【答案】B【解析】3252【分析】设f(x)=sin(2x+ϕ)+1，得到f(x+c)=sin(2x+ϕ+2c)+1，根据题意转化为 a−bcos2c=0①bsin2c=0②,分b=0和sin2c=0，两种情况讨论，即可求解.【详解】设f(x)=2sinxcosx+4cos2x−1=sin2x+2cos2x+1=sin(2x+ϕ)+1，可得f(x+c)=sin(2x+ϕ+2c)+1，其中0<ϕ<，且tanϕ=2，即asin(2x+ϕ)−bsin(2x+ϕ+2c)+a−b=3恒成立，即asin(2x+ϕ)−bsin(2xa−bcos2c=0①若b=0，则由式①知a=0，显然不满足式③,所以b≠0，3.2所以cos2c=−1，由式①,③知a=−b=，所以2a+b−cosc=3.2角的范围的判定，防止错解.9.已知、、均为非零向量，下列命题错误的是()+【答案】ACD【解析】λ+2x+12x−11−2sin2x)图象交于不同的两点A，B2x+1A.f【答案】CD【解析】x0,−y0【详解】对A，因为f(x)==定义域为R，则f(x+1)=，f对B，由f)与函数f(x则A、B两点关于原点对称，且A、B的中点为坐标原点O，x09,y0−30−(−x0−90−90−30−0−=81−x+9−y−9+x−1+y=80，故D正确.A.方程ff(x)=x也一定没有实数根B.若a>0，则不等式ff(x)>x对一切实数都成立D.若a+b+c=0，则不等式ff(x)<x对一切实数都成立【答案】ABD【解析】【分析】依题意可得函数f(x)的图象与直线y=x没有交点，所以f(x)>x(a>0)或f(x)<x(a<0)恒成立，从而得到ff(x)>f(x)>x或ff(x)<f(x)<x恒成立，然后再逐一判断即可得出答案.【详解】因为方程f(x)=x无实数根，即函数f(x)的图象与直线y=x没有交点，所以f(x)>x(a>0)或f(x)<x(a<0)恒成立.因为ff(x)>f(x)>x或ff(x)<f(x)<x恒成立，所以ff(x)=x没有实数根，故A正确；若a>0，则不等式ff(x)>f(x)>x对一切实数x都成立，故B正确；若a<0，则不等式ff(x)<x对一切实数x都成立，【解析】【分析】直接利用向量在向量上的投影向量的定义求解.,·,·【解析】1【点睛】关键点点睛：根据几何图形，结合向量加减法的几进而求向量夹角余弦值.【解析】运算求解最值.【详解】设M=−−+−−+−−，++)++=3−2−++2+) =3−2+−1设OP=p=(x,y)，++22则p−3=++222最大时.+12+−1=3(1+cos+sinθ)+12+−1=3+12+−1由−≤sinθ+cosθ≤得，M≤3+12+−1=5+3.当且仅当θ=时，M取到最大值5+3.要搞清参变向量，从而把握变形方向；二是要重视向量本身数形兼具的特点，利(2)设向量【解析】【小问1详解】+=+−=+；∴OG=ACCB（2）已知A(1,cosx)，B(1+cosx,cosx)，x∈[−,0]，若函数f大值为3，求实数m的值. OA+OB.(x)=OA⋅OC−(2m+3)AB【解析】1−2.AC【分析】(1)化简得2=，即得的值2）先求出f(x)=cos2x−2mcosx+1，再换元利用二AC次函数的图像和性质求实数m的值.ACAC（2）易知OA=(1,cosx)，OB=(1+cosx,cosx)，AB=(cosx,0)，2则OC=(1+3cosx,cosx)，AB=cosx，2所以f(x)=cos2x−2mcosx+1，令t=cosx，则g(t)=t2−2mt+1，t∈[,1]，其对称轴方程是t=m.当m≤时，g(t)的最大值为g(1)=1−2m+1=3，解得m=−；第14页/共20页综上可知，实数m的值为【点睛】本题主要考查向量的线性运算和平面向量的数量积，考查二次函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.17.如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC,AD=2,∠ABC=60°,E是AD的中点.【解析】(2)建立平面直角坐标系，利用坐标法表示出数量积，再根据对勾函数的性质计算可得.【小问1详解】【小问2详解】设x,x₂∈(1,2)且x₁<x₂,则则2xx₂-3<0,则2xx₂-3<0,又x-x₂<0,第16页/共20页又ff(1)=5,,且18.如图，A、B是单位圆上的相异两定点(0为圆心),且∠AOB=0(θ为锐角).点C为单位圆上的动点，线段AC交线段OB于点M.(2)若θ=60°【答案】(1)【解析】【分析】(1)根据数量积的定义以及几何意义结合图形分析运算；根据向量的相关(2)①根据数量积结合三角函数运算求解；②结合图形分析可得根据向量的相关知识运算整理，再结合函数单调性与最值，运算求解.−−2.2=1 所以⋅=−cos+α−cosα=−cosα+sinα−cosα=−cosα+sinα=−cosα−sinα=−cosα+.（2）设=(0<λ<1)，则=+=+=(1−λ)+=t，所以=−,由=1得−=1，即2+2−2λ=，所以CM=1−λ=1−t2，AMλt2−t+12=2.SOM⋅2=2.SBMAMB⋅AM1−tt−t+1t−t+1(1)求出最大时，求的值.【答