2022-2023学年湘教版必修第二册二平面与平面垂直的性质课堂作业

2022-2023学年湘教版必修第二册二平面与平面垂直的性质

课堂作业

一.单项选择（）

1.如图，在等腰梯形ABCO中，AB^2AD=2BC=2CD=4现将△D4C沿对角线

4：;所在的直线翻折成4£>/0,记二面角0'—40-3大小为"（°<"<"）,则（）.

A.存在a,使得DA,平面。BCB,存在a,使得O'A,BC

C.不存在a,使得平面D'AC，平面ABCD.存在a,使得平面。"山，平面

ABC

2.如图，已知E,歹分别是正方体.8一4破2的棱BC,CG的中点，设a为

二面角A-AE-。的平面角，则sina=（）

2V2

A.3B.3

Vs2V2

C.3D.3

3.已知以，〃为两条不同的直线，a和2是两个不同的平面，下列为真命题的是（）

Am1n,mlla=nlag〃///?,/?_L。〃_La

Cm11n,m10=n1/3口mlla,nuanmlIn

4.如图，在四棱锥S-MCD中，四边形ABC。为矩形，AB=2s/2,BC=SC=SD=2,

BC,SD,则四棱锥S-ABCD的外接球的体积为（）

4乃8&乃

A.3B.3

16缶

C.3口.4缶

5.已知圆柱°。中，点A,B,°为底面圆周上的三点，8为圆柱的母线，AC=2,

NAC5=60。，则点A到平面BCD的距离为（）

A.若B.1C.2D.4

二.填空题()

6.已知三棱锥V—ABC,囱，AB=3C=1,AC=0,二面角V—AC—B

_j_

的余弦值为则该三棱锥的外接球的体积为.

5

7.已知三棱锥尸一人。内接于半径为5的球，NACS=90。，AC=7,BC=A/15；

则三棱锥。一体积的最大值为

8.已知正方体.8一440已的棱长为1,垂直于棱的截面分别与面对角线

A。.A?相交于点石.F.GH,则四边形跖GW面积的最大值

为.

9.如图，在棱长为1的正方体—a用G"中，点尸在线段AA上运动，给出以

下命题：

①异面直线qp与3c所成的角不为定值；

②平面ACP，平面Dg；

③二面角P—BJD的大小为定值；

④三棱锥。一8PG的体积为定值

其中真命题的序号为.

三.解答题()

10.如图，在四棱锥P—中，底面A6CD为直角梯形，AD//BC,/ADC=90。，

平面底面ABC。，NPBC=90°,PA=AD=2BC=2,CD=6.

(1)求证：PA=PD.(2)求点0到平面R钻的距离.

11.如图，在四棱锥P-A8c0中，底面为直角梯形，ADHBC,ZADC=9Q°,

AD=CD=3,BC=4,AMC为正三角形，点M,N分别在线段AD和尸C上，且

DMCNc1

---==2cos0=—

AMPN.设二面角尸—4)—3为。，且3.

(1)求证：PM//平面BDV；

(2)求直线PM与平面PBC所成角的正弦值；

(3)求三棱锥P-MN的体积.

12.在正方体至8—44GA中，E是棱§用的中点.

(1)求证：4。”平面小主.

(2)若尸是棱0G的中点，求证：平面用0歹//平面ACE.

参考答案与试题解析

1.【答案】B

【解析】取"中点£,连接理，交4C于F,因为AB=2AD=26C=2CD=4,

所以△AEDaBEC/EBC都是等边三角形，所以ACLED,/ZMC=/R4C=30°,

ZACB=90°9

在翻折过程中，^C±D'F,AC±FE所以/DFE=C.

对于A,假设存在£,使得D'A，平面DBC,因为DCu平面D'BC,

所以。A,DC,与D'A和Z7C成60。角矛盾，故A错误；

对B,当夕=90。时，平面D'ACL平面/比；因为BC,AC,所以3cL平面£>'AC,

又因为ZXAu平面D'AC,所以。'A_LBC,所以存在a,使得ZX4J_BC,故B正确；

对C,当夕=90。时，平面D'AC,平面/比；故c错误；

对D,假设存在a,使得平面次犯,平面ABC,过。口乍OWA5于弘

因为平面D'ABc平面ABC=AB,所以。'W平面ABC,

因为ACu平面ABC,所以AC,OM,

又因为AC，。'尸，DFciyM=D',所以AC,平面DMF,

又因为叱u平面所以ACLEW,

又因为ACLEE,所以府与FE重合,

即"与£重合，此时/。'跖=90°,

与NOZ/为等腰AE⑦'的一个底角矛盾，故D错误.

故选：B.

2.【答案】C

【解析】如图，设正方体ABCD-44GDI的棱长为2,

在平面ABCD内过点。作于点"，连接口"，DE

则ZD.HD即是二面角D.-AE-D的平面角，

.lr~^~~GS=-x2x2=—­AEDH=2

且AE=，2-+12=J5,由^AADDEE22

AD7sina=小金

DH

百，...I非，：3

解得.D}H

故选：：C.

3.【答案】C

【解析】A.m'njnlla,则“也可在平面1内，故选项A不正确.

B.汨甲/,则〃也可在平面a内，故选项B不正确.

Cm11n,m1(3=n1(3成立

两平行线人”,加工平面尸，加必垂直于6内的两条相交直线,

则“必定垂直于6内那两条相交直线，故故c正确.

D.向Unua,则私〃也可是异面直线的关系.故选项D不正确.

故选:C

4.【答案】D

【解析】根据四边形为矩形和BC,SO,利用线面垂直的判定定理得到

平面SCD,再利用面面垂直的判定定理得到平面A3CD,平面SCD,然后由

SC?+SZ?=。2,得到△SCD是等腰直角三角形，进而得到四棱锥S-ABCD的外接球

的球心为AC,BD的交点，然后求得半径即可.

详解：因为四边形ABC。为矩形，

所以BCLCD又BCLSD,且5£>门。£>=。，

所以3CL平面SCD

所以平面^CD±平面SCD

^SC2+SD2=CD\

所以ASCD是等腰直角三角形，

所以其外接圆的圆心是CD的中点，又四边形ABCD为矩形的外接圆的圆心为AC,BD的

交点，

所以四棱锥的外接球的球心为AC,BD的交点，

所以外接球的半径为R=小+阳=石，

V==4岳

所以四棱锥5-反8的外接球的体积为3

故选：D

【点睛】

本题主要考查四棱锥的外接球的半径及体积的求法以及线面垂直，面面垂直的判定定理

的应用，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.

5.【答案】A

【解析】如图所示，由题意知：CD，平面MC,CDu平面BCD,

二平面5co,平面ABC,又面BCOn面ABC=5C,

过点A作人后,,则AE，平面BCD,即AE为点A到平面BCD的距离，

sinZACB=——厂

在△ABC中，AC9故AE=ACsinZAC3=2xsin6()o=J3,

故选：A

6.【答案】辰

【解析】取AC中点为M,连结VM,BM,-：VA=VC=yf5>AB^BC=\；

w±AC,NVMfi就是二面角V—AC—B的平面角,

AMW2=5--=-BM~=1--=-

22222

cosZVMB=

913

2XV2-VB=46

所以忆＜2+482=^2,VC2+BC2=VB\NM钻与NVCB都是直角,

所以该三棱锥的外接球球心是避的中点，<)

7.【答案】空叵

3

【解析】要使三棱锥尸一人5。的体积最大，则平面B钻,平面45。，且P在底面A6。

上的射影为初中点°,利用已知条件求出三棱锥的高，再由棱锥体积公式求解即可.

详解：解：如图，在三角形ABC中，由4CB=90。，AC=7,BC=岳,

要使三棱锥尸一人5。的体积最大，则平面B钻,平面ABC,且「在底面AB。上的射

影为A3中点°,

连接尸。并延长，交三棱锥尸一至。的外接球于力,则功为球的直径，

设P0=h,则如0-/7)=4x4=16,解得〃=2(舍)或〃=8.

Ixlx7x^x8=^

二三棱锥的体积的最大值为323

28VH

故答案为：3.

【点睛】

本题考查三棱锥的体积的求法，考查空间想象能力与运算求解能力，属于中档题.

8.【答案】1

【解析】分析：如图所示，设EF=t,根据面面平行性质定理可得£F/ABD,从而有

△ABO为正三角形，则4口=’，从而得到FG=0-/,写出四边形面积表达式，再

利用基本不等式，即可求得最大值.

详解：如图所示，设EF=t(0<t<6,

截面垂直于棱AA,面EFGHII面ABCD,

根据面面平行性质定理可得EFHBD,同理,

...4G±BD,...截面EFGH为矩形，

・•・△43。为正三角形，二4"='=8'=0—',

同理ABFG为正三角形，二八7=0-

S=/(V2-O<(—)2=-t=—

22,等号成立当且仅当2,

2_

故答案为：2.

【点睛】

本题考查正方体中截面面积的最值.基本不等式的应用，考查函数与方程思想.转化与

化归思想，考查空间想象能力.运算求解能力.

9.【答案】②③④

【解析】对于①：因为在棱长为1的正方体AB。-A4GA中，

点P在线段A2上运动，由正方体的性质可知：CQIBC由正方形的性质可知：

BCj±BtC而£)iGnc/=G，℃i，G3u平面ABC［。］,所以gC_L平面48££>］,

而GPu平面A3C4,所以3QCF,

故这两个异面直线所成的角为定值90°,所以①不正确；

对于②：由正方体的性质可知：AA'AC,由正方形的性质可知：BD±AC)而

A41nAe=A,所以。5，平面明。，而AC平面AA〈，所以DBLAq

同理而DBCBC^B,Mgu平面Dg,所以平面Dg,

而4°u平面所以有平面4°尸，平面DBG,故②正确；

对于③：因为二面角P-g一0的大小，实质为平面A3GD与平面所成的二面

角而这两的平面为固定的不变的平面所以夹角也为定值，故③正确；

对于④：三棱锥。一3PG的体积还等于三棱锥的体积P—DBG的体积，

而平面。叫为固定平面且大小一定，又因为PeA%而他〃平面

所以点A到平面DBG的距离即为点尸到该平面的距离，

所以三棱锥的体积为定值，故④正确.

故答案为：②③④

10.【答案】（1）证明见解析；（2）2姮.

5

【解析】（1）取的中点Q,连接BQ,PQ「.■IBC,Q为的中点，

AD=2BC=29

•­BC//QD,8C=QQ,.•.四边形BCDQ为平行四边形，

:.BQ//CDZA£>C=90°,±BQ

•.•ZPBC=90°,ADIIBC,.-.AD±PB_

又尸5ClBQ=6,A。_L平面P5Q.

••.PQu平面P3Q,APQ±AD

又。为A。的中点，所以上4=P£>.

（2）,J平面Q4D，平面A5。。，平面PADC平面ABCD=M>,PQAD

.•.尸0,平面450。，」0,°§

PB=^PQ^+QB2=y/p^-AQ^+CD2=。4-1+3=瓜

.,"=”卜-*=；义限

SABD=-AD-CD=-x2xy/3=y/3,

"22,设点。到平面B45的距离为〃，

v=v彳S4D•

则由VD-PAB-VP-ABD，得3AB3,

・jS：-PQ6义62岳_

…s,叵5马叵

2.即点0到平面Q钻的距离为5.

11.【答案】（1）证明见解析；（2）逅；（3）逑

33

【解析】分析：（1）连接"C,交BD于E,由相似三角形可得平行关系，再由线面平行

的判定定理即可证明；

（2）取BC中点/，连接MF.PF,可证为M到平面PBC的距离，"Q也是A到

平面P3C的距离，即可求解；

（3）先利用线面平行的判定定理证明仞〃平面P3C,得到加。的长也是A点到平面

PBC的距离，再利用三棱锥的体积公式即可求解.

详解：解：（1）证明：如图所示：连接火，交BD于E,

,•-D---M---2c

.AM,AD=39

:.DM^2,AM=1,

•.ADIIBC,

:AMDESMBE,

CEBC_2_CN

前二而二二讯

■­PMIINE,

;NEu平面BDN,PAftZ平面BZW,

RW〃平面BZW；

（2）如图所示：取BC中点尸，连接MF.PF,

为正三角形，

•••PFLBC,

PF=PBsin60°=4•sin60°=2/

••・四边形ABC。为直角梯形，AD!IBC,ZADC=90°,FC=MD=2,

•••四边形加加C为矩形，

即WBC,

,:MFcPF=F,

，BC_L平面,

又•.・BCu平面P3C,

平面尸3CL平面PMF,

-.AD//BC,

二ADJ■平面PMF,

:.AD±MP,ADYMF,

即NPMF=6>,

设PM=x,由余弦定理得.PF°=PM°+MF?-2-PM•MF-cos。,

(2^=X2+32-2-X-3--

于是''3,

整理得f-2x-3=°,

解得：％=3或x=-l(舍去)，

取.中