2022年甘肃中考数学省卷

2022年甘肃省武威市中考数学试卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项.

1.（3分）-2的相反数是（B）

A.-2B.2C.±2D.A

2

2.(3分)若乙4=40°,则/A的余角的大小是(A)

A.50°B.60°C.140°D.160°

3.(3分)不等式3x-2>4的解集是(C)

A.x>-2B.x<-2C.x>2D.x<2

4.（3分）用配方法解方程7-2x=2时，配方后正确的是（C）

A.(jc+1)2=3B.(x+1)2=6C.(x-1)2=3D.(x-1)2=6

5.(3分)若AABCsADEF,BC=6,EF=4,则旭=(D)

DF

A.AB.旦c.2D.3

9432

6.（3分）2022年4月16日，神州十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，飞行任

务取得圆满成功.“出差”太空半年的神州十三号航天员乘组顺利完成既定全部任务，并

解锁了多个“首次”.其中，航天员们在轨驻留期间共完成37项空间科学实验，如图是

完成各领域科学实验项数的扇形统计图，下列说法错误的是（B）

A.完成航天医学领域实验项数最多

B.完成空间应用领域实验有5项

C.完成人因工程技术实验项数比空间应用领域实验项数多

D.完成人因工程技术实验项数占空间科学实验总项数的24.3%

7.（3分）大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1.蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实

用而且节省材料•，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形.如

图2,一个巢房的横截面为正六边形ABCDEF,若对角线AD的长约为8〃加，则正六边

形ABCQEF的边长为（D）

图2

B.2yf2mmC.2VD.4mm

图2

8.（3分）《九章算术》是中国古代的一部数学专著，其中记载了一道有趣的题：“今有凫起

南海，七日至北海：雁起北海，九日至南海.今凫雁俱起，问何日相逢？”大意是：今

有野鸭从南海起飞，7天到北海；大雁从北海起飞，9天到南海.现野鸭从南海、大雁从

北海同时起飞，问经过多少天相遇？设经过x天相遇，根据题意可列方程为（A）

A.（―+A）x=lB.（A-A）x=1C.（9-7）x=1D.（9+7）x=l

7979

9.（3分）如图，一条公路（公路的宽度忽略不计）的转弯处是一段圆弧（源），点。是这

段弧所在圆的圆心，半径OA=90m,圆心角/AO8=80°,则这段弯路（金）的长度为

（C）

C.40m%D.

10.（3分）如图1,在菱形A8C。中，NA=60°,动点尸从点A出发，沿折线A。一OC

-CB方向匀速运动，运动到点8停止.设点P的运动路程为x,ZVIPB的面积为y,y

与x的函数图象如图2所示，则4B的长为（B）

【解析】在菱形A8CD中，乙4=60°,

为等边三角形，

设由图2可知，△48。的面积为3禽，

：.^ABD的面积=YL』=3M，

4

解得：0=2^3>

故选：B.

二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.

11.（3分）计算：3a%“2=3a§.

12.（3分）因式分解：-4/〃=加（5+2）（机-2）.

13.（3分）若一次函数、=履-2的函数值），随着自变量x值的增大而增大，则22（答

案不唯一）（写出一个满足条件的值）.

14.（3分）如图，菱形ABC。中，对角线AC与3。相交于点0,若AB=2遥an,AC=4cm,

15.（3分）如图，。0是四边形A8CO的外接圆，若NA8C=110°,则/ADC=70°.

D

16.（3分）如图，在四边形A8CD中，AB//DC,AD//BC,在不添加任何辅助线的前提下,

要想四边形ABCD成为一个矩形,只需添加的一个条件是NA=90°（答案不唯一）.

17.（3分）如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路

线是一条抛物线.若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间［（单

位：s）之间具有函数关系：h=-5r+20r,则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间t

=2s.

18.（3分）如图，在矩形A8CD中，AB=6cm,BC=9cm,点、E,f分别在边A8,8c上,

AE=2cm,BD,EF交于点、G,若G是EF的中点，则BG的长为_/而_c，m.

【解析】•••四边形A8CO是矩形,

：.AB=CD=6cm,NABC=NC=90°,AB//CD,

：.ZABD=ZBDC,

'：AE=2cm,

BE=AB-AE=6-2=4(cm),

：G是EF的中点，

:.EG=BG=LEF,

2

：.ZBEG=ZABD,

：.NBEG=NBDC,

...△EBFsADCB,

.EB=BF

*'DCCB"

•4=BF

'"6V

:.BF=6,

£/Z=VBE2+BF2=V42+62~2-*^13(M),

：.BG=^EF=yfl3(cm),

2

故答案为：V13-

三、解答题：本大题共5小题，共26分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演

算步骤.

19.(4分)计算：V2xV3-V24.

解：原式-2^/6

=-氓.

20.(4分)化简：(x+3)2)x2+3x-3.

x+2x+2x

解：原式=(x+3)-x+2、一旦

x+2x(x+3)x

—x+3_3

x+3-3

x

=1.

21.（6分）中国清朝末期的几何作图教科书《最新中学教科书用器画》由国人自编（图I）,

书中记载了大量几何作图题，所有内容均用浅近的文言文表述，第一编记载了这样一道

几何作图题：

原文释义

甲乙丙为定直角.如图2,/A8C为直角，

以乙为圆心，以任何半径作丁戊弧；以点B为圆心，以任意长为半径画弧，交射

以丁为圆心，以乙丁为半径画弧得交点己:线BA,BC分别于点。，E；

再以戊为圆心，仍以原半径画弧得交点庚;以点D为圆心，以BD长为半径画弧与箍交

乙与己及庚相连作线.

于点F；

再以点E为圆心，仍以8。长为半径画弧与

府交于点G；

作射线BF,BG.

（1）根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图2中完成这道作图题（保留作

图痕迹，不写作法）；

（2）根据（1）完成的图，直接写出/DBG,NGBF,/尸BE的大小关系.

图2

(2)NDBG=NGBF=NFBE.

理由：连接。月EG,

即△8。尸和△BEG均为等边三角形，

:.NDBF=NEBG=60°,

VZABC=90",

:.NDBG=NGBF=NFBE=30°.

22.（6分）溺陵桥位于甘肃省渭源县城南清源河（渭河上游）上，始建于明洪武初年，因

“渭水绕长安，绕濡陵，为玉石栏杆'瀛陵桥”之语，得名满陵桥（图1）,该桥为全国独

一无二的纯木质叠梁拱桥.某综合实践研究小组开展了测量汛期某天“浦陵桥拱梁顶部

到水面的距离”的实践活动，过程如下：

方案设计：如图2,点C为桥拱梁顶部（最高点），在地面上选取A,B两处分别测得/

CAF和/CBF的度数（A,B,D,F在同一条直线上），河边D处测得地面AD到水面

EG的距离£>E（C,F,G在同一条直线上，DF//EG,CGLAF,FG=DE）.

数据收集：实地测量地面上A,B两点的距离为88”，地面到水面的距离。E=15”，Z

CAF=26.6°,NCBF=35°.

问题解决：求濡陵桥拱梁顶部C到水面的距离CG（结果保留一位小数）.

参考数据:sin26.6°=0.45,cos26.6°-0.89,tan26.6°-0.50,sin35°弋0.57,cos35°

«=0.82,tan35°々0.70.

根据上述方案及数据，请你完成求解过程.

图1图2

解：设BF—xm,

由题意得：

DE=FG=\.5m,

在RlZXCB/中，ZCBF=35°,

：.CF=BF-tan35°^O.lx(w),

VAfi=8.8m,

：.AF=AB+BF=(8.8+x)m,

在RtZ\4C尸中，ZC4F=26.6°,

.".tan26.6°=受=°，7'=0.5,

AF8.8+x

・'.x=22,

经检验：x=22是原方程的根，

•••CG=CF+FG=0.7x+1.5=16.9(m),

二灌陵桥拱梁顶部C到水面的距离CG约为16.9m.

23.(6分)第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4至20日在我国北京一张家口成功

举办，其中张家口赛区设有四个冬奥会竞赛场馆，分别为：A.云顶滑雪公园、B.国家

跳台滑雪中心、C.国家越野滑雪中心、D.国家冬季两项中心.小明和小颖都是志愿者,

他们被随机分配到这四个竞赛场馆中的任意一个场馆的可能性相同.

(1)小明被分配到/).国家冬季两项中心场馆做志愿者的概率是多少？

(2)利用画树状图或列表的方法，求小明和小颖被分配到同一场馆做志愿者的概率.

解：(1)小明被分配到n国家冬季两项中心场馆做志愿者的概率是』；

4

(2)画树状图如下：

开始

ABCD

/Ax

ABCDABCDABCDABCD

共有16种等可能的结果，其中小明和小颖被分配到同一场馆做志愿者的结果有4利J

小明和小颖被分配到同一场馆做志愿者的概率为_左=上.

164

四、解答题：本大题共5小题，共40分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演

算步骤.

24.（7分）受疫情影响，某初中学校进行在线教学的同时，要求学生积极参与“增强免疫

力、丰富学习生活”为主题的居家体育锻炼活动，并实施锻炼时间目标管理.为确定一

个合理的学生居家锻炼时间的完成目标，学校随机抽取了30名学生周累计居家锻炼时间

（单位：力）的数据作为一个样本，并对这些数据进行了收集、整理和分析，过程如下：

【数据收集】

786591046751112876

4636891010136783510

【数据整理】

将收集的30个数据按A,B,C,D,E五组进行整理统计，并绘制了如图所示的不完整

的频数分布直方图（说明：A.3Wf<5,8.5W/V7,C.70<9,D9W/C11,E.llWrW13,

其中f表示锻炼时间）；

【数据分析】

统计量平均数众数中位数

锻炼时间（/?）7.3m7

请根据以上信息解答下列问题：

（1）填空：m=6；

（2）补全频数分布直方图；

（3）如果学校将管理目标确定为每周不少于7〃，该校有600名学生，那么估计有多少名

学生能完成目标？你认为这个目标合理吗？说明理由.

频数分布直方图

•・"7=6.

故答案为：6.

（2）补全频数分布直方图如下:

频数分布直方图

30

答：估计有340名学生能完成目标.

目标合理.

理山：过半的学生都能完成目标.

25.（7分）如图，B,C是反比例函数>=区（ZW0）在第一象限图象上的点，过点B的直

X

线y=x-1与x轴交于点A,轴，垂足为。，CD与AB交于点E,OA=ADfCD

=3.

（1）求此反比例函数的表达式；

即直线y=x-I与x轴交于点A的坐标为（1,0）,

：.OA=]=AD,

又：CD=3,

.♦.点C的坐标为(2,3),

而点C(2,3)在反比例函数y=区的图象上，

X

"=2X3=6,

反比例函数的图象为y=g

X

y=X-1(=n

(2)方程组16的正数解为1X-3,

y=-\y=2

X

・••点3的坐标为(3,2),

当％=2时，y=2-1=1,

・••点£的坐标为(2,1),即£>E=1,

：,EC=3-1=2,

.,•SAfiC£=—X2X(3-2)=1，

2

答：△3CE的面积为1.

26.(8分)如图，ZVIBC内接于。0,AB,C£>是。。的直径，E是。B延长线上一点，且

ZDEC=ZABC.

(1)求证：CE是。。的切线；

(2)若DE=4娓,AC=2BC,求线段CE的长.

(1)证明：:AB是00的直径,

/.ZACB=90°,

,NA+NABC=90°,

,:BC=BC,

/.NA=NO,

又•：NDEC=ZABC,

.,.ZD+ZD£C=90°,

AZDCE=90Q,

J.CDLCE,

；oc是。。的半径，

.♦.CE是。。的切线；

(2)解：由(1)知，CDYCE,

在RtAABC和RtADEC中，

VZA=ZD,AC=2BC,

tanA=tanD,

呷BC二CE_1,

ACCD2

：.CD=2CE,

在RlZXCOE中，CB+C惮MD烂,DE=4遥,

：.(2CE)2+CE2=(4遥)2,

解得CE=4,

即线段CE的长为4.

27.(8分)已知正方形ABC£>,E为对角线AC上一点.

【建立模型】

(1)如图1,连接BE,DE.求证：BE=DE；

【模型应用】

(2)如图2,尸是。E延长线上一点，FBIBE,EF交AB于点、G.

①判断△F8G的形状并说明理由：

②若G为AB的中点，且A8=4,求4尸的长.

【模型迁移】

(3)如图3,尸是OE延长线上一点，FBLBE,EF交AB于点G,BE=BF.求证：GE

=(&-1)D£.

图3

(1)证明：YAC是正方形48co的对角线,

：.AB=AD,ZBAE=ZDAE=45°,

VAE=A£,

/./\ABE^/\ADE(SAS),

:,BE=DE；

(2)解：①△FBG为等腰三角形，理由：

•.•四边形A8c。是正方形，

AZGAD=90°,

・・・NAGO+N4Z)G=90°,

由(1)知，AABE^AADE,

・♦・NADG=/EBG,

:,NAGD+/EBG=90°,

■:PB1BE,

：.ZFBG^ZEBG=90Q,

:.ZAGD=ZFBG,

■:/AGD=/FGB,

:・/FBG=/FGB,

:・FG=FB,

•••△P8G是等腰三角形；

②如图，过点尸作F77L48丁从

・・•四边形A8CO为正方形，点G为A3的中点，A8=4,

：.AG=BG=2,AD=4,

由①知，FG=FB,

:・GH=BH=\,

:.AH=AG+GH=3,

在RtAFHG与RtADAG中，:ZFGH=NOG4,

/.tanZFGH=tanZDGAf

.FHAD_?

GHAG

:.FH=2GH=2,

22

在尸中，^=VAH+FH；

（3）•：FBIBE,

:.NFBG=90°,

在RtZ\EBF中，BE=BF,

：.EF=y/2BE,

由（1）知，BE=DE,

由（2）知，FG=BF,

：.GE=EF-FG=®BE-BF=&DE-DE=-I）DE.

28.(10分)如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y=[(x+3)(x-a)与x轴交于A,B

(4,0)两点，点C在y轴上，且OC=OB,D,E分别是线段AC,A8上的动点(点£),

E不与点A，B,C重合).

(1)求此抛物线的表达式；

(2)连接。E并延长交抛物线于点P,当。EJ_x轴，且AE=1时，求。尸的长；

(3)连接即.

①如图2,将△BCO沿x轴翻折得到△BFG,当点G在抛物线上时，求点G的坐标；

②如图3,连接CE,当CD=4E时，求BO+CE的最小值.

图1图2图3

解：(1)•.•抛物线)，=工(x+3)(x-a)与x轴交于4,B(4,0)两点，

4

(4+3)(4-a)=0,

4

解得。=4,

.*.y=A(x+3)(x-4)=-kr2--lx-3,

444

即抛物线的表达式为y=-V--3；

44

(2)在(x+3)(x-4)中，令y=0,得x=-3或4,

.4

(-3,0),OA=3,

"：OC=OB=4,：.C(0,4),

"：AE=l,

：.DE=AE'ta