2024江苏中考数学二轮专项训练 题型一 规律探索题 （含答案）

2024江苏中考数学二轮专项训练题型一规律探索题类型一数式规律探索典例精讲例1(1)若一列数：1，3，5，7，9，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是__________，这n(n≥1)个数的和为________；(2)若一列数：1，－1，1，－1，1，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是________；(3)若一列数：1，4，9，16，25，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是________；(4)若一列数：2，5，10，17，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是________；(5)若一列数：4，7，10，13，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是________；(6)若一列数：eq\f(1,2)，1，eq\f(5,4)，eq\f(7,5)，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是________；(7)按一定规律排列的代数式a2，3a4，5a6，7a8，…，则第n(n≥1)个代数式是________；(8)给定一列分式：eq\f(x3,y2)，－eq\f(x5,y4)，eq\f(x7,y6)，－eq\f(x9,y8)，…，(其中y≠0)根据你发现的规律，试写出第9个分式________；(9)按一定规律排列的一列数：21，22，23，25，28，213，…，若x、y、z表示这列数中的连续三个数，猜想x、y、z满足的关系式是________；(10)观察下列图形中各数之间的规律，则a的值为________；例1题图(11)观察下列数字：在上述数字宝塔中，第4层的第2个数是17，请问第19层的第20个数是________．满分技法1.对于循环型的数字规律探索题：(1)先找出循环周期n；(2)用N(设问中给出的第N次变化)除以n，当商b余m(0≤m<n)时，第N次变化对应的数即为一个循环变化中第m次变化后所对应的数．2.在求多个分数的和时，常考虑拆项相消法：(1)eq\f(1,n（n＋1）)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)；(2)eq\f(k,n（n＋k）)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋k)；(3)eq\f(1,n（n＋k）)＝(eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋k))×eq\f(1,k).3.数阵规律探究求某个数字的位置或者某个位置的数字时需分析数阵中的数字排列方式：(1)每行、列的个数；(2)相邻数据的变化特点，并且观察某行或列具有的某些特别的性质(如完全平方数，正整数)等．4.对于“杨辉三角”型规律探究，常涉及到以下规律：(1)每个数等于它上方两数之和；(2)第n行数字之和为2n－1；(3)(a＋b)n的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角形的第(n＋1)行中的每一项．针对训练1.美妙的音乐能陶冶情操，催人奋进，根据下面五线乐谱中的信息，确定最后一个音符(即“？”处)的时值长应为()第1题图A.eq\f(3,4) B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,8)2.人们把eq\f(\r(5)－1,2)这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的0.618法就应用了黄金分割数．设a＝eq\f(\r(5)－1,2)，b＝eq\f(\r(5)＋1,2)，得ab＝1，记S1＝eq\f(1,1＋a)＋eq\f(1,1＋b)，S2＝eq\f(1,1＋a2)＋eq\f(1,1＋b2)，…，S10＝eq\f(1,1＋a10)＋eq\f(1,1＋b10).则S1＋S2＋…＋S10＝________．3.如图，被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．图中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第1个数记为a1，第2个数记为a2，第3个数记为a3，…，第n个数记为an，则a6＋a199的值为______．第3题图类型二图形规律探索典例精讲例2如图，在平面直角坐标系中，直线l为正比例函数y＝x的图象，点A1的坐标为(1，0)，过点A1作x轴的垂线交直线l于点D1，以A1D1为边作正方形A1B1C1D1；过点C1作直线l的垂线，垂足为A2，交x轴于点B2，以A2B2为边作正方形A2B2C2D2；过点C2作x轴的垂线，垂足为A3，交直线l于点D3，以A3D3为边作正方形A3B3C3D3，…，按此规律操作下去，所得的正方形AnBnCnDn的面积是________．例2题图满分技法图形成倍递变规律题常考的两种类型：1．点坐标成倍递变：(1)根据图形的变换规律分别求出第1个点的坐标，第2个点的坐标，第3个点的坐标，第4个点的坐标，…，归纳出后一个点的坐标与前一个点的坐标之间存在的倍分关系；(2)根据(1)中得到的倍分关系，得到第M个点的坐标．2．线段(面积)成倍递变：已知一个几何图形的边长(周长或面积)，通过一定变换确定第M次变换后的图形的边长(周长或面积)．解题步骤是：第一步：根据题意可得出第一次变换前图形的边长(周长或面积)；第二步：通过计算得到第一次变换后、第二次变换后、第三次变换后、第四次变换后图形的边长(周长或面积)，归纳出每次变换后的图形的边长(周长或面积)与序数n之间的关系式，并验证；第三步：根据第二步中的关系式，得到第M次变换后的图形的边长(周长或面积)．针对训练4.将黑色圆点按如图所示的规律进行排列：第4题图图中黑色圆点的个数依次为：1，3，6，10，…，将其中所有能被3整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第33个数为________．5.如图，多边形A1A2A3A4A5A6、多边形A7A8A9A10A11A12、…、多边形A6n－5A6n－4A6n－3A6n－2A6n－1A6n(n为正整数)均为正六边形，它们的边长依次是2、4、…、2n，顶点A6、A12、…、A6n均在x轴上，点O是所有正六边形的中心，则A2022的坐标是________．第5题图6.如图，直线y＝－x＋1分别交x轴、y轴于点A、B，点O1、A1分别是BO、BA的中点，连接A1O1、AO1；O2、A2分别是BO1、BA1的中点，连接A2O2、A1O2，…，按此规律进行下去，则On到AB的距离是________．第6题图参考答案典例精讲例1解：(1)2n－1，n2；(2)(－1)n＋1；(3)n2；(4)n2＋1；(5)3n＋1；(6)eq\f(2n－1,n＋1)；【解析】观察这列数，可将1写成eq\f(3,3).则这列数为eq\f(1,2)，eq\f(3,3)，eq\f(5,4)，eq\f(7,5)，…，从中得到规律：分子是连续奇数1，3，5，7，…，则第n个数的分子是2n－1，分母比其序号大1，则第n个数的分母是n＋1，∴第n个数为eq\f(2n－1,n＋1).(7)(2n－1)a2n；(8)eq\f(x19,y18)；【解析】根据式子eq\f(x3,y2)，－eq\f(x5,y4)，eq\f(x7,y6)，－eq\f(x9,y8)，…，发现分母分别是y2，y4，y6，y8，…，故第9个式子分母是y9×2＝y18，分子分别是x3，x5，x7，x9，…，故第9个式子的分子是x2×9＋1＝x19，再观察符号发现奇数项为正，偶数项为负，∴第9个式子应该是eq\f(x19,y18).(9)xy＝z；【解析】∵21×22＝23，22×23＝25，23×25＝28，25×28＝213，…，∴x、y、z满足的关系式是xy＝z.(10)226；【解析】观察发现：2＝1×2－0，10＝3×4－2，26＝5×6－4，50＝7×8－6，…，∴a＝15×16－14＝226.(11)380.【解析】由题目中的数字可知，第1层有2个数，最后的数字是1×2＝2，第2层有3个数，最后的数字是2×3＝6，第3层有4个数，最后的数字是3×4＝12，第4层有5个数，最后的数字是4×5＝20，…，故第19层的第20个数是19×20＝380.针对训练1.C【解析】根据下面的分数表示，每个节拍上的分数之和都是eq\f(3,4)，∴最后一个节拍上的时值长为eq\f(3,4)－eq\f(1,2)＝eq\f(1,4).2.10【解析】∵ab＝1，∴Sn＝eq\f(1,1＋an)＋eq\f(1,1＋bn)＝eq\f(2＋an＋bn,（1＋an）（1＋bn）)＝eq\f(2＋an＋bn,1＋（ab）n＋an＋bn)＝eq\f(2＋an＋bn,2＋an＋bn)＝1，∴S1＝S2＝S3＝…＝Sn＝1，∴S1＋S2＋S3＋…＋S10＝10.3.19921【解析】a1＝1，a2＝3＝1＋2，a3＝6＝1＋2＋3，a4＝10＝1＋2＋3＋4，a5＝15＝1＋2＋3＋4＋5，∴a6＝1＋2＋3＋4＋5＋6＝21，a199＝1＋2＋…＋199＝eq\f(199×（1＋199）,2)＝19900，∴a6＋a199＝21＋19900＝19921.典例精讲例2(eq\f(9,2))n－1【解析】由题意可知，△A2C1D1和△B1B2C1都是等腰直角三角形，∴A2C1＝eq\f(\r(2),2)C1D1，B2C1＝eq\r(2)B1C1，∴第二个正方形的边长是第一个正方形边长的(eq\f(\r(2),2)＋eq\r(2))倍，即eq\f(3\r(2),2)倍，同理可求出第三个正方形的边长是第二个正方形边长的eq\f(3\r(2),2)倍，∴第n个正方形的边长是第1个正方形边长的(eq\f(3\r(2),2))n－1倍，∵A1(1，0)，∴第一个正方形的边长是1，∴第n个正方形的面积为(eq\f(9,2))n－1.针对训练4.1275【解析】第①个图形中的黑色圆点的个数为eq\f(1×（1＋1）,2)＝1，第②个图形中的黑色圆点的个数为eq\f(2×（2＋1）,2)＝3，第③个图形中的黑色圆点的个数为eq\f(3×（3＋1）,2)＝6，第④个图形中的黑色圆点的个数为eq\f(4×（4＋1）,2)＝10，…，第n个图形中的黑色圆点的个数为eq\f(n（n＋1）,2)，则这列数为1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，…，其中每3个数中，都有2个能被3整除且为后两个数，33÷2＝16……1，16×3＋2＝50，则第33个能被3整除的数为原数列中第50个数，即为eq\f(50×（50＋1）,2)＝1275.5.(674，0)【解析】观察图形可知，六边形的顶点是6个为一个循环，∵2022÷6＝337，∴点A2022是第337个正六边形的顶点，且在x轴上，如解图，连接OA11，则OA11过点A5，∵点O是所有正六边形的中心，易得△OA5A6、△OA11A12…都是等边三角形，∴OA6＝2、OA12＝4、…、OA2022＝337×2＝674，∴点A2022的坐标是(674，0)．第5题解图6.eq\r(2)×eq\f(1,2n＋1)【解析】把x＝0代入y＝－x＋1得，y＝1，∴OB＝1，把y＝0代入y＝－x＋1得，x＝1，∴OA＝1，∴OA＝OB，∵点O1、A1分别是BO、BA的中点，∴OO1＝eq\f(1,2)OB＝eq\f(1,2)，O1A