高中一轮复习数学板块命题点专练（四）基本初等函数（Ⅰ）及函数与方程

板块命题点专练(四)基本初等函数（Ⅰ）及函数与方程命题点一基本初等函数(Ⅰ)命题指数：☆☆☆☆☆难度：高、中题型：选择题、填空题、解答题1.(2013·浙江高考)已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)>f(1)，则()A．a>0,4a＋b＝0 B．a<0,4a＋b＝0C．a>0,2a＋b＝0 D．a<0,2a＋b＝0解析：选A由f(0)＝f(4)得f(x)＝ax2＋bx＋c的对称轴为x＝－eq\f(b,2a)＝2，∴4a＋b＝0，又f(0)>f(1)，∴f(x)先减后增，于是a>0.2．(2017·全国卷Ⅰ)设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则()A．2x<3y<5z B．5z<2x<3yC．3y<5z<2x D．3y<2x<5z解析：选D设2x＝3y＝5z＝k>1，∴x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k.∵2x－3y＝2log2k－3log3k＝eq\f(2,logk2)－eq\f(3,logk3)＝eq\f(2logk3－3logk2,logk2·logk3)＝eq\f(logk32－logk23,logk2·logk3)＝eq\f(logk\f(9,8),logk2·logk3)>0，∴2x>3y；∵3y－5z＝3log3k－5log5k＝eq\f(3,logk3)－eq\f(5,logk5)＝eq\f(3logk5－5logk3,logk3·logk5)＝eq\f(logk53－logk35,logk3·logk5)＝eq\f(logk\f(125,243),logk3·logk5)<0，∴3y<5z；∵2x－5z＝2log2k－5log5k＝eq\f(2,logk2)－eq\f(5,logk5)＝eq\f(2logk5－5logk2,logk2·logk5)＝eq\f(logk52－logk25,logk2·logk5)＝eq\f(logk\f(25,32),logk2·logk5)<0，∴5z>2x.∴5z>2x>3y.3．(2015·山东高考)若函数f(x)＝eq\f(2x＋1,2x－a)是奇函数，则使f(x)>3成立的x的取值范围为()A．(－∞，－1) B．(－1,0)C．(0,1) D．(1，＋∞)解析：选C因为函数y＝f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即eq\f(2－x＋1,2－x－a)＝－eq\f(2x＋1,2x－a).化简可得a＝1，则eq\f(2x＋1,2x－1)>3，即eq\f(2x＋1,2x－1)－3>0，即eq\f(2x＋1－32x－1,2x－1)>0，故不等式可化为eq\f(2x－2,2x－1)<0，即1<2x<2，解得0<x<1，故选C.4．(2015·天津高考)已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为()A．a<b<c B．a<c<bC．c<a<b D．c<b<a解析：选C由f(x)＝2|x－m|－1是偶函数可知m＝0，所以f(x)＝2|x|－1.所以a＝f(log0.53)＝2|log0.53|－1＝2log23－1＝2，b＝f(log25)＝2|log25|－1＝2log25－1＝4，c＝f(0)＝2|0|－1＝0，所以c<a<b.5．(2012·浙江高考)设a＞0，b＞0.()A．若2a＋2a＝2b＋3b，则a＞bB．若2a＋2a＝2b＋3b，则a＜bC．若2a－2a＝2b－3b，则a＞bD．若2a－2a＝2b－3b，则a＜b解析：选A当0<a≤b时，显然2a≤2b,2a≤2b<3b，∴2a＋2a<2b＋3b，即2a＋2a≠2b＋3b成立．∴它的逆否命题也不成立；若2a＋2a＝2b＋3b，则a>b成立，故A正确，B错误．当0<a≤b时，由2a≤2b,2a<3b，知2a－2a与2b－3b的大小关系不确定，∴C不正确，同理D不正确．6．(2016·浙江高考)已知函数f(x)满足：f(x)≥|x|且f(x)≥2x，x∈R.()A．若f(a)≤|b|，则a≤bB．若f(a)≤2b，则a≤bC．若f(a)≥|b|，则a≥bD．若f(a)≥2b，则a≥b解析：选B∵f(x)≥|x|，∴f(a)≥|a|.若f(a)≤|b|，则|a|≤|b|，A项错误．若f(a)≥|b|且f(a)≥|a|，无法推出a≥b，故C项错误．∵f(x)≥2x，∴f(a)≥2a.若f(a)≤2b，则2b≥2a，故b≥a，B项正确．若f(a)≥2b且f(a)≥2a，无法推出a≥b，故D项错误．故选B.7．(2017·江苏高考)已知函数f(x)＝x3－2x＋ex－eq\f(1,ex)，其中e是自然对数的底数．若f(a－1)＋f(2a2)≤0，则实数a的取值范围是________．解析：由f(x)＝x3－2x＋ex－eq\f(1,ex)，得f(－x)＝－x3＋2x＋eq\f(1,ex)－ex＝－f(x)，所以f(x)是R上的奇函数．又f′(x)＝3x2－2＋ex＋eq\f(1,ex)≥3x2－2＋2eq\r(ex·\f(1,ex))＝3x2≥0，当且仅当x＝0时取等号，所以f(x)在其定义域内单调递增．因为f(a－1)＋f(2a2)≤0，所以f(a－1)≤－f(2a2)＝f(－2a2)，所以a－1≤－2a2，解得－1≤a≤eq\f(1,2)，故实数a的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2))).答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)))8．(2015·浙江高考)设函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)．(1)当b＝eq\f(a2,4)＋1时，求函数f(x)在[－1,1]上的最小值g(a)的表达式；(2)已知函数f(x)在[－1,1]上存在零点，0≤b－2a≤1，求b的取值范围．解：(1)当b＝eq\f(a2,4)＋1时，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(a,2)))2＋1，故对称轴为直线x＝－eq\f(a,2).当a≤－2时，g(a)＝f(1)＝eq\f(a2,4)＋a＋2.当－2＜a≤2时，g(a)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)))＝1.当a＞2时，g(a)＝f(－1)＝eq\f(a2,4)－a＋2.综上，g(a)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a2,4)＋a＋2，a≤－2，,1，－2＜a≤2，,\f(a2,4)－a＋2，a＞2.))(2)设s，t为方程f(x)＝0的解，且－1≤t≤1，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(s＋t＝－a，,st＝b，))由于0≤b－2a≤1，因此eq\f(－2t,t＋2)≤s≤eq\f(1－2t,t＋2)(－1≤t≤1)．当0≤t≤1时，eq\f(－2t2,t＋2)≤st≤eq\f(t－2t2,t＋2).由于－eq\f(2,3)≤eq\f(－2t2,t＋2)≤0和－eq\f(1,3)≤eq\f(t－2t2,t＋2)≤9－4eq\r(5)，所以－eq\f(2,3)≤b≤9－4eq\r(5).当－1≤t<0时，eq\f(t－2t2,t＋2)≤st≤eq\f(－2t2,t＋2)，由于－2≤eq\f(－2t2,t＋2)＜0和－3≤eq\f(t－2t2,t＋2)＜0，所以－3≤b＜0.故b的取值范围是[－3,9－4eq\r(5)]．9．(2016·浙江高考)已知a≥3，函数F(x)＝min{2|x－1|，x2－2ax＋4a－2}，其中min{p，q}＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p，p≤q，,q，p＞q.))(1)求使得等式F(x)＝x2－2ax＋4a－2成立的x的取值范围．(2)①求F(x)的最小值m(a)；②求F(x)在区间[0,6]上的最大值M(a)．解：(1)由于a≥3，故当x≤1时，x2－2ax＋4a－2－2|x－1|＝x2＋2(a－1)(2－x)＞0；当x＞1时，x2－2ax＋4a－2－2|x－1|＝(x－2)(x－2a)．所以使得等式F(x)＝x2－2ax＋4a－2成立的x的取值范围为[2,2a]．(2)①设函数f(x)＝2|x－1|，g(x)＝x2－2ax＋4a－2，则f(x)min＝f(1)＝0，g(x)min＝g(a)＝－a2＋4a－2，所以由F(x)的定义知m(a)＝min{f(1)，g(a)}，即m(a)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0，3≤a≤2＋\r(2)，,－a2＋4a－2，a＞2＋\r(2).))②当0≤x≤2时，F(x)＝f(x)，此时M(a)＝max{f(0)，f(2)}＝2.当2≤x≤6时，F(x)＝g(x)，此时M(a)＝max{g(2)，g(6)}＝max{2,34－8a}，当a≥4时，34－8a≤2；当3≤a＜4时，34－8a＞2，∴M(a)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(34－8a，3≤a＜4，,2，a≥4.))命题点二函数与方程命题指数：☆☆☆难度：中、低题型：选择题、填空题1.(2014·湖北高考)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x.则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为()A．{1,3} B．{－3，－1,1,3}C．{2－eq\r(7)，1,3} D．{－2－eq\r(7)，1,3}解析：选D当x≥0时，函数g(x)的零点即方程f(x)＝x－3的根，由x2－3x＝x－3，解得x＝1或3；当x<0时，由f(x)是奇函数得－f(x)＝f(－x)＝x2－3(－x)，即f(x)＝－x2－3x.由f(x)＝x－3得x＝－2－eq\r(7)(正根舍去)．选D.2．(2014·北京高考)已知函数f(x)＝eq\f(6,x)－log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是()A．(0,1) B．(1,2)C．(2,4) D．(4，＋∞)解析：选C因为f(1)＝6－log21＝6>0，f(2)＝3－log22＝2>0，f(4)＝eq\f(3,2)－log24＝－eq\f(1,2)<0，所以函数f(x)的零点所在区间为(2,4)，故选C.3．(2016·山东高考)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|x|，x≤m，,x2－2mx＋4m，x＞m，))其中m＞0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________．解析：作出f(x)的图象如图所示．当x＞m时，x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2，∴要使方程f(x)＝b有三个不同的根，则4m－m2＜m，即m2－3m＞0.又m＞0，解得m＞3.答案：(3，＋∞)4．(2015·湖北高考)函数f(x)＝2sinxsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))－x2的零点个数为________．解析：f(x)＝2sinxsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))－x2＝2sinxcosx－x2＝sin2x－x2，由f(x)＝0，得sin2x＝x2.设y1＝sin2x，y2＝x2，在同一平面直角坐标系中画出二者的图象，如图所示．由图象知，两个函数图象有两个交点，故函数f(x)有两个零点．答案：2命题点三函数模型及其应用命题指数：☆☆☆难度：高、中题型：选择题、填空题1.(2017·北京高考)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与eq\f(M,N)最接近的是()(参考数据：lg3≈0.48)A．1033 B．1053C．1073 D．1093解析：选D因为lg3361＝361×lg3≈361×0.48≈173，所以M≈10173，则eq\f(M,N)≈eq\f(10173,1080)＝1093.2．(2015·北京高考)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是()A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时．相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油解析：选D根据